弹簧-质量-阻尼实验指导书

　V:1.0 精选指导书

　弹簧-质量-阻尼实验指导书

　2020- -6 6- -8 8

　弹簧-质量-阻尼实验指导书

　 质量- 弹簧- 阻尼系统实验教学指导书

　北京理工大学 机械与车辆学院

　弹簧-质量-阻尼实验指导书

　实验一：单自由度系统数学建模及仿真 1 实验目的 （1）熟悉单自由度质量-弹簧-阻尼系统并进行数学建模； （2）了解MATLAB软件编程，学习编写系统的仿真代码； （3）进行单自由度系统的仿真动态响应分析。

　2 实验原理

　单自由度质量-弹簧-阻尼系统，如上图所示。由一个质量为m的滑块、一个刚度系数为k的弹簧和一个阻尼系数为c的阻尼器组成。系统输入：作用在滑块上的力f(t)。系统输出：滑块的位移x(t)。

　建立力学平衡方程：

　mx cx kx f   

　变化为二阶系统标准形式：

　22fx x xm    

　其中：ω 是固有频率，ζ 是阻尼比。

　km 

　2 2c cm km 

　 欠阻尼(ζ<1)情况下，输入f(t)和非零初始状态的响应：

　f(t) x k c m

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　( ) 2202 22 2 2( )( ) sin( 1 ( ))1(0) (0)[ cos( 1 arctan( )) sin( 1 )]1 1 1ttfx t e t dmx xe t t                    

　欠阻尼(ζ<1)情况下，输入f(t)=f 0 *cos(ω 0* t) 和非零初始状态的的响应：

　0 002 22 2 2 2 200 0320 02 2 2 2 20 02 2 2 2 2 220 0 0 02 2 2 2 2 2 20 0f 2( ) cos( arctan( ))( ) (2 )2 f[ (0) ] cos( 1 )[( ) (2 ) ]f [( ) (2 ) ] (0) (0)[ ] sin( 11 1 [( ) (2 ) ]ttx t tmx e tkx xe tk                                    ) 输出振幅和输入振幅的比值：2 2 2 2 20 01( ) (2 )Am      3 动力学仿真 根据数学模型，使用龙格库塔方法 ODE45 求解，任意输入下响应结果。

　仿真代码见附件 4 实验

　固有频率和阻尼实验 （1）将实验台设置为单自由度质量-弹簧-阻尼系统。

　（2）关闭电控箱开关。点击setup菜单，选择Control Algorithm，设置选择Continuous Time Control，Ts=，然后OK。

　（3）点击Command菜单，选择Trajectory，选取step,进入set-up,选取Open Loop Step设置(0)counts, dwell time=3000ms,(1)rep, 然后OK。此步是为了使控制器得到一段时间的数据，并不会驱动电机运动。

　（4）点击Data菜单，选择Data Acquisition,设置选取Encoder#1 ，然后OK离开；从Utility菜单中选择Zero Position使编码器归零。

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　（5）从Command菜单中选择Execute，用手将质量块1移动到2.5cm左右的位置（注意不要使质量块碰触移动限位开关），点击Run, 大约1秒后，放开手使其自由震荡，在数据上传后点击OK。

　（6）点击Plotting菜单，选择Setup Plot，选取Encoder #1 Position；然后点击Plotting菜单，选择Plot Data，则将显示质量块1的自由振动响应曲线。

　（7）在得到的自由振动响应曲线图上，选择n个连续的振幅明显的振动周期，计算出这段振动的时间t，由n/t即可得到系统的频率，将Hz转化为rad/sec即为系统的振动频率ω。

　（8）在自由振动响应曲线图上，测量步骤7选取时间段内初始振动周期的振幅X0以及末尾振动周期的振幅Xn。由对数衰减规律即可求得系统阻尼比。

　（9）实验数据记录 序号 第1次实验 第2次实验 第3次实验 实验测试频率

　实验测试阻尼比

　滑块质量m

　弹簧刚度k

　阻尼系数c

　频率理论值

　阻尼比理论值

　频率估计误差

　阻尼比估计误差

　（10）在仿真代码基础上，计算出实验结果对应的理论结果。对比分析理论和实验结果的差异。完成实验报告。

　幅频特性实验 （1）点击Command菜单，选择Trajectory，选取Sinuscidal，进入set-up,选取Open LoopStep设置Amplitude, Frequency(2Hz),Repetition(8)，然后OK。

