关于矢量点积/叉积分配律的证明

摘 要:数学中很多基本定理看似显而易见,但证明起来往往并不简单,特别是在教学中,更应以严谨清晰的逻辑加以推导。矢量点积/叉积的分配率就是这样的问题,在证明过程中应避免分配率的隐含运用,本文从矢量点积/叉积的基本定义出发,结合几何关系,对矢量点积/叉积的分配率进行了证明,旨在通过对矢量点积/叉积分配律的探究,加深认识,开拓分析思路。

关键词:矢量点积叉积分配律

中图分类号:G642文献标识码:A文章编号:1673-9795(2011)09(a)-0097-01

1 现行的讲解方法

在现行的大多数教材中,对矢量点积和叉积的分配率即

和都是直接给出的,没有具体的证明。而证明过程需注意避免隐含的运用分配率,如采用解析方法,将任意矢量表示为三个坐标方向的分量和,即

则相应的

上述推导已经隐含的默认矢量点积的分配率成立,并加以运用,这是不严谨的。故本文从矢量点积/叉积的基本定义出发,结合几何关系,给出了矢量点积/叉积分配率的一般性证明。

2 矢量点积分配律的证明

不失一般性,设矢量,其中A为矢量的模量,为矢量方向的单位矢量;矢量,其中表示矢量垂直于矢量的分量;根据矢量点积的基本定义,有 (1)

另一方面

,(2)

综合式(1)和式(2),有

(3)

式(3)在实质上就是矢量点积的分配律,同理可证,这里不再赘述。

3 矢量叉积分配律的一般性证明

下面采用相同的方式,证明矢量叉积分配律。

首先,与前一节相同,设矢量,矢量,则根据矢量叉积的基本定义,有 (4)

其中,表示矢量方向的单位矢量。

而,(5)

综合式(4)和式(5),有

(6)

式(6)从矢量叉积的基本定义出发,说明了矢量“多项式乘法”的合理性基础,从而证明了矢量叉积分配率。

更为一般化,引入任意矢量

,这里垂直于矢量,但不一定与同一方向。与上同理,

显然,上式中和分别为平行和垂直于的矢量,参照式(6)有 (7)

同理,参照式(6)可知,

所以,

(8)

至此,综合式(7)和式(8),如要证明,需证明

(9)

如图1所示,由上述分析可知,矢量垂直于矢量和所在平面,设后两者夹角为,,

。由

,可知,图中两个平行四边形相似,由解析几何的基本知识和定理可知(这里不再复述),因此,//。(如图1）

另一方面,根据余弦定理,矢量和的模为

可见,矢量和

的模也相等。所以,式(9)成立,也就是说,叉积分配率成立。

4 结语

我们发现常规教材对于矢量点积/叉积的分配律只是给出了一个简单的公式,而对其为何成立并没有深入的探究。学生在学习时往往也只是背公式,无法深入的理解其本质,在应用中也就难免出现偏差。更为重要的是,通过对矢量点积/叉积的分配律的深入探讨,学生可以在学习过程中培养分析问题的思维方式,提高解决问题的能力。本文依据矢量点积和叉积的基本概念,严格推导证明了矢量点积和叉积的分配率,可以启发同学们在学习过程中对所学知识点的深入理解,非常有助于对所学知识的掌握。

参考文献

[1]谢树艺.矢量分析与场论[M].高等教育出版社,2004.

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