数学文化的理解及教学

摘 要:用数学文化润泽数学课堂、用数学文化育人是数学素质教育的内在要求。从狭义角度分析,数学文化是数学思想、精神、方法、观点、语言以及它们的形成和发展。从广义角度分析,数学文化是数学家、数学史、数学美和数学教育、数学发展中的人文成分、数学与各种文化的关系。在中学阶段,数学文化教学应强调文化浸润和熏染,要将文化内容渗透至数学知识、技能与思维深处,应注意:(1)揭示数学知识的文化意义,加深学生对数学的理解;(2)揭示数学对其它文化发展的影响,引导学生体会数学的价值;(3)揭示其它文化对数学发展的影响,提高学生对数学创新动力的认识;(4)揭示数学的精神智慧,培养学生良好的数学素养。

关键词:数学文化;数学素养;文化浸润;理解及教学

中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1009-010X(2009)06-0039-04

文化研究的深入,使人类对教育的认识由知识层面跃升到精神层面,从片面关注知识的传授转变到同时关注人的精神品质和未来的发展。在此背景下,《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》、《普通高中数学课程标准(实验稿)》在前言或理念部分都将“数学文化”提到了数学课程与教学重要的位置[1]~[2]。数学是现代文化的重要组成部分,用数学文化润泽数学课堂,用数学文化育人是数学素质教育的内在要求,将有利于为学生进一步的数学学习和可持续发展打下基础。

一、数学文化的理解

数学具有“文化”的各项特点,比如:社会性、继承性、地域性、超地域性、时代性和超时代性,等等;数学也具有“文化”具有的各项功能,比如:导向的功能、教育的功能、约束的功能,它们有力地说明了数学本身就是一种文化,是人类文明的重要组成部分[3]。从某种意义上说,“数学文化”一词是通过词语重申和叠加的方式进一步强调了数学的文化意义,它体现对原本属于文化范畴的数学的文化性丧失的反思与重建,也体现了对数学多重价值从文化视角的关注与强调。

作为对数学文化概念的具体描述始于20世纪下半叶。美国著名数学史学家M·克莱因曾在《西方文化中的数学》、《古今数学思想》和《数学——确定性的丧失》三本书中从人类文化发展史的角度对数学的文化形态进行了阐述,指出“数学一直是形成现代文化的主要力量,同时一直是这种文化极其重要的因素。”1981年,美国学者怀尔德(R.wilder)在《MathematicsasaCultureSystem》中提到数学文化的发展已经达到了一个较高的水平,并认为构成了一个相对独立的文化系统。而在美国著名文化学者怀特(L·White)眼里,“数学真理既是人所发现的,又是人所创造的,它们是人类头脑的产物,但它们是被每个在数学文化内成长起来的个人所遇到或发现的。”[4]为此,他提出,数学对象应当被看成一种文化,即“数学实在即文化”。从人类文化学角度看,数学文化“强调数学作为文化系统的一个子系统所具有的文化特征”[5];从数学哲学角度看,数学文化强调对数学自身特征的社会思辨。按照现代数学观,数学显然不仅包括有作为数学活动“最终成果”的事实性结论,而且也包括有“问题”、“语言”、“方法”等多种成分,以及它们之间的联系。于是,数学就应当具有下面的文化性质,即:无论就事实性结论(命题),或是就问题、语言和方法而言,都是人类思维的产物;而且它们又都应被看成“社会的建构”,这也就是说,只有为“数学共同体”所一致接受的数学命题、问题、语言和方法才能真正成为数学的组成部分。在此意义下,“数学文化”即是一种由职业因素联系起来的特殊群体(数学共同体)所特有的行为、观念和态度等。

数学文化呈现的是开放、多元和动态的数学内部及其与外部的联系[6],它既不是数学外在的附属品,也不是简单意义上的“数学+文化”,而是一种人类在数学行为中创造的活动产品,这种活动产品既包含物质产品,又包含精神产品,其中,物质产品是指数学命题、数学方法、数学问题和数学语言等知识性成分,精神产品是指数学思想、数学意识、数学精神和数学美等观念性成分。由此,可以认为:数学文化本质上是指数学作为人类认识世界和改造世界的一种科学语言、思维工具、思想方法、理性精神、活动产品,是数学在社会历史实践中所创造的物质财富和精神财富的积淀,是数学与人文的结合;它区别于其它文化的最根本特征是它表达了一种探索精神,这种探索精神可以最大可能地引发数学思考的魅力,并改变一个人思考的方式、方法和视角,直接支配人们的行动,这种探索精神促进了人类的思想解放——以理性的光和热消融了蒙昧与迷信。从狭义的角度分析,数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点、语言,以及它们的形成和发展;从广义的角度分析,数学文化是指数学家、数学史、数学美和数学教育、数学发展中的人文成分、数学与各种文化的关系。只看到上述数学文化成分中的某一项或某几项,便容易窄化数学文化的概念,形成对数学文化的误读。