　（2）从Utility菜单中选择Zero Position使编码器归零。从Command菜单中选择Execute，点击Run,在数据上传后点击OK。

　（3）然后点击Plotting菜单，选择Plot Data，则将显示滑块的受迫振动响应曲线。在响应曲线

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　图上，测量出振动振幅，计算出振动的频率并于输入的正弦曲线频率比较。

　（4）根据实验情况，改变输入的正弦曲线频率的大小，重复上述，纪录实验数据。

　输入频率 滑块实验幅值 滑块仿真幅值

　（5）在仿真代码基础上，实现正弦激励代码，计算出实验结果对应的理论结果。对比分析理论和实验结果的差异。完成实验报告。

　实验二：双自由度系统数学建模及仿真 1 实验目的 （1）熟悉双自由度质量-弹簧-阻尼系统并进行数学建模； （2）了解MATLAB软件编程，学习编写系统的仿真代码； （3）进行双自由度系统的仿真动态响应分析。

　2 实验原理

　数学建模

　 双自由度质量-弹簧-阻尼系统，如上图所示。由两个质量为m 1 和m 2 的滑块、两个刚度系数为k 1 和k 2 的弹簧和两个阻尼系数为c 1 和c 2 的阻尼器组成。系统输入：作用在滑块上的力f(t)。系统输出：滑块的位移x 1 (t)和x 2 (t)。

　建立力学平衡方程：

　1 1 21 1 1 1 1 1 22 2 12 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1( )0m x c x c x k x k x f tm x c x c x c x k x k x k x               

　固有频率 将动力学方程写成矩阵形式：

　f(t) x 1

　k 1

　c 1

　m 1

　x 2

　k 2

　c 2

　m 2

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　1 11 1 1 1 1 12 1 1 2 1 1 2 22 20 1( )0 ( ) ( ) 0x m c c k k x xf tm c c c k k k xx x                                                      得到系统的质量矩阵 M 和刚度矩阵 K。

　解行列式可得固有频率方程：2| | 0 K M   

　可计算出固有频率方程：

　22 21 1 2 1 2 11,21 2 1 2 1 240.5[ ( ) ]k k k k k km m m m mm   

　两个振动模态，两个固有频率：高模和低模。

　解耦 通过数学变换将微分方程变化为以下形式：

　21 1 1 1 1 1 122 2 2 2 2 2 22 ( )2 ( )y y y f ty y y f t             注意：y1 和 y2 不是 滑块的位移。滑块的位移 x 1 (t)和 x 2 (t)是 y1 和 y2 的函数。

　3 动力学仿真 根据数学模型，使用龙格库塔方法 ODE45 求解，任意输入下响应结果。

　仿真代码见附件 4 实验

　固有频率分析 （1）将实验台设置为双自由度质量-弹簧-阻尼系统，第一个滑块没有阻尼器可以不接，认为第一个阻尼为零。

　（2）闭合控制器开关，点击setup菜单，选择Control Algorithm，设置选择Continuous Time Control，Ts=,然后OK。点击Command菜单，选择Trajectory，选取step,进入set-up,选取Open Loop Step设置(0)counts, dwell time=3000ms, (1)rep, 然后OK。此步是为了使控制器得到一段时间的数据，并不会驱动电机运动。

　（2）点击Data菜单，选择Data Acquisition,设置分别选取Encoder#1，Encoder#2，然后OK离开；从Utility菜单中选择Zero Position使编码器归零。

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　（4）从Command菜单中选择Execute，用手将质量块1移动到2.5cm左右的位置（注意不要使质量块碰触移动限位开关），点击Run, 大约1秒后，放开手使其自由振荡，在数据上传后点击OK。

