蛋白质分子量分解问题
作者:jnscsh 时间:2021-07-17 14:39:46 浏览次数:次
【摘 要】分子量分解问题即求解任意给定分子量的蛋白质的氨基酸组成。针对这一问题提供的条件,本文给出了一般性的求解多元一次整系数线性方程[1]的非负整数解的模型。
【关键词】多元一次整系数线性方程;非负整数解
1.问题重述
生命蛋白质是由若干种氨基酸经不同的方式组合而成。在实验中,为了分析某个生命蛋白质的分子组成,通常用质谱实验测定其分子量X (正整数),然后将分子量X分解为n个已知分子量氨基酸的和的形式。某实验室所研究的问题中:
a[i]分别为57,71,87,97,99,101,103,113,114,115,128,129,131,137, 147,156,163,186。
对如何分解分子量X作出解答,即针对任意一个分子量X具体给出由哪些氨基酸组成。
2.符号系统
a[i]:第i种氨基酸的分子量;
x[i]:待测定蛋白质分子中第i种氨基酸的个数;
X:待测定蛋白质的分子量;
N:待测定蛋白质的分子量为X时的所有解的个数;
3.模型建立
3.1多元一次整系数线性方程组的一般性数学模型
实际情况下,蛋白质分子量是由氨基酸分子量的总和,再减去脱去的水分子分子量的总和,由于题目中所给的氨基酸分子量均已去除一个水分子的分子量,因此,本文在计算蛋白质分子量时,在没有其他约束条件下,根据本题已知的蛋白质分子量X以及每种氨基酸的分子量即可知,题目实际上就是求解多元一次整系数线性方程:
■(a[i]■x[i])-x的所有非负整数解。因此可以列出其一般性通用数学模型如下:■(a[i]■x[i])=Xx[i]≥0(i=0,1,2…,18)
3.2考虑含氮量情况下的改进数学模型
而实际上,蛋白质是由C(碳)、H(氢)、O(氧)、N(氮)组成,一般蛋白质可能还会含有P(磷)、S(硫)、Fe(铁)、Zn(锌)、Cu(铜)、B(硼)、Mn(锰)、I(碘)、Mo(钼)等。生命体蛋白质中氮的含量相对比较稳定,维持在16%,波动范围在15%~17% 。这一现象被凯氏定氮法应用于测定有机物的含氮量,通过测定蛋白质的含氮量,求出待测样品中蛋白质的含量[3],并且该方法已被广泛应用。本题也利用了这一现象,即含氮量范围在15%~17%之间时,才比较符合实际情况,在此条件下所得到的的解才较为合理,此时改进后的数学模型为:
■(a[i]■x[i])=X0.15≤■■(c[i]■x[i])≤17x[i]≥0(i=0,1,2…,18
下文将针对这一改进数学模型,在不拥有计算机的情况下分别进行解答。
定理:n元一次方程■(a[i]■x[i])=X有解的充分必要条件为d0/d,其中d0为a1,a2,…,an的最大公约数即□d0=(□a1,a2,…,an),且所有整数解为[ x1,x2,…,xn]□=[d/d0,u2,u3,…,un]P,?坌ui∈Z,i=2,3,…n,P为可逆矩阵且 PA=D0[2]。
因为题目待测蛋白质由所给氨基酸组成,因此方程必定有解,则按照“矩阵法”求解如下:
对于[A,En]-(En为n级单位阵)通过多次初等行变换化为[D0,P]的形式,
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由定理可知[x1,x2,…,xn]□=[d/d0,u2,u3,…,un]P,所以:
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其中u2,u3,…un可取意整数值。
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其中可在取任意整数值。■
【参考文献】
[1]赵静.数学建模与数学实验(第三版),北京:高等教育出版社,2008.
[2]周立仁.n元一次不定方程整数解的矩阵求法,2003.16.
[3]秦润梅.凯氏定氮法测定蛋白质的氮含量,2011.17.
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