单摆法测重力加速度实验的影响因子分析及修正公式

摘 要 文中就单摆测重力加速度的影响因子进行分析，并对用单摆测重力加速度的计算公式作出修正。

关键词 重力加速度 单摆 精确度 修正

中图分类号：Q311.1 文献标识码：A

Pendulum Impact Factor Analysis and Revision

Formula of Acceleration of Gravity

WANG Zhixi， YANG Xiaorong， Dawa， JIA Yongzhang

（Department of Physics， Academy of Natural Sciences， Tibet University， Lhasa， Tibet 850000）

Abstract Analysis Pendulum impacting factor of acceleration of gravity ， the revised formula for measuring acceleration of gravity with simple pendulum experiment.

Key words acceleration of gravity； simple pendulum； impacting factor； revision

0 引言

单摆测重力加速度是物理学中较为简单和传统的一种方法，但其实验的准确性受到了实验和计算公式的影响，本文对影响单摆法测重力加速度的精确度进行分析并对单摆法测重力加速度的计算公式加以修正。

1 单摆测重力加速度实验的影响因子分析

单摆法测量重力加速度的实验原理①： = 4

将看做与的函数，由此可得到 （ ，） = 4 ，对该函数求全微分

= + = = （）

由此可知将看作常数则函数 （ ，）只与、有关，故误差来源于摆长和时间周期，从上式可知周期对函数 （ ，）的影响为主要因素。

1.1 实验过程中仪器与操作的影响

设为摆线长，为摆球的半径，为小球的质量，为摆线的质量，考虑操作时摆球作圆锥运动和复摆效应则单摆运动方程为：

（ + ）

= [ + + ]

解得近似解

（<5€埃郑？=

= 2

= （ + ）[1 + （1 + + ）]

由上式可知摆线的质量和长度、摆球的质量和半径、摆角、实验的操作都影响着周期的测量，进而影响对重力加速度的测量。

1.2 地球的高度及纬度对单摆测重力加速的影响

高度影响设摆球离地表面的高度为，地球的半径为，地球的质量为，摆球的质量为，依据万有引力可知：②

摆球在地表的某一高度

= ，

由此 = ，

周期 = 2，

则摆球离地表高度时单摆的周期与的比值为

= = 1 + ，

由此可知随着摆球离地面的高度的增大而增大。

纬度影响设地球某一点纬度为，测量重力加速的经验公式为

= 9.78030（1 + 0.005302 + 0.0000072）·。

当 = 0€笆保？= 9.7803·，

周期 = 2，

则单摆在地球某一点纬度为的周期与的比值，

= = 9.78030，

由此可知重力加速度在[0，]的区间内随着纬度的增大而减小。

2 测量时对周期产生影响的项进行修正③

摆线长，忽略圆锥摆的影响，摆线的质量，摆球的半径，摆球的质量。

2.1 复摆对周期的影响修正

依据转动定理可得

（ + ） = [ + + ]

当很小时，≈，可解得该方程的近似解为

由此可得考虑到复摆对重力加速度修正为

2.2 摆角对周期的影响修正

设为任意时刻的摆角，由单摆的运动方程可知

=

解得方程的周期（摆角不是很小）

= {1 + + + …+}

由此可得考虑到摆角对重力加速度修正为

= {1 + + + …+}

2.3 空气浮力对周期的影响修正

设空气的阻力为，空气的密度为，摆球的密度为，则（ + ） （ + ）= [ + + ]

解得该方程的近似解为

（浮力公式： = ）

由此可得考虑到空气浮力对重力加速度修正为

2.4 阻尼运动周期的影响修正

设球所受空气阻力为，空气的黏度，物体运动的速度，阻尼因素，在雷诺数小于1的情况下，由斯托克斯公式可知：④

= （ = ）

其运动学方程可写为（≤5€埃？

+ = （ + ）

令 = ， = ，≈，

+ 2 + = 0

解得该方程的近似解

由此可得考虑到阻尼运动对重力加速度修正为

= （ + ）（） = （） +

2.5 总体修正

把复摆、摆角、浮力及阻尼运动对重力加速度修正综合到一起考虑到 ， ，≤5€埃厍蛭扯燃案叨龋僮魇弊缎伟谟跋欤匀ジ叽蜗羁傻弥亓铀俣鹊男拚轿？

= {（）[2 + （ + ） + + ] + }（2 + + ）

3 总结

通过分析地球的纬度及高度、复摆、摆角、空气浮力、阻尼运动和实验操作中对测重力加速度的影响，对重力加速度公式做了修正，使实验测得的数据在该修正公式下计算得更加精确。

注释

① 孙丙西.单摆测重力加速度的修正公式[J].内蒙古民族大学学报（自然科学版），2005.20（6）.

② 梁绍荣等.普通物理学·力学（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2005：135-137.

③ 张存恕等.大学物理实验（第1版）[M].四川科学技术出版社，1986：249-252.

④ 梁绍荣等.普通物理学·力学（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2005：270-305.

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