　（5）点击Plotting菜单，选择Setup Plot，分别选取Encoder #1 Position，Encoder #2 Position；然后点击Plotting菜单，选择Plot Data，则将显示质量块1，2的自由振动响应曲线。

　（6）实验数据纪录：

　实验条件：滑块质量m 1 和m 2 ，弹簧刚度k 1 和k 2 ，阻尼系数c 1 和c 2 。

　实验数据：时间-滑块1位移数据；时间-滑块2位移数据。

　问题1：两个滑块位移的频率测量值是高模和低模频率么 问题2：实际的机械系统是多自由度的，如何通过实验法测试系统固有频率 （7）实验报告。关键点是理论和实验结果对比分析。

　幅频特性实验 （1）点击Command菜单，选择Trajectory，选取Sinuscidal,进入set-up,选取Open Loop Step设置(200counts)Amplitude, Frequency(2Hz),Repetition（8），然后OK。

　（2）从Utility菜单中选择Zero Position使编码器归零。从Command菜单中选择Execute，点击Run,在数据上传后点击OK。

　（3）然后点击Plotting菜单，选择Plot Data，则将显示质量块1，2的受迫振动响应曲线。在响应曲线图上，即可测量出振动振幅。

　问题1：单自由度和双自由度系统的幅频特性有何差异 问题2：高模贡献分析。

　实验三：PID控制 1 实验目的 （1）学习PID闭环控制结构和系统闭环传递函数计算； （2）PID控制器参数设计； （3）控制性能分析。

　2 实验原理

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　 上图给出闭环控制系统原理框图。单自由度质量-弹簧-阻尼系统结构下，断开弹簧和阻尼，仅仅保留滑块质量 m。

　mx f

　电控箱可以看做比例增益 k hw 。

　hwf k u 

　其中：u 是控制器输出。PID控制：

　p i dk e k edt k e u   其中：e 是比较器输出，参考输入与实际输出的偏差值。

　e r x  

　根据全部上式，可得闭环结构微分方程：

　hw d hw p hw i hw d hw p hw im x k k x k k x k k x k k r k k r k k r         

　对应的传递函数：

　23 2( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )hw d hw p hw ihw d hw p hw ik k s k k s k kx sr s ms k k s k k s k k    3 PID设计

　PID控制器中设置积分因子 k i 为零，则为 PD 控制。传递函数变为：

　2( )( )hw phw dhw phw dk kk ksx sm mk kk k r ss sm m  闭环特征方程是分母：

　hw pk km 

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　2 2hw d hw dhw pk k k km k k m 

　设计频率ω=4Hz，三种阻尼（欠阻尼ζ=，临界ζ=，过阻尼ζ=）的控制器设计。

　ω=4 Hz k hw k p

　k hw k d

　ζ=0

　 ζ=

　 ζ=1

　 ζ=

　4 实验

　频率 （1）在控制器断开的情况下，拆除与质量块1连接的弹簧，使其余元件远离质量块1的运动范围，为其安装4个500g的铜块，加上小车本身的质量，标定总质量m=2.6kg。

　（2）实验标定k hw 值：根据估计出的k hw 值，设置控制器k i =0和k d =0，调整k p 来估计系统系统频率ω=4Hz。注意：

　k p 不能大于。

　（3）闭合控制器开关；点击Data菜单，选择Data Acquisition,设置选取Encoder#1和Commanded Position information；点击Command菜单，选择Trajectory，选取step，设置(0)counts,dwell time=3000ms,(1)rep。

　（4）点击setup菜单，选择Control Algorithm，设置选择Continuous Time Control，Ts=,选取PID，进入Setup Algorithm，输入k p 的值（k i =0和k d =0）（输入的值不能大于k p =），然后OK。移动质量块1到-0.5cm的位置（规定，朝电机方向为负）选择Implement Algorithm，然后Ok。

　注意：从此步开始的每一步，要进行下一步之前，都要与运动装置保持一定的安全距离；选择Implement Algorithm后，控制器将会立即加载，若出现不稳定的或者很大的控制信号时，运动装置可能反应很剧烈；若加载后，系统看上去稳定，要先用一轻质不尖锐的物体轻轻碰触质量块以验证其稳定性。

