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例谈高中数学探究的内容选择

作者:jnscsh   时间:2021-07-28 08:55:34   浏览次数:

摘 要:数学探究已经成为高中数学教师的常见教学行为,经过了十多年的思考,今天的数学探究应当存在,但却不能只是追求探究的形式. 将数学探究以更自然的形式存在于日常的数学教学过程当中,是数学探究生命力重要的彰显方式. 从数学内容、数学方法与数学思想三个角度研究数学探究,是打造数学探究新常态的应然举措.

关键词:高中数学;探究内容;选择

尽管相对于课程改革开始的那段时间而言高中数学教学没有那么热闹了,但在那段时间里积淀下来的一些教学思想却实实在在地影响着今天的数学教学,其中一个重要的内容就是数学探究. 对于数学探究的意义,自然已经不必再多说,但对于如何有效地开展数学探究,却依然是一个重要的话题. 当然,如何开展数学探究是一个范围较大的话题,在这个话题当中,对于探究内容的选择是一个重要的方面. 本文试图就此再展开一些讨论. 需要说明的是,在对高中数学教学的思考日趋理性的今天再谈这个话题,并不是为了完善探究的形式,并不是为了追求课堂的好看,自然也不是回过头来重温浅显探究的旧梦,而是为了在有效教学的语境之下,能够让数学探究更好地成为高中数学教学的一种新常态.

[⇩] 知识探究,高中数学探究的重要基石

众所周知,数学是一门基础学科,尤其是对于高中数学而言,其所包括的丰富的知识,已经成为其他学科的重要基础,从表面来看,数学知识的运用是其他理科的基础,从实质来看,数学学习中形成的思维尤其是逻辑思维成为其他几乎所有学科学习的基础. 也正是由于这种工具性,使得很多场合下对于数学知识的学习变得很直接,这种直接又往往演变成讲授式教学,从而使得数学知识的学习少有探究的味道. 然而,无论是从数学发展史的角度来看,还是从学生生成数学知识的角度来看,数学知识的探究都应当成为数学探究的基本内容,知识探究应当成为数学探究的重要基石.

先来看一个例子:“三角函数的周期性”知识的教学. 在教材中,三角函数的周期性是通过这样的语言呈现的:由单位圆中的三角函数线可知,正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象,每当角增加(或减少)2π,所得角的终边与原来角的终边相同,故两角的正弦、余弦函数值也分别相同……这样的描述一般来说能够将学生说懂,但从数学探究的角度来看,可能也失去了一次引导学生探究的机会.

作为高中数学教师,应当知道周期性在三角函数中的地位与作用,因而学生对于三角函数周期性的理解,也决定了后续很多数学知识的学习. 那么,对于周期性概念的建立,是不是可以以数学探究的方式来进行呢?在笔者看来,是可以的,也是有一定的必要性. 作为一个重要的数学知识,如果让学生认识到探究可以使其深化对该知识的理解,那探究就是应当实施的. 笔者进行了以问题链推动学生探究的尝试,设计的问题链是:“三角函数是刻画圆周运动的模型”这句话如何理解?三角函数与圆周运动是什么关系?在单位圆中是如何表现函数值的?函数值与单位圆中角的终边是什么关系?终边在单位圆中的变化范围是多少?这种变化范围对于函数值来说意味着什么?……在这样的问题推进之下,学生的思维会将三角函数与圆周运动与单位圆联系起来,而终边的变化范围这个问题又会将学生的思维由静引向动,从而在他们的大脑中有可能出现一幅角的终边在单位圆上运转的图象,而这就为周期性的理解奠定了坚实的思维基础. 等学生建立了周期性的概念之后,再回过头来与学生回忆这一过程,引导学生认识数学概念的得出应当是思维的结果,是探究的结果.

这一过程并不需要太长的时间,也没有刻意的探究痕迹,更多的是在学生的思维中营造一个探究的情境,当然也是向学生传递一种数学探究的思想. 需要说明的是,在这一数学知识的探究中,没有太多的探究形式,更多的是一种探究的思维与探究的思想. 这也是笔者在对数学探究进行了很长时间的思考后的一个重要收获. 笔者以为,像一些基本的数学概念等,数学探究的展开不必非要是大规模的探究活动,而完全是可以基于学生思维的探究过程. 在这个过程中,有问题的提出,有问题的分析与解决,有问题解决后的反思与总结,那学生经历的就是一个小而精的探究过程,收获的不仅有数学知识,还有数学知识生成的过程.

