例谈数学知识在物理题解中的应用
作者：jnscsh 时间：2021-07-30 08:53:37 浏览次数：次
摘 要：数学是物理学研究的工具，更是深入研究问题和解决问题的基础。目前学生在平时训练的过程中并不注重数学知识与物理知识的结合。本文对此精选几例，分别从不同的角度阐明数学知识在物理题解中的重要性。
关键词：数学知识 物理题解 应用
数学是物理学研究的工具，更是深入研究问题和解决问题的基础。新课标下物理学科的考试说明对考生应用数学知识处理物理问题的能力所提出的具体要求是：“学生能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行相关推理和求解，并根据计算结果得出物理结论；必要时能灵活运用几何图形、图像或函数关系进行表达、分析。”而学生在平时训练的过程中，恰恰并不注重数学知识与物理思维的结合。针对这样的问题，本文精选几例，从不同的角度阐明了数学知识在物理题解中常用的六种方法。如有不足之处，恳请指正。
一、几何知识的应用
例：路灯距地面高度为h，身高为L的人以速度匀速行走，如图1所示:①试证明人头顶的影子做匀速运动。②求人影的长度随时间的变化率。
解析：（1）设t=0时刻，人位于路灯的正下方O处，在时刻t，人走到S处，根据题意有OS=vt，过路灯P和人头顶的直线与地面的交点 M为t时刻人头顶影子的位置，如图2所示 ：
OM为人头顶影子到O点的距离，由相似三角形知识可得， = ,OM= = ×t。因OM与时间t成正比，故人头顶的影子做匀速运动。
(2)由图2可知，在t时刻人影子的长度SM为SM=OM-OS= ×t-vt= ×t，可见影长与时间t成正比，所以影子随时间的变化率k= 。
点评：平面几何知识是物理中应用最广泛的数学知识之一，它包括对称点的性质、直角三角形中斜边大于直角边、三角形全等与相似等知识。本题利用相似三角形对应边成比例，结合运动学知识，分析求解，体现了数理结合的重要思想。
二、比例关系的应用
例： 有一天体半径为地球半径的2倍，平均密度与地球的相同，在地球表面走时准确的摆钟移到该天体表面，秒针走一圈的实际时间为多少？
解析： 由于在不同的天体上，重力加速度不同，所以同一摆钟在不同天体上的周期是不同的。将摆长认为不变，则由万有引力定律得：mg=GMm/R ，g=GM/R =Gρ( πR )/ R =4πGRρ/3，即g∝R，又因为T∝ ，所以T∝ ，故T /T = = ,即T = 。设秒针走一圈摆完成n次全振动有 = = ，t = t = min。
点评：本题将具体公式转化为比例式，再利用比例法的传递性，直接建立了未知量和已知量之间的关系。运用比例法可以避免繁琐的公式变换、计算，进而在计算过程中达到简便直观的效果。
三、极值判别式的应用
例：某建筑单位自己设计了一个提起重物的简单器械，其中的部分如图3所示，OA为一均匀钢管，每米长所受重力为30N；O是转动轴，重物的质量m为150kg，挂在距O点1m处的B点，拉力 F作用在A点，竖直向上，为维持平衡，钢管OA为多长时所用的力最小？这个最小的拉力是多少？
解析：设OA长为重心l在C点，杠杆重为G′=30l，由杠杆平衡条件得：Fl=mg×OB+G′l/2，即Fl=1500+15l ,15l -Fl+1500=0。这是一个关于l的一元二次方程，方程有解的条件是△≥0。这时△=F -4×15×1500=F -90000≥0，所以F≥300N。将F的最小值300N代入方程解得钢管OA此时长为10m。
点评：本题从社会生活汲取实例，建立物理模型，并且综合运用物理知识和数学知识，分析求解。体现了新课程标准中“从生活走向物理，从物理走向社会”的理念，意在让学生理论联系实际，培养其综合实践能力。
四、基本不等式的应用
例： 在电视节目中，我们常看到一种精彩的水上运动——滑水板，如图4所示，运动员在快艇的水平牵引力作用下，脚踏倾斜滑板在水上匀速滑行。设滑板是光滑的，若运动员与滑板的总质量为m=70kg，滑板的总面积为S=0.12m ，水的密度为ρ=10×10 kg/m 。
理论研究表明: 当滑板仅与水平方向的夹角为θ （板前端抬起的角度）时，水对板的作用力大小为N=ρSv sin θ，方向垂直于板面（式中的v为快艇的牵引速度，S为滑板的滑水面积）。求：为使滑板能在水面上滑行，快艇水平牵引滑板的最小速度。
解析：选择滑板与运动员作为研究对象，对其作受力分析，滑板与运动员共受三个力（不计水对滑板的阻力）：重力（mg）竖直向上，水对滑板的弹力（N）与滑板面垂直，绳对人的拉力（F）水平向前。如图5所示，由物体平衡条件有：Ncosθ-mg=0，又由题中已知条件N=ρSv sin θ，可得牵引速度为v= 。
即：快艇对运动员与滑板的牵引速度是滑板的倾角θ的函数，所以令y=sin θcosθ，则有y =sin θcos θ= sin θ
即 y = ，故快艇最小速度的表达式为：v = 。代入数据得v =3.9m/s。
点评：本题在通过对生活实例进行了简单的受力分析之后，结合基本不等式，采用整体代换的思想，考查了学生
运用数学知识解决物理问题的能力。
五、三角函数法的应用
例2000年1月20日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内，若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α=40°，已知地球半径R、地球自转周期T、地球表面重力加速度g（视为常数）和光速c。试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需要的时间。（要求用题给出的已知符号表示）
解析：因为同步卫星与嘉峪关的经度都为98°，所以同步卫星与嘉峪关在同一个平面内，如图6所示，万有引力充当向心力，G =mr， r为同步卫星的轨道半径，地面附近的物体有G =mg,r=，根据余弦定理，L =R +-2Rcosα，L= ，即：t= = 。
点评：关注高新科技和社会热点，这是科研测试的一个新动向。本题在要求学生掌握万有引力章节基本知识的基础上，只有抓住三角形的边角关系，正确运用余弦定理才能顺利解决此类问题。
六、微分思想的应用
例：ab是长为L的均匀带电细杆，P 、P 是位于ab所在直线上的两点，位置如图7所示，ab上产生的静电场在P 处的场强大小为E ，在P 处的场强大小为E 。求：E 、E 的大小各为多少？
同理如图10所示，P 处场强的大小E =∫= 。
点评：本题考查了学生灵活运用静电场的基本知识，分析过程中的关键是选择适当的微元，运用宏观规律对微元进行分析处理，最后对所处理的结果进行积分。
随着高考改革的深入及素质教育的全面发展，各学科之间的渗透也在不断加强，这就要求我们在平时的教学过程中，要注重应用数学知识处理物理问题能力的培养，重视对数学方法的运用。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”