　（5）点击Command菜单，进入Execute，用手将质量块移动到2cm左右的位置，点击Run,移动质量块大约到3cm位置，然后释放（不要拿着质量块多于一秒，以免电机过热而断开控制）。

　（6）点击Plotting菜单，选择Setup Plot，选取Encoder #1；然后点击Plotting菜单，选择Plot Data，则将显示质量块1的时间响应曲线。

　试想一下，若将比例增益系数 k p 增加一倍，则系统的响应频率将有什么变化

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　 阻尼 （1）确定k d 的值（不能大于），使得k hw k d =50N/(m/s)，重复步骤4，除了输入kd的值和k i =0和k p =0。

　（2）先用尺子检查系统的稳定性，然后用手来回的移动质量块来感受系数k d 带来的粘性阻尼的影响（注意不要极度的迫使质量块运动，以免电机过热而断开控制）。

　（3）增大的 k d 值（k d <），重复以上步骤，看能否感受到阻尼的增大

　位置控制 （1）控制电机驱动滑块 1 移动到某一个特定的位置，获取时间-位移数据后，计算闭环控制特性，包括：超调量、上升时间、调节时间、稳态误差。

　（2）使用仿真方法计算得到同样条件下的动态响应结果，对比分析理论与实验结果的差异。

　正弦激励 （1）使用正弦输入驱动滑块作正弦运动，获取时间-位移数据后，计算闭环控制系统幅频特性。

　（2）使用仿真方法计算得到同样条件下的幅频响应结果，对比分析理论与实验结果的差异。

　柔性结构控制 （1）实验台只有质量块，为刚性结构机械系统。如果安装上一根弹簧，则组成简单的柔性结构系统（具有柔性环节）。此时机械系统由于能量交互可能产生振动。如何设计控制器来动态控制机械振动。

　 实验四：扰动抑制 1 实验目的 （1）外扰动设置； （2）PID控制器设计； （3）控制性能分析。

　2 实验原理

　 d x r 21ms hwk

　ip dkk k ss 

　＋ ＋

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　上图给出闭环控制系统原理框图。单自由度质量-弹簧-阻尼系统结构下，断开弹簧和阻尼，仅仅保留滑块质量 m。位移输出受到外扰动 d干扰。

　mx f d 

　电控箱可以看做比例增益 k hw 。

　hwf k u 

　其中：u 是控制器输出。PID控制：

　p i dk e k edt k e u   其中：e 是比较器输出，参考输入与实际输出的偏差值。

　e r x  

　根据全部上式，可得闭环结构微分方程：

　hw d hw p hw i hw d hw p hw im x k k x k k x k k x k k r k k r k k r d           

　对应的传递函数：

　23 2 3 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )hw d hw p hw ihw d hw p hw i hw d hw p hw ik k s k k s k ksx s r s d sms k k s k k s k k ms k k s k k s k k        3 PID设计

　PID控制器中设置积分因子 k i 为零，则为 PD 控制。传递函数变为：

　2( )( )hw phw dhw phw dk kk ksx sm mk kk k r ss sm m  闭环特征方程是分母：

　hw pk km 

　2 2hw d hw dhw pk k k km k k m 

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　附件 1: 实验 1 仿真代码 % exp 1

　clc

　clear

　global SK SC SM SF;

　sampling=1/1000;

　SK=200;

　SC=0;

　SM=;

　State=zeros(1,2);

　State(1)=1;

　State(2)=;

　sss=zeros(1,1);

　for k=1:fix(5/sampling)

　t=k*sampling;

　sss(k,1)=t; %time

　 SF=0;

　 sss(k,2)=SF;

　[TimeOdeArray,VarOdeArray] = ode45( @mdlDerivatives1, [t t+sampling],State);

　[m,n]=size(TimeOdeArray);

