非线性电路的MapleSim仿真实验

摘 要 针对非线性电路实验装置教学的缺陷，提出一种基于MapleSim软件的仿真实验方法。以蔡氏电路为例，在特定参数下进行模拟，得到混沌运动的相图，为电路实验教学改革提供了新思路。最后分析该仿真实验在教学中的优势。

关键词 MapleSim；非线性电路；混沌吸引子

中图分类号：G642.423；TP391.9 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2014）04-0114-03

非线性科学包括3个主要部分：孤立波、混沌、分形。其中，孤立波是由罗素于1844年在实验室中发现的。1895年，数学家科特维格与得佛里斯从数学上导出了有名的浅水波KdV方程，并给出了一个类似于罗素孤立波的解析解，即孤立波解，孤立波的存在于是得到普遍承认。混沌和分形理论则是在20世纪才开始兴起。20世纪初至50年代是混沌研究的萌芽时期，60年代开始迅速发展。气象学家洛伦兹提出的“蝴蝶效应”指出了混沌系统的一个基本性质：对初始条件的敏感依赖性。20世纪70年代，混沌现象的研究开始渗透到其他学科；80年代以来，随着计算机技术的进步，混沌学的研究方法得到快速发展。有人将混沌和分形誉为继相对论和量子力学之后的20世纪物理学的第三次革命。

物理学中的力、热、电、光、原子体系中均存在混沌现象。非线性电路中的混沌现象是混沌研究的热点之一，混沌电路也具有广泛的应用前景。由于混沌电路较易于引入实验教学，所以它是启迪学生探索非线性规律的一种重要途径。然而传统的非线性电路实验对电路元件参数的误差极为敏感，需要严格地挑选元件，缺少灵活性，另外还要受到实验场地等的限制，不能很好地培养学生的兴趣和创造性思维。

随着计算机科学的发展，人们意识到计算机仿真技术是传统实验教学方法的有益补充。以往文献探讨了Matlab、Multisim等软件在电路实验教学中的运用[1-2]，但还没有探讨MapleSim仿真软件在实验教学中运用的文献。MapleSim是一个多领域物理的仿真建模软件，具有图形化的仿真环境，用户可通过简单和直观的方式完成各种系统的建模、分析和仿真。MapleSim基于Maple数学引擎，使用Maple中的高级符号计算功能生成物理系统的数学模型，能有效地管理和简化复杂系统的数学模型，实现系统的高保真、高速仿真，相比于其他仿真软件有其独特的特点。本文以蔡氏电路为例，说明MapleSim在混沌电路实验教学中的应用。

1 蔡氏电路简介

20世纪80年代，非线性电路中陆续发现各种分岔和混沌现象，其中蔡氏电路以其电路的简单性的和丰富的动力学行为成为混沌电路中的经典例子。如图1所示，蔡氏电路是由线性电阻R、电容C1、C2、电感L和非线性电阻RN（也称为蔡氏二极管）组成的三阶自治电路，非线性电阻的伏安特性如图2所示。通过调整各元件的参数，可以使蔡氏电路呈现出丰富的非线性行为，在某些特定的参数下可以观测到混沌吸引子。

2 蔡氏电路的MapleSim仿真

首先在建模界面用库元件构建蔡氏电路模型（图3）。由于MapleSim的元件库中没有如图2所示伏安特性的元件，需用其他元件来构建，蔡氏二极管可用多种方式实现，其中一种典型的方式可由两个运放和6个电阻构成（图3中10 μF电容右边的部分）。按图3中各元件旁标注的参数值在元件参数设置栏指定元件参数，改变电路中的任何一个参数都可以实现电路非线性特性的改变。本例中，把电阻R的阻值作为可调参数。接着设置探针Probe1检测流过电感的电流i，探针Probe2和Probe3分别检测100 μF和10 μF电容的电位v1，v2，并在Inspector选项初始条件栏指定初始条件i=0.001 A，v1=v2=0.1 V。最后在Settings选项中把仿真时间设置为0.01 s，选用ck45求解器并把作图点数设置为2000。点击“simulation”按钮即可运行仿真。

在改变电路参数的过程中，可以观察到蔡氏电路的分岔。周期性的分岔是通往混沌的道路之一。分岔是指在一族系统中，当某个参数越过临界值时系统长期行为的突然变化，在相空间表现为周期的倍增效应。分岔的最终结果就是形成混沌。图4是R=1.8 kΩ时仿真得出的电流、电压随时间的变化图，呈现出复杂的运动形态，不具周期性。图5是R=1.8 kΩ时i-v1，i-v2，v1-v2平面相图，相图轨线围绕着两个焦点交叉环绕，是一种双涡旋混沌吸引子，电路的动力学行为呈现出混沌。