[⇩] 方法探究,高中数学探究的深层追求

数学方法是除数学知识之外另一个重要的数学学习内容,相对于数学知识而言,方法更多的是一种数学思维的过程——也就是说,数学方法对于学生而言,不是教师口头中的语言描述,也不是写在纸面上的文字描述,而是体现在学生运用数学知识进行思考的过程当中. 从这个角度讲,方法更多的表现在学生对数学知识的运用过程当中. 笔者以为,数学方法的探究,应当遵循“盐在汤中”的原则. 在这个隐喻里,“盐”是指数学方法,“汤”是指数学知识,而将盐有效地溶于汤中的途径即所谓探究,也应当通过问题的设计与提出来进行.

举一个例子,在“双曲线的渐近线”教学中,学生对于教师讲授下的渐近线知识理解也不会出现太大的困难,但在实际教学中笔者总感觉学生对该知识的记忆显得有些机械,对类似知识的也缺乏一种有效的整合. 而事实上这又不能责怪学生,因为已有的学习习惯决定了当前的高中学生很少有主动比较并整合数学知识的意识与能力. 于是笔者尝试在教学中引导学生进行一些探究.譬如笔者向学生提出问题:为什么双曲线有渐近线而椭圆和抛物线等却没有呢?

事实证明,这一问题可以有效地打开学生的探究思路,他们会在问题的驱动之下去比较双曲线与椭圆和抛物线的图象以及解析式,而比较的结果又往往是不能直接回答上述问题的. 于是探究会自然地迈向纵深:渐近线是如何定义的?渐近线引入的意义是什么?这一定义如果放到椭圆或者抛物线中去,又会出现什么样的情形?对于第一个问题,学生可以通过回忆或者查询课本得到,但此时学生会更深入地思考其含义——点沿曲线无限远离原点、无限接近、但不相交等关键描述的含义会更加清晰;对于第二个问题,往往需要教师的帮助,当教师解释渐近线在建筑、工件制造等过程中均有所运用时,学生能够明白渐近线并不纯粹是数学家思维的产物,其在生产实际中也有重要的应用;而第三个问题则是假设性的问题,由于前面两个问题尤其是第一个问题的回答,学生显然会认识到某点在椭圆上无论如何运动,也无法与某直线无限逼近,因而这条直线是不存在的,故它们并没有渐近线.

又如在“对数函数的性质”的教学,一般是教师对原函数与反函数进行比较,让学生在教师的比较中“生成”欲学内容的,但这样的教学思路有一个明显的不足就是,学生所经过的机械对比学习过程,并不能让看似顺利得到的数学知识有深刻的理解. 于是笔者尝试借助于“数形结合”,让学生直接经历一个新的函数图象与性质的探究过程. 在实际探究的过程中,学生会借助于反函数与原函数关于直线对称的已有知识,在坐标系上先行作出指数函数的图象(同时回忆性质,可以采用小组合作的方式进行),在这一过程中,学生的注意力却不集中于这一奠基性的工作上,而集中于如何通过对称的特点去发现并描述对数函数的特点. 学生头脑中的问题有:原函数和反函数关于哪条直线对称?对称后的图象是什么样子?其性质应当如何描述?在这一过程中,既有问题驱动,又有自发的新旧知识的比较与对新知识的描述……经过这样的探究,学生能够自行收获对数函数的大部分知识,教师只要再做适当的点拨即可. 如此生成的知识,学生的理解要深得多.

[⇩] 思想探究,高中数学探究的必需营养

谈到数学方法的探究,就不能不说数学思想. 在数学探究中,数学思想显得有些高大上,很多时候教师在课堂上甚至感觉有些难以启口. 笔者以为,对于高中数学教学而言,谈数学思想应当是理直气壮的,不能空洞地谈,要结合具体的实际来谈. 而结合数学探究来谈数学思想,则是一种比较好的选择.

事实上,尽管上面两点将数学知识与数学方法分开来阐述,但实际的数学探究过程中,两者却常常是并存的. 在学生经过有效的数学方法探究得到数学知识之后,在学生利用数学知识的探究过程更好地理解了数学方法之后,教师就可以通过对数学探究进行总结的机会来谈谈数学思想了. 譬如说上面提到的“数形结合”思想,自然不必在探究之前或者探究的过程中跟学生说“这就叫数形结合”,因为这容易打断学生的探究思维过程. 但在探究结束之后,却需要回过头来跟学生强调:数形结合是一种重要的数学思想,说其重要一是因为数学研究的对象就是数与形,二是因为数与形都具有高度的抽象性,三是因为数与形具有数学意义上的互相描述性,四是由数及形、由形及数往往是一种常用的数学探究思路.

对于数学知识和数学方法的探究,更多的时候教师可以将数学思想隐藏在有形的探究过程之后,只要让学生体验到数学思想的存在,那也算是探究的一种方式,尽管学生不知道,但营养却是存在的.

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