　TimeAtEndOfArray = TimeOdeArray(m,1);

　if( abs(TimeAtEndOfArray - (t+sampling) ) >= abs*sampling) ) warning("numerical integration failed"); break;

　end

　VAR = VarOdeArray(m, : );%ò23¤áêμ×′ì

　State=VAR;%3ê×′ìüD￡DDò′μü′ú

　sss(k,3)=VAR(1);

　 % response

　 sss(k,4)=VAR(2);

　 % velocity

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　end

　plot(sss(:,1),sss(:,2),"r",sss(:,1),sss(:,3),"k",sss(:,1),sss(:,4),"b");

　 % mdlDerivatives1

　function dx=mdlDerivatives1(T,x)

　global SK SC SM SF;

　% y(1)=x;

　% y(2)=xd;

　dx=zeros(2,1);

　%sloshing dynamics

　 dx(1)=x(2);

　 dx(2)=SF/SM-SK/SM*x(1)-SC/SM*x(2);

　附件 2: 实验 2 仿真代码 % exp 2

　clc

　clear

　global SK1 SK2 SC1 SC2 SM1 SM2 SF;

　sampling=1/1000;

　SK1=200;

　SK2=200;

　 SC1=0;

　SC2=0;

　 SM1=;

　SM2=;

　 State=zeros(1,4);

　State(1)=;

　State(3)=;

　sss=zeros(1,1);

　for k=1:fix(5/sampling)

　t=k*sampling;

　sss(k,1)=t; %time

　 SF=0;

　 sss(k,2)=SF;

　[TimeOdeArray,VarOdeArray] = ode45( @mdlDerivatives2, [t t+sampling],State);

　[m,n]=size(TimeOdeArray);

　TimeAtEndOfArray = TimeOdeArray(m,1);

　if( abs(TimeAtEndOfArray - (t+sampling) ) >= abs*sampling) ) warning("numerical integration failed"); break;

　end

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　VAR = VarOdeArray(m, : );%ò23¤áêμ×′ì

　State=VAR;%3ê×′ìüD￡DDò′μü′ú

　sss(k,3)=VAR(1);

　 % response

　 1

　sss(k,4)=VAR(2);

　 % velocity

　 1

　sss(k,5)=VAR(3);

　 % response

　 2

　sss(k,6)=VAR(4);

　 % velocity

　 2

　end

　plot(sss(:,1),sss(:,2),"r",sss(:,1),sss(:,3),"k",sss(:,1),sss(:,5)-sss(:,3),"b");

　 % mdlDerivatives2 function dx=mdlDerivatives2(T,x)

　global SK1 SK2 SC1 SC2 SM1 SM2 SF;

　% x(1)=x1;

　% x(2)=x1d;

　% x(3)=x2;

　% x(4)=x2d;

　dx=zeros(4,1);

　%sloshing dynamics

　 dx(1)=x(2);

　 dx(2)=(SF-SC1*x(2)+SC1*x(4)-SK1*x(1)+SK1*x(3))/SM1;

　 dx(3)=x(4);

　dx(4)=(-1*SC2*x(4)-SC1*x(4)+SC1*x(2)-SK1*x(3)-SK2*x(3)+SK1*x(1))/SM2;

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　 附件 3 快速傅里叶变换 FFT 计算频率代码 %frequency response

　sampling=1/1000;

　Fs=fix(1/sampling);

　data=sss(1:fix(5/sampling),3);

　m=length(data);

　nfft=2^nextpow2(m);

　y=fft(data,nfft);%μàò±

　Ayy=abs(y)*2/nfft;

　f0=(0:nfft/2-1)*Fs/nfft;

　% Hz , 1/s

　f1=f0*2*pi;

　 % rad/s

　zzz(:,1)=f0;

　zzz(:,2)=f1;

　zzz(:,3)=Ayy(1:nfft/2);

　plot(zzz(:,1),zzz(:,3));

　xlabel("frequency/Hz");

　ylabel("magnitude");

　title("freqency response");

　 1

　Command/Trajectory

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　输入命令 2

　Command/Execute 执行 3 plotting/Setupplot 绘图运动轨迹

　4 Setup 改变控制器

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