数学是思维的科学

数学,使用文字、图形及奇特的符号构成了它的特定形式,这种形式就像一堵令人望而生畏的高墙,挡住了数学的光彩,使一些人感到神秘莫测.

其实数学是一个充满着生气的瑰丽多姿的大千世界；是人类思维高原上开出的灿烂花朵.数学高度的抽象性,逻辑的严谨性,应用的广泛性符合美学中的简单、统一、和谐原则.优美的公式(思维的结晶)像一首美丽的诗,严密的逻辑结构像优美的造型艺术,数学推理则犹如艺术作品中合理的布局,流畅的线条和层次分明的色阶.数字世界奇妙无穷,几何王国诗意朦胧,题海拾贝流连忘返,数理逻辑妙趣横生,数学灵感千古之谜.

数学家克莱因说：“数学是人类最高超的智力成就,也是人类心灵最独特的创作.音乐能激发或抚慰情怀；绘画使人赏心悦目；诗歌能动人心弦；哲学使人获得智慧；科学可以改善物质生活；但数学却能提供以上的一切.”

神舟5号载人飞船成功发射,顺利返回,实现了中华民族几千年的梦想,在举国上下欢欣鼓舞之际,可能很少有人想到数学技术在这一事件中扮演的重要角色.在遨游太空这一壮举中,数学中有两门学科起着关键作用：1948年仙农建立的数学信息论,以及1946年维纳开创的数学控制论.

首先,这需要地面远距离传送指令信息,这肯定要受到噪声的干扰.如何保证“神舟5号”上接受的指令完全正确,这需要用抗干扰的通信理论和数学滤波设计.

至于如何指挥“神舟5号”上的计算机启动阀门,调整飞行姿态,控制进入大气层的地点和速度,都必须准确地运用控制论技术.时至今日,宇航专家对这门数学控制技术的应用可谓驾轻就熟,因而使“神舟5号”太空之旅无惊无险.是的,我们虽然看不见数学技术的巨大威力,却无时无刻不在享受着它的恩惠.

依据多年的实践与思考,我们认为：数学姓“思”,即思考、思维、思接千载通万里.数学是“聪明学”,主要是为了使学生变得聪明、变得坚毅,数学应激发学生思考的热情,使学生会思考、善思考、勤思考.数学应使学生接受数学精神、思想和数学方法的薰陶,提高思维能力,锻炼意志品质,并把它们迁移到学习、工作和生活的各个领域中去.数学教学是数学思维活动的教学,而不是数学知识(数学结果)的教学.现代教学论认为,数学教学的任务应是形成和发展具有思维特点的智力活动结构.

数学是思维的体操.这是由数学内容高度的抽象和推理的严谨性而决定的.

曾经使爱因斯坦获诺贝尔奖的质能方程E=mc2,深刻而复杂的理论一经抽象,竟成了一个简单的方程式.如果用其它语言来阐明E=mc2所表达的思想,就会繁不堪言和“俗不可耐”.

如同文学艺术塑造典型形象一样,数学定理也是源于“生活”而高于“生活”.勾股定理,正、余弦定理,二项式定理等都是典型例子.归纳推理与演绎推理是数学学习中常用的两种模式.

数学推理,常把我们带到一个“美妙的世界”.如极限过程谁也不曾经历,但我们却能依据极限理论完成这个过程,并能推出许多结果.

推理的严谨性既是数学的特点,又是数学追求的目标.平面几何的严密体系使爱因斯坦感叹道：“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹, 这个逻辑体系如此精密地一步一步推进,以致它的每一个命题都是不容置疑的——我这里说的是欧几里德几何.推理的这种可赞叹的胜利,使人类理智获得了为取得以后的成就所必须的信心.”

数学思维的魅力表现在数学结构系统的协调、完备上.数学发现活动往往开始于对现有知识结构缺陷的直觉思维.

如考虑,ab=N定义的几种运算：

已知a,b,求N (乘方运算)；

已知N,b,求a(开方运算).

从对称性考虑,自然要研究已知的a,N求b的运算.即对数运算.如2b=4求b, 从而知b既叫指数又叫对数.N既叫幂又叫真数.“星星还是那星星”在不同的运算系统中“月亮”已不仅仅是那个“月亮”,因变换了时空,名称也要“与时俱进”.