数学课堂中人与人的民主对话、合作交流、师生互动等行为虽然也是一种文化现象,但这些“文化现象”关涉的仅是课堂活动本身,并非是课堂中所承载的数学内容,因而,它们仅是课堂文化而不是数学文化。一个充满着文化现象的数学课堂里传递的未必就是带有丰富文化意蕴的数学内容,泛化数学文化的概念将不利于准确把握数学真正的文化价值。“积学以储宝,酌理以寓才”,在数学文化的视野下,数学课程“应适当反映数学的历史,应用和发展趋势,数学对推动社会发展的作用,数学的社会需求,社会发展对数学发展的推动作用,数学科学的思想体系,数学的美学价值,数学家的创新精神。”[7]应当采取有效的方法和途径促进“数学文化”的传播、交流、体验和感悟,引领学生从学习数学的表层进入学习数学的里层,并由此加深对数学文化特性的了解和数学本质的认识,体会数学的价值,理解数学的思想,实践数学的精神,开发智慧潜能,陶冶人文情操,提高数学素养。

二、数学文化的教学

数学文化的教学既可以通过独立的课程模块方式进行,也可以通过非独立的课程模块方式,即在各个知识领域的教学中渗透性地进行数学文化的教学方式。但前一种方式需要学生有较多的数学知识基础,所以通常适宜于高中及以上阶段的教学,而在义务教育阶段则较适宜采用后一种方式。较之于在初中阶段对数学文化的有形渗透,在小学阶段,数学文化的教学方式更应强调极轻极淡的文化浸润和熏染,要将文化的内容溶透至数学知识、技能与思维的深处。从总体上看,无论采取哪种方式,作为数学文化的教学都应当注意如下几点。

1.揭示数学知识的文化意义,加深学生对数学的理解。

数学知识的文化意义蕴含于数学概念、公式、定理等知识内容之中,只有充分地揭示出来,才能加深学生对数学的理解,才能避免把活生生的数学思考变成一堆符号让学生去死记,以至让美丽的数学淹没在形式化的海洋里。“如果简单地陈述数学概念、数学定理,似乎没有文化意味。但是,只要问‘为什么要研究这些概念、这些定理?’马上就会涉及文化价值。”[8]例如,平面上点的坐标(x,y)的概念是点的量化方式,表面上看好像没有文化意义。但是,如果要问为什么要研究坐标?它的价值何在?你就会看到笛卡尔、费马在研究中提出的变量思想在数学研究由静态数学发展为变量数学中所起的巨大作用,体会到他们在沟通几何与代数间联系上的创新性思想,看到蕴含在变量x与y间的依存关系对于近代数学的核心概念——函数概念的产生所起的基础性作用等,其文化意义便跃然其间了。揭示数学知识的文化意义应当注意揭示数学思想的朴素本质,例如,“方程”的思想,说穿了不过是“拉关系”,为了认识“未知数”先生,必须请“已知数”先生为媒介,找到一种关系,根据关系就能认识“未知数”先生了。揭示数学知识的文化意义应当注意揭示数学知识内在的数学美感,例如:在学习了三角形、平行四边形、梯形、长方形、正方形的面积公式后,可引导学生深入发掘他们的内在联系——把正方形、长方形、平行四边形、三角形都视作梯形的特殊形式,相应的图形面积公式可统一到梯形面积公式之中。在几何与图形的初步认识时,可通过操作、观察、度量、绘制等,让学生领悟直线美、曲线美和对称美。英国数学家格雷舍认为:“任何企图将一种科目和它的历史割裂开来,我相信,没有哪一种科目比数学的损失更大。”为了更好地揭示数学知识的文化意义,有时还应当合理运用历史的足迹来传承数学文化。在讲方程时,我们可以联系《周髀算经》和中国古代数学的成就;讲圆周率时可以讲讲祖冲之及他的儿子;寻找数的规律时可以给学生讲讲杨辉三角以及斐波那契和他的兔子;在对一列数进行求和时可以告诉学生关于大数学家高斯小时候的故事;在学习三角形时可介绍刘徽的《海岛算经》。目前,不少版本的小学数学教材以习题、旁注、注释等多种形式介绍了中国数学发展的历史,涉及数学家、数学名著成就、方法等内容。对此,教师不仅要充分利用这些材料,恰当地介绍我国古代数学家和数学成果,让学生在听“故事”中学知识、长思想,激发爱国主义思想和民族自豪感,而且要善于巧用国外的数学史料、趣事,让学生在世界各地“昨天的数学家故事”中感受心灵的震撼,诱发积极向上的思维。

