藏汉文化交融背景下丽江纳西族建筑五凤楼中数学问题研究

【摘要】丽江福国寺五凤楼集藏、汉、白、纳西族民居的建筑精粹于一体，大到结构布局小到图案装饰都蕴含着丰富的数学元素：长方形、正方形、平行四边形、菱形、圆形、三角形等，这些图形形成单独纹样或经过组合形成复合纹样，再采用轴对称、中心对称、平移、旋转等变换。通过对五凤楼的研究，发现建筑结构构造的时候使用到数学知识：翼角曲率、三角形稳定性、方五斜七的估算等，研究在建筑中使用的数学知识，能够帮助建筑师解决建筑上的数学问题，同时也体会到数学知识的实际运用的现实意义、感知数学与生活的联系，明白精美的建筑都离不开精密的数学计算，体验数学与建筑之间的休戚关系。

【关键词】五凤楼；翼角曲率；三角形稳定性；方五斜七

【中图分类号】[J59] 【文献标识码】A

基金项目：云南省科技厅青年项目“藏汉文化交融背景下丽江纳西族建筑中数学问题研究”（项目编号：2017FD166）；曲靖师范学院2016年度教师教育专项项目“云南少数民族数学文化的挖掘及其应用”（项目编号：2016JZ001）。

一、问题的背景

我国有55个少数民族，纳西族作为为数不多的拥有自己本民族语言与文字的少数民族，其日常生活中蕴藏着丰富的数学文化，主要表现在建筑、服饰、绘画、计量单位及天文历法、宗教等方面，充分反映了纳西族人民的智慧及古代数学成就。当人们惊叹世界遗产桂冠之下纳西族东巴文化，畅游在丽江古城错落有致的建筑群中，被号称“丽江紫禁城”的木府所惊艳，感叹福国寺展翅欲飞的五凤楼的精美时，可曾想到这些宏伟的建筑珍品里面隐藏着怎样的数学奥秘？建筑和数学之间有什么关系？

1993年，清华大学秦佑国教授在《建筑师学术职业信息手册》中发表学术报告《建筑与数学》，明确提出了现代数学概念在建筑学中的重要地位，国外研究学者相继发表《The Architecture of the Jumping Universe A polemic：How Complexity Science is Changing Architecture and Culture》（1995）、《Fractal Geometry in Architecture and Design》（1996）等驗证了数学在建筑中的应用。2009年清华大学徐卫国提出“数字建构”[1]，即使用数字技术在电脑中生成建筑形体，以及借助于数控设备进行建筑构件的生产和建筑的建造，并在清华大学建筑学院开设了“非线性”建筑设计的课程。近年来，许多欧美著名大学的建筑院系开设了相关的课程。2015年，全国建筑院系建筑数字技术教学研讨会上，哈尔滨工业大学郭旗、陆诗亮、李磊等汇报了《基于现代数学理论的建筑复杂性形态设计手法研究》，针对现代数学理论的新成果，从代数的发展——数学模型与结构、几何的发展——新几何学的研究两个角度探讨数学理论在复杂性建筑形态中的应用；云南昆明理工大学杨杰《建筑学中的数学理性与数学美》[2]先通过对数学各个发展时期中所产生的重大发展以及由此带给建筑学的影响的介绍，表明建筑学的发展变化除了受社会、政治、经济等因素的影响之外，更为重要的是受到数学发展的影响。

随着新建筑材料的发现，与之相适应的新的数学思想也应运而生。用各种各样可以得到的建筑材料，如石头、木材、砖块合成材料等，建筑师们能够设计出实质为任何形状的建筑物。现实生活中所见到的双曲抛物体形式的建筑物，如旧金山圣玛丽大教堂、抛物线型的机棚、模仿游牧部落帐篷的立体组合结构、支撑东京奥林匹克运动大厅的悬链线缆，以及带有椭圆顶天花板的八角形房屋，中国北京的奥林匹克运动会的主场馆鸟巢与水立方的遥相辉映等。人们常说：“简约而不简单”，建筑就是一种能够最终归结为数学的简约的艺术。

丽江福国寺五凤楼集藏、汉、白、纳西族民居的建筑精粹于一体，大到结构布局小到图案装饰都蕴含着丰富的数学元素：长方形、正方形、平行四边形、菱形、圆形、三角形等，这些图形形成单独纹样或经过组合形成复合纹样，再采用轴对称、中心对称、平移、旋转等变换。徐霞客曾叹曰：“层台高拱，上建法云阁，五凤楼八角层甍，极其宏丽。”不知他曾想过数学又为五凤楼的美做了什么贡献呢？