数学思维的魅力还显示在数学的真实性和谦虚性上.“数学世界从它的公理开始直到演绎的最后一个环节都是不允许撒一个谎,说一句假话的.即便是错一个符号也不行.因为数学一说假话,马上就演算不下去,整个建筑就会轰然倒塌.数学这种 求真的忠诚和严肃性堪称为人类追求真理的表率和楷模,是感人至深的”.谦虚性表现在用自身理论证明自己不能的问题.诸如：尺规作圆不可能的问题(任意角的三等分、化圆为方等).

思维的魅力还表现在它是一种文化素养上.柏拉图在他哲学学校门口张榜申明,不懂几何学的人不得入内,并非课程要用几何学,柏拉图说,不经过严格的数学训练的人是难以深入讨论所设的课程及论题的.英国律师至今在大学里学习许多数学知识,并非律师课程与数学有直接联系,而是考虑：通过严格的数学训练,能养成一种坚定不移而又客观公正的品格,形成严格而精确的思维习惯.被誉为西方名将摇篮的美国西点军校,许多高深的数学课均为必修课.我国著名数学家徐利治访美时,曾两次应邀为研究生作报告.以培养将帅为目标的军校何以如此呢？这样做的目的并不在于未来实战指挥中要以这些数学知识为工具,而是考虑：经过严格的数学训练,能使学员在军事行动中,把那种特殊的活力与灵活性快速结合起来,使学员们具有把握军事行动的能力和适应性,从而为他驰骋疆场打下坚实的基础.学生所学的具体数学知识,进入社会后,几乎没有什么机会应用,因为这种作为知识的数学,通常在走出校门后不到一两年就忘掉了,然而不管他们从事什么业务工作,那种铭刻在头脑中的数学精神和数学思想方法,却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要的作用.这无疑是对数学思维的一个精彩注解.

数学教人聪明.眉头紧锁,凝神苦思,千转百回,山重水复疑无路……蓦然,灵光一闪,峰回路转,柳暗花明又一村：“哟,太妙了!”这不正是数学中的一种常见意境吗？巧思妙解一次一次把人的智力升华到新的无极境界；题海拾贝常让人流连忘返,废寝忘食；在那里,弄潮儿们沐浴着智慧的阳光,充满灵气的清泉汩汩涌出,美意无限,令人心旷神怡.精彩绝伦的巧思妙解、赏心悦目、美不胜收.如“哥德巴赫猜想”、“费尔马大定理”等,它们以严密的逻辑推理令人叹服,又以匠心独具的构建模式使人陶醉,无一不是思维的结晶.

现代数学教学把发展学生的思维提高到相当高的地位,形象地把数学比喻为“锻炼思维的体操”.奥加涅相认为,“区别于传统的教学,现代教学的特点在于力求控制教学过程以促进学生思维发展”.因此,当具体研究数学教学的序幕揭开后,我们把数学思维的研究作为这台“交响乐”的“序曲”.其实不少科学家对数学也做过类似的论述.辛格认为,数学的效用主要是“发展思维功能和掌握复杂情况的能力”.卡米查尔(R•Carmachael),说：“数学是一个思想领域,它为我们提供了有关清晰、精确思维的必要和明确的知识”,冯•诺意曼(V•Neunann),更称“数学处于人类智能的中心领域”.由于思想是人类智慧的核心,这就肯定了数学在培养人思维方面具有其他学科无法替代的功能.

更确切地说,数学是锻炼和发展人的多种思维能力的“智力体操”.数学是理性思维的精华.