2.揭示数学对其它文化发展的影响,引导学生体会数学的价值。

数学不仅是一种重要的思维工具,而且是重要的科学语言、思维方式,它的特性和认识功能决定了数学不可避免地会对其它文化的发展产生影响,这种影响,不仅有数学思想方法层面的,而且有数学观念精神层面的。以数学对法律文化的影响为例进行分析,数学至少在如下几方面影响法律文化的发展:其一,数学为法律文化的变革提供着不断更新的理论和方法,促进了法律知识的增长和法律文化的进步;其二,数学为法律科学开辟了许多新的研究领域,产生了一批边缘学科和交叉学科;其三,数学为法律科学提供了一套科学的知识体系,有力地推动了法律的科学化进程,使许多法律问题的研究建立在更加可靠的基础上。诚如华罗庚先生所说:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,数学无处不在。”数学不但在自然界中有着广泛的应用,而且在人类社会中也有着广泛的应用。数学的应用通常有三个层次:数学知识、理论的应用,数学方法、技术的应用,数学思想、精神的应用。在应用的过程中不仅彰显了数学的自身价值、科学价值、社会价值与精神价值,而且促进了不同价值的有机融合,并因此而构成了内容丰富的数学文化价值体系。从哲学的角度分析,数学之所以会对其它文化发展产生巨大的影响,主要是因为数学的抽象性、确定性、精确性、严密性等特点决定了数学永远和时代的精神——哲学联系在一起,而哲学则是其它文化的理论基础,所以,数学对其它文化的影响往往是长期的。齐民友教授曾有言:数学作为一种文化,在过去和现在都大大地促进了人类的思想解放,“没有现代的数学就不会有现代的文化;没有现代数学的文化是注定要衰落的。”[9]学生体会数学价值的过程,是对数学发展进步的历史轨迹的了解过程,是对数学的思想、观念、方法等逐步理解、掌握和形成的过程。只有充分揭示数学对其它文化发展的影响,才能更好地引导学生体会数学的价值。为此,在数学教学中不仅要重视相关的数学概念、定理对数学本身发展意义的分析,而且要重视它们对其它文化发展作用的分析。比如,在勾股定理教学中,我们不仅要让学生看到,勾股定理在引发“第一次数学危机”,使古希腊数学走向偏重“几何学”的发展道路,诱发“费马大定理”,建立三角函数、解析几何等数学分支方面的若干奠基性作用;而且要让学生看到勾股定理在古埃及金字塔底座直角的确定,达·芬奇的绘画等诸多非数学方面的运用。在数学课堂教学中,通过有效的教学设计揭示数学对其它文化发展的影响,其深层次目的尚在于使学生更深刻地理解数学,发展应用意识,提高实践能力。

