意料之外,情理之中

摘 要：以课本中两个习题的相似性为源头，以学生课堂上的动态生成为着力点，让学生在活动的过程中体验问题意识与创新的重要性，并理解利用数学对象之间的相似性是问题产生的一种有效策略，从根本上改变学生的学习方式． 并进一步论述了这种学习方式是有助于激活学生的创新思维意识、培养学生良好思维品质的． 而对于面临高考在有限时间内进行复习的高三学生而言，这样的学习尤其显得更有意义．

关键词：反思；生成；学习方式；能力

在最近一次执教高二理科普通班数学时，由于学生数学基础比较薄弱，笔者平时除了精心备课之外，还非常注重从作业中获取反馈信息，以达到查漏补缺、强化基础的目的． 那天，笔者在借助多媒体讲完《双曲线的定义及其标准方程》后，学生们的作业中几乎没发现什么错误，他们掌握的都非常好． 于是，笔者就认真地备好了下一节课，准备在课堂上再大展身手一番，不料在上课时却从 “斜刺里杀出个程咬金”，搅乱了全盘计划．

在那天的数学课上，笔者首先对学生们的作业情况予以了表扬，然后准备上新课.正在这时，一个学生在下面讲道：“张老师，我觉得作业中第1题与课本第96页的小练习中的第4题是一样的，它们之间有什么内在关系吗？”

作业中第1题，即课本（人教版高中新教材第二册（上），2004年6月第一版，下同）第108页习题8.3中第1题：

△ABC一边的两个端点是B（0，6）和C（0，－6），另两边所在直线的斜率之积是，求顶点A的轨迹方程．

课本第96页的小练习中的第4题：

△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（－6，0）、（6，0），边AC，BC所在直线的斜率之积是－，求顶点C的轨迹方程．

“什么关系呢？”笔者既高兴又担心，高兴的是这个学生能用联系的观点看待问题，担心的是课堂计划完成不了．

“相关性.”不少学生在下面叫道．看样子笔者昨天在课堂小结时强调的“椭圆和双曲线的某些性质具有相关性”，有些学生已经学以致用了． 如果笔者现在浅尝辄止，马上把学生们的思维拉到新课“轨道”上来，不少学生肯定是心有不甘．于是笔者来个就坡下驴．

“能说得具体些吗？”笔者问．

学生：“这两个轨迹，一个是双曲线，一个是椭圆，虽然两个定点的位置不同，但这不影响轨迹的形状，差别主要在斜率之积的符号上． 要找出它们之间的关系，应考虑它们一般性的情况．”

“非常好，先考察它们的一般性.为了发现问题的方便，我们把两个定点都定在横轴上． 下面请大家互相讨论交流一下，它们的一般性情况是怎样的．” 笔者及时给予了鼓励．

几分钟后，笔者请几个学生讲了他们的讨论成果，并经大家讨论完善，得到如下两个一般性的情况．

题1：△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（－a，0），（a，0），a>0，边AC，BC所在直线的斜率之积是－（a>b>0），求顶点C的轨迹方程．

答案是：+=1?摇（x≠0）．

题2：△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（－a，0），（a，0），a>0，边AC，BC所在直线的斜率之积是（b>0），求顶点C的轨迹方程．

答案是：－=1?摇（x≠0）．

笔者引导学生们比较这两题的题设、结论及解法的异同，并启发大家能否合二为一？在大家讨论交流之后，一个学生给出如下一个问题：

△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（－a，0），（a，0），a>0，边AC，BC所在直线的斜率之积是m，求顶点C的轨迹方程．

“它的轨迹方程是……”笔者话还没讲完，学生就异口同声地说：“－=1（x≠0）”． 由前两题做铺垫，这道题的结果简直是水到渠成．

?摇“那么，它表示什么曲线呢？”笔者不失时机地问．?摇

“m>0时，表示双曲线；m<0时表示椭圆.” 学生们觉得这个问题太简单了．

“真的吗？”一听这句话，大家开始认真思考起来．

学生1：“m>0时，表示去掉A，B顶点的双曲线；m<0时表示去掉A，B顶点的椭圆．”

学生2：“不对，它也可表示圆．”

学生3：“m<0且m≠－1时表示去掉A，B两个顶点的椭圆；m=－1时表示去掉A、B两个端点的圆．”

“真是太棒了，”笔者总结道，“我们由课本上的两道习题得出其一般性的情况，并发现了它们的内在联系，而且还有了一个意外收获，知道了它什么时候可以表示圆，其实这种情况乃是课本第72页第8题的一种变式． 学生们在以后解题当中，就应该像今天一样，多思多想多总结，这样才能不断提高解题能力……”这时笔者已看见一个学生高高地举起了手．

“你又有什么新发现？”