双涡旋混沌吸引子是奇怪吸引子，是混沌研究的焦点之一，它具有如下特点。

1）从整体说系统是稳定的，吸引子外的一切轨线最后都要收缩进入到吸引子中。但是就局部来说，吸引子内部的运动又是不稳定的，相邻轨道相互排斥。

2）混沌运动的奇怪吸引子具有无穷层次的自相似结构，维数常常是非整数，这种结构称为分形。自相似性是混沌运动的奇怪吸引子区别于规则运动的平庸吸引子的一个重要标志。

3）非周期性。运动轨道永远不自我重复。

4）运动对初始条件的敏感依赖性，表现为相邻轨道的指数分离。也就是说进入吸引子的位置稍有差异，运动轨道就截然不同。

通过MapleSim的仿真，可以直观地观察到一个简单电路中复杂的非线性运动。初始条件的微小改变将对结果造成非常大的影响，形象地反映出混沌运动对初值的敏感依赖性。

完成蔡氏电路的仿真实验后，运用MapleSim可以方便地进行拓展，如超混沌电路、蔡氏电路混沌同步的仿真模拟。超混沌电路不同于蔡氏混沌电路，但同样也可以观察到倍周期分岔和吸引子。混沌同步是混沌保密通信、混沌密码学的基础，利用蔡氏电路的混沌同步实现保密通信是混沌电路的一个重要应用。学生通过混沌电路的计算机仿真实验不仅了解了原理，更重要的是明白了混沌电路的应用价值。在混沌电路计算机仿真实验的基础上，还可以进一步做实物实验来加深理解。

3 MapleSim仿真实验教学优势

学生刚开始接触电路实验课时，往往缺乏系统的基础知识和基本的实验操作技能，更缺乏活跃的创新思维能力。将MapleSim仿真技术引入实验教学，能够让实验课达到提高动手能力，培养理论指导实践的能力和创新能力的教学目标。MapleSim仿真实验有着传统实物实验所不具备的优势。首先，在做电路的仿真实验时由于没有因接错电路而导致仪器损坏的顾虑，可以放心大胆地连接电路，有利于激发学生的创新意识和创新能力，而教师则着重引导学生对一个实验尝试多种电路，比较其优缺点，选择不同的方案，比较仿真软件和实物电路在分析方法、测量方法以及测量结果方面的异同，引导学生去发现问题；其次，便于在验证性实验的基础上开展创新设计性实验，教师只给出设计要求和简单的设计原理，而要求学生充分发挥主观能动性来利用各种资源，从查阅资料开始着手，运用仿真软件设计电路到构建出实物电路、实际测量数据、总结分析，系统有步骤地提高学生的实验动手操作能力和独立思考能力，激发学习热情，使学生变被动学习为主动学习，从而达到培养学生的创新思维的目的。

另外，MapleSim相比于Matlab等传统仿真软件又有其自身的特点。MapleSim基于数学软件Maple强大的数值和符号数学引擎，提供了大量其他工具不具备的功能，如自动生成符号形式的系统方程和实时仿真代码，通过查看这些方程可加深对非线性电路的理解。符号计算正在成为最重要的新一代建模技术之一，它为模型方程提供了极大的灵活性，以及更好地管理模型，更快地得到计算结果。使用MapleSim，学生无需将模型转换为数学方程然后用信号流方块图表示，仅需要在建模界面上简单地使用代表物理模型的建模元件重建系统框图，并且还可以从基本原理出发直接创建新的建模元件，无需使用复杂的、容易出错的、耗时的编程方式。这些优点能够弥补传统仿真软件在教学中的不足之处。

4 结束语

运用MapleSim仿真软件自带的电子元件库建立蔡氏混沌电路模型，调节参数运行仿真观察到了奇怪吸引子，加深了对非线性现象的理解。通过蔡氏电路仿真的实例，可以看到基于MapleSim软件的电路实验教学可以引入综合性、设计性的元素，有利于培养和提高学生的创新思维能力。

参考文献

[1]张建忠.用Matlab数值模拟非线性电路混沌实验[J].实验技术与管理，2007（11）：86-91.

[2]杜宇上，肖化.基于Multisim的混沌电路仿真实验[J].实验室研究与探索，2013（1）：42-45.

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