3.揭示其它文化对数学发展的影响,提高学生对数学创新动力的认识。

由于数学文化是一种延续的、不断进步的整体,因而其基本成分在某一特定时期内具有相对不变的意义,特别是由于数学有着自身特殊的价值标准和发展规律,所以相对于整个文化环境而言,数学的发展往往具有一定的独立性。数学文化一经产生,便获得了其相对独立于人的意志的生命力。尽管战争、灾害等因素会在某种程度上影响它的进程,但却无法改变它的方向。但这并不表明其它文化对数学发展没有影响,相反,其它文化对数学的影响有时甚至成为数学发展的重要动力源之一。事实上,其它文化常常以多种方式影响数学,并推动数学的发展。有的是直接提出需要运用数学加以解决的问题来推动数学的发展,例如,力学中研究抛物体运动轨迹需要用图形来描述以帮助分析,那么,如何绘制这些曲线图形呢?笛卡尔用代数方法来研究这些曲线的特点,于是解析几何就形成了。有的是由于人们对其它文化中一些现象的主动探究而间接影响数学的发展,例如,对称概念是人们对于建筑、制陶等艺术中存在的对称现象加以研究后,从量的角度抽象得到的。射影几何是人们运用数学去研究在绘画中如何将现实的三维世界表现在二维的画布上的过程中产生的。有的则是从思想、观念、方法等层面潜移默化地影响数学的发展,例如,中国古代儒家的文化传统不仅影响着古代数学研究的目标,而且影响着古代数学研究的方法,使我国古代数学从总体上烙有“经世致用”、重功利、重计算的印记。从其它文化对数学发展影响的范围分析,不仅语言文化对数学思维、数学研究成果的呈现形式有着明显的影响,而且数学活动的主体在数学活动过程中也必然地受到相应文化环境、文化传统和数学共同体的影响,一个有利的社会环境、有效的科学组织将对数学文化的发展起着积极作用。一般地说,天文学,尤其是物理学等自然科学及人类生活、生产和技术显著地影响着数学,而哲学、音乐、美术、建筑、文学、经济学、管理学等人文社会科学也都对数学产生着影响。数学教学中揭示其它文化对数学发展的影响,对于激发学生对数学创新原动力的认识、培养学生应用数学的能力、开阔学生视野和提高学生文化素养,都有着积极的意义。从根本上说,数学的理论源于实践,例如,人类在自己的生产与生活中,需要对一些物体进行量的刻画和描述,于是,“数”就产生了;又如,农业生产中为了观察并把握天气变化的规律,于是,最早的“三角学”便出现了。为此,在数学课堂教学中要注意从具体实例出发,展示数学知识的发生与发展过程,使学生能够从中发现问题,提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉。比如学习了“年、月、日”之后,可让学生课后在了解天文知识的基础上知道“年、月、日”的来历;在学习了“24时计时法”后,可利用数学活动课时间向学生展示计时方法的演变过程,让学生知道,虽然我们今天可从钟表知道时间,但之前却经历了漫长的探索过程,事实上,古人最初是用立竿测影的方法,后来又用到了日晷、滴漏等工具进行计时,在计时方法与工具的演变过程中融合了先人的聪明才智,汇集了先人的辛勤劳动。作为学生,要热爱祖国优秀的传统文化,珍惜时间,并善于学习祖先留心生活进行探索的精神。

4.揭示数学的精神智慧,培养学生良好的数学素养。

哲学家赵汀阳说过:“无智慧的文化是危险的,它意味着思想文化的停滞和无能。”数学文化是充满智慧的,这种智慧更多地是一种精神智慧,是一种思维的、观念的、深层次的隐性文化,对人们的经验知识起着总结和提升作用,能帮助人类从数学角度看问题,有条理地进行理性思维、严密求证、逻辑推理和清晰准确地表达,并因此能更好地认识世界、解释世界,获得精神生活的享受。对此,M·克莱因曾经说:“在最广泛的意义上来说,数学是一种精神,一种理性精神,正是这种精神,使得人类的思维得以运用到最完善的程度,亦正是这种精神,试图决定性地影响人的物质、道德和社会生活,试图回答有关人类自身提出的问题,努力去理解和控制自然,尽力去探求和确立已经获得的知识是最深刻的和最完美的内涵。”[10]一个学过数学的人,虽然在工作中可能不会直接使用他学过的数学知识,但是,深深铭刻在他们头脑中的以数学精神智慧为内核的数学素养却会随时随地发生作用,并因此使他终身受益。由此可此,在数学教学中充分地揭示数学的精神智慧具有十分重要的意义。为了有效地揭示数学的精神智慧,在数学教学中要积极倡导探究性学习方式,鼓励学生主动参与学习过程,引导他们多角度和多样化地解决问题,并通过自主的探索与发现自我建构内在的数学精神智慧,比如,就1/4与3/8两个分数的大小比较进行教学而言,可以指导学生探究画圆比较、画线段图比较、折纸比较、化小数比较、变分子比较、变分母比较等不同比较的方法,并在此基础上,引导他们与同伴进行交流,不断优化思考方法。

参考文献:

[1]教育部.全日制义务教育国家数学课程标准(实验稿)[M].北京:北京师范大学出版社,2001.

[2][7]教育部.普通高中数学课程标准(实验稿)[M].北京:北京师范大学出版社,2003.

[3]郭华光,常春艳,王小燕.试论数学的文化特性[J].数学教育学报,2005,14,(3).

[4][10]郑毓信,王宪昌,蔡仲.数学文化学[M].四川:四川教育出版社,2001.

[5]王宪昌,刘银萍.也谈数学文化与数学教育的关系[J].数学教育学报,2002,11,(3).

[6]傅赢芳,张维忠.对数学课程中有关数学文化的思考[J].数学教育学报,2005,14,(3).

[8]刘守华.文化学通论[M].北京:高等教育出版社,1992.

[9]齐民友.数学与文化[M].长沙:湖南教育出版社,1991.

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