1 数学是培养抽象思维和逻辑思维能力的传统学科

数学思维是严密的,最讲究秩序的.确实,五花八门的几何图形,如三角形、圆、多边形、长方体、圆锥面等等,居然可以从几个平凡的公理出发,步步为营,依次展开,推理出一系列的前后有序的定理链条,最后构成了欧氏几何学.它堪称是逻辑体系的奇迹,这一逻辑体系是如此精密地一步一步推进,使它的每一个命题都不容置疑,从而构建了一座巍峨的几何大厦.而对平行公理的另类处理,又导致了两种非欧几何的诞生,且在现代科学中找到了它的背景.逻辑推理的这一可赞叹的成就,不仅表明了数学的无限创造力,也使人类的理智获得了为取得今后成就的信心.另外,我们能从一堆乱麻似的数据中,找到一些关系,写成方程式,而且可以按部就班地把未知数一一解出来.一个数学命题的正确与否,通常都有方法,按照一定的程序,丝丝入扣地给以证明.这一切,都反映了数学思维的“秩序化”特征.学习数学,就是要学会逻辑,使人的头脑有条理,能够按照事物发展的逻辑顺序安排工作,办起事来有条不紊.

虽然数学和科学与人类文明同生共存,但由于数学科学的发展,特别是计算机的应用,今天的数学已不仅仅是一门科学,还是一种普遍适用的技术.数学给予我们的不仅仅是知识,更重要的是能力,这种能力包括直观思维、逻辑思维、精确计算和准确判断.

数学是思维的科学,而不是实验的科学.即绝大多数数学问题不能实验,但能进行推理和计算,利用推理和计算,可以解决高新技术中的关键问题.

当今世界已禁绝地面核试验,偶尔的地下核试验也会招致异口同声的指责.于是利用计算机和电脑模拟操作,把原子弹、氢弹试爆和导弹发射、航天飞行器飞行实验,降低到最低限度.一方面避免了世人的瞩目、指责,另一方面也节省了巨大耗资,又可规避危险因素,可谓一举三得.高新技术本质上是一种数学技术,也就是必须用方法来解决的技术.

2 数学又具有开发非逻辑思维与合情推理的功能

这是随着心理学与数学教育研究与实践的不断发展,而为人们所逐渐认识的.逻辑推理固然是数学论证必不可少的关键步骤,但数学上的发现和创新一刻也离不开观察、实验、类此、联想、不完全归纳、猜测、想象、直觉等“合情推理”.由于在当前的数学教学中,右半脑的功能还常常受到压抑,并表现为想象力贫乏,不善于灵活运用数学知识,缺乏探索和创新.因此,对非逻辑思维能力的训练,应受到更多的重视.

3 数学还发展出许多特有的思维方法和技巧,通过数学方法论的桥梁,能转化为一般的数学方法

数学是唯一能为人类提供精确思维的科学.英国科学家培根说：“数学是通向科学大门的钥匙”,人们现在越来越深刻地认识到,任何科学、理论、甚至技术,只有与数学结合起来,才能获得明确的思路,形成精确的结论,也才能获得广泛的应用.比如万有引力定律,其实万有引力思想早就有之,但只有牛顿以精确的数学公式表达时,才能成为科学中一条最重要的定律,从而得到广泛的应用.很难设想,没有万有引力的数学公式,会有今天的人造卫星和宇宙航行.爱因斯坦的相对论的发明也有类似的经历,所以爱因斯坦感到“理论物理学家,越来越不得不服从纯数学形式的支配”并坚信“创造性原则寓于数学之中.”从而印证了伽里略的名言：“自然界的伟大的书,是用精确的数学语言写成的.” 数学的精确思维,帮助科学家们在宏观的无穷和微观的无穷两个层面上,进行着精微无尽的探索,得到一个又一个妙不可言、令人叹服的思维成果.

有人认为,通过数学教学(学习)可以基本涉及人类思维的各个侧面,这是有一定道理的,事实上,作为一个更完整的认识,数学的教育功能还不仅仅是“训练思维的体操”.至少,我们还应看到：数学在培养、提高人的文化素质(思维品质)也有它独创的功效.

作者简介 蒋文彬，男，江苏宜兴人，1957年底出生，中学高级教师，2011年获“苏步青数学教育奖”二等奖；市首批学科带头人、市高级职称评委.淮南市模范教师，03—05年度市优秀党员.

主要从事数学教育思维、数学教育心理、数学教育学习学、数学解题研究.参编《教育思维学》等九本专著；主编《学海导航2011年高中总复习》、《学海导航2012年高中总复习》等九本书.在《数学教育学报》等刊文156篇.

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