二、五凤楼的翼角曲率

五凤楼是三重檐攒尖顶楼阁式木构建筑，飞檐高挑，高约20米，32柱，飞檐8角，3叠共24角，飞檐翘角，简称翼角，丽江当地称龙马角。木匠在施工中，构件编号为出角，如东南出角、东北出角、西北出角、西南出角[3]；翼角是中国古代建筑屋檐的转角部分，因向上翘起，舒展如鸟翼而得名，主要用在屋顶相邻两坡屋檐之间。

在建造中，木匠们有一句口诀：“翘不过金”，意思是翼角起翘不能超过金檩，为了使屋顶更加美丽，屋脊和屋角设计成美丽的曲线。在数学中，曲率（curvature）是描述几何体弯曲程度的量，例如曲面偏离平面的程度，或者曲线偏离直线的程度。在这里，定义翼角的曲率为屋面偏离水平面的程度。屋面曲线的做法在全国古建筑中用来追求建筑的曲线美，而南北建筑所不同的是翼角的曲率大小。北方天气寒冷，翼角做得比较浑厚，屋脊平直，曲线平缓（如北京故宫），自然屋面偏离水平面的程度小，即翼角的曲率小。南方气候炎热，屋面做得比较轻盈，屋角屋面曲度大（如岳阳楼），尤其是园林建筑屋角曲线做得比较夸张，屋面偏离水平面的程度大，即翼角的曲率大。而丽江气候温和，纳西地区古建筑的形成和发展，在接受外来文化和技术的同时，吸取本民族的建筑风格，屋脊曲线柔和而舒展。纳西族建筑的翼角的曲率，恰好在南北方建筑风格之间，屋角微微飞翘，既有北方之雄又有南方之秀。

三、三角形稳定性

五凤楼每层飞檐8角，东南、东北、西北及西南四方各占2角，这种飞檐翘角的古建筑角梁悬挑较长，为了保持角梁的稳定性以防安全，纳西族先民在古建筑营造法的基础上，在角梁前端增加了一构件柱，叫“扶腰柱”（见图1五凤楼左边第一根圆柱）。在扶腰柱的作用下，角梁有效挑出的部分就缩短了，使挑出的角梁更加稳定。这个做法一直延续下来，成为纳西族地区古建筑传统做法的一个特色。

在建筑上也经常采用方五斜七的估算，木匠有口决：“周三径一不径一，方（正）五斜七不斜七，里外让个大概齐”，意思是说如果圆的周长是三那么直径就是一，一个正方形每条边的边长如果都是五那么对角线就是七，可又不是一和七，一要往里让，也就是减掉一点，七要往外让一点，也就是加上一点。

在角梁出挑长度的计算时，当时没有勾股定理，木匠师傅就按经验，用方五斜七进行估算：一种经验是按方五斜七计算所得的数据再加9寸至1尺5（30-50厘米）；另一种经验是按方五斜七所得数据再乘以系数1.1，也有叫见尺加一或尺上加一，用现代数学计算发现其实误差很大，但是在当时的社会环境下，用方五斜七进行估算是最佳办法，同时也可以看出远在古代，纳西族先民就具有估算的意识。

五、结语

从数学的角度带着问题去欣赏五凤楼，发现它蕴含着丰富多彩的数学元素，处处体现着数学知识，让人们明白精美的建筑都离不开精密的数学计算，数学与建筑之间有着千丝万缕的联系，除了本文中发现的翼角曲率、三角形稳定性、方五斜七的估算等，还有许多未知的数学问题等待世人去探索。研究在建筑中使用的数学知识，能够帮助建筑师解决建筑上的数学问题，同时也体会到数学知识的实际运用的现实意义。

参考文献：

[1]徐卫国.数字建构[J].建筑学报，2009（1）.

[2]杨杰.建筑学中的数学理性与数学美[D].昆明：昆明理工大学，2006.

[3]木庚锡.丽江古建筑及装饰图集[M].北京：光明日报出版社，2014：2-11.

作者简介：杨敏（1987-），女，汉族，云南省楚雄人，硕士，讲师，主要从事民族数学文化和数学教育研究；赵建红（1981-），男，汉族，云南巍山人，硕士，副教授，主要研究少数民族数学与数学教育。

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