“我发现它的逆命题也成立．对于椭圆方程+=1（a>b>0），A（－a，0），B（a，0），C（x0，y0）为椭圆上不同于A，B的点，则有kCA·kCB=－，在双曲线中也有这样一个结论．” 这个学生迫不及待地说道．

太绝了． 学生们都被这个学生穷追不舍的钻研精神所折服，情不自禁地鼓起掌来．

“双曲线中的结论是怎样的？”笔者环视大家，然后叫了一个基础比较薄弱的学生回答．

“在双曲线-=1中， A（－a，0），B（a，0），C（x0，y0）为双曲线上不同于A，B的点，则有kCA·kCB=．” 他犹豫了半天，最后才说出来．

一语惊醒梦中人．通过学生们的探索，使笔者猛然想起了2003年春季上海市的一道高考题． 笔者马上启发大家：“若A，B不是曲线的顶点，而是曲线上关于原点中心对称的任意两点，结论怎样？”然后笔者急步赶到办公室，从其文摘卡中找到该题． 当笔者回到教室时，发现有些学生已经成功了．

“结论怎样？”笔者问道．

“结论不变．” 大家众口一词．

“很好，下面我们来看一道高考试题．” 笔者边说边把这道试题投影到屏幕上．

题 （2003年春季上海市高考题）已知椭圆C1：+=1（a>b>0）具有性质：若M，N是椭圆C1上关于原点对称的两点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，则kPM·kPN是与点P无关的定值．试对双曲线C2：－=1写出类似的性质，并加以证明．

通过前面的探索，大家对这道习题的回答已不成问题了．

本节课纯属是一堂“意料之外”的一节课，事先毫无准备，但从整节课的气氛及效果来看，气氛是热烈的，学生们的参与度也比较高，效果也比较好．为什么会产生这堂课，笔者想这与其平时在课堂上要求学生“多用联系的观点审视问题，多注重解后反思”的思想是分不开的． 虽有意料之外，但也在情理之中．通过这节“意外”之课，使笔者深有感悟．

（1）教师应帮助学生及时反思解决问题的过程． 现代心理学告诉我们，认知结构中如果没有适当起固定作用的观念，那么知识的同化和顺应是难以实现的，而反思解题实际上是一个解题学习的强化过程，一个增加解题的可供联想储备信息的过程． 通过反思，有利于学生进行深层次的建构． 在学生解决问题的整个过程中，教师应适时地给予评价，促进学生的反思，培养学生的反思习惯，即元认知的意识． 通过反思使整个解决问题的活动得到升华，使学生新的知识经验得到巩固． 本节课可以说是学生通过作业反思而引申出来的一节课，在学生不断的反思中，激发了他们解决问题的热情和兴趣，并通过学生自己的探索从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验． 另外，在反思过程中，教师应不断地鼓励学生进行交流，让学生在交流中反思，在反思中交流，充分给学生以发现、探索、总结、发展的空间，以使学生可以不断地调整、修正自己对新问题的理解． 从而，进一步培养学生的创新精神和实践能力．

（2）教材首先是学生获得知识结论的载体． 随着学习的深入，知识积累的增多，各部分知识在各自发展中的纵向联系和部分知识之间的横向联系日益密切，不失时机地构筑知识网络并在各个阶段逐步扩充和完善是扎实掌握基础知识的重要一课． 教材中的许多例题和习题都反映了相关数学理论的本质属性，蕴含着数学的重要思维方法和思想精髓． 对这类数学问题，通过类比、延伸、迁移、拓展，提出新的问题并加以解决，能有效地巩固基础知识，发展数学能力，发挥教材的扩张效应． 美籍匈牙利数学家G·波利亚也指出：在解题时，应不断地变换你的问题，必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止． 本节课通过学生作业的“偶然”发现，以一及类，层层递进，不断变化，使学生在“火热的思考”当中，欣赏了数学“冰冷的美丽”，也发现了高考试题的“庐山真面目”． 这对挖掘教材习题的潜在功能，构建学生的知识网络，提高学生探索解决问题的信心，无疑是有帮助的．?摇

（3）学生课堂学习的方式可以是多样的．《高中数学课程标准》指出：“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识．” 高中数学教学大纲也要求，在高中阶段必须开展形式多样的研究性学习．研究性学习在课堂上应如何开展？关键在于教师要把研究性学习的理念渗透到学科教学之中，在教学中充分发挥学生学习的主体作用，结合学科教学内容，让学生在教师的指导下自主地发现问题、探究问题、获得结论，而不是把现成的结论告诉学生． 本节课从课本中两个习题的相似性出发，由学生自主地提出问题，进行一系列的探究活动，让学生在活动的过程中体验问题意识与创新的重要性，并理解利用数学对象之间的相似性是问题产生的一种有效策略，从根本上改变学生的学习方式． 这是完全有助于激活学生的创新思维意识、培养学生良好思维品质的． 而且这对于面临高考在有限时间内进行复习的高三学生而言，这样的学习尤其显得更有意义．

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