滑塌式危岩破坏断裂力学分析

单位长度水平地震力，为单位长度竖向地震力，为单位长度的岩体重力。

在图1中的裂纹尖端选取单元体，在岩石自身重力作用下形成压剪应力（如图2）。

在单元体平行于轴的直线上，设其外法线与坐标轴的夹角分别为、，则有：

，，，

将已知参数带入边界条件方程：

（1）

（2）

可得：

，

在单元体平行于轴直线上，同理可得：，。综上可得：

（3）

建立新、旧坐标系如图3所示，旧坐标系的应力张量为，新坐标系的应力张量为。新坐标系轴在旧坐标系2个坐标轴上的投影（即与2个坐标轴的夹角余弦）分别为、；新坐标系轴在旧坐标系2个坐标轴上的投影（即与2个坐标轴的夹角余弦）分别为、。

推导已知：

（4）

（5）

（6）

将（3）（4）（5）代入（6），则有：

（7）

由上式应力张量可知：

（8）

2 推导Ⅰ型应力强度因子

设，，根据Westergaard提出的应力函数[7]为：

（9）

因为，，所以：

（10）

同理可得：

（11）

（12）

将Westergaard应力函数偏微分，可得：

（13）

同理可得：

（14）

（15）

将（13）（14）（15）整理，可知：

（16）

如图4所示，在无限体内有一个长为的中心贯穿裂纹，在其无穷远处受双向均匀应力作用。其边界条件为：当，a时，>；当，。

由（16）式可知，当，时，；当，时，。可将其应力函数假设为：

由于其裂纹关于轴对称，因此假设其应力函数为：

由于上述应力函数是在，的特殊情况下推导的。对于大多数情况下，因此可将上式中用代替，则有：

（17）

将原坐标点移新坐标点，设新坐标系中任意一点的复数坐标为，则两坐标系的换算关系如下：

（18）

即：

（19）

将（19）式带入（17）式：

（20）

当时，令

（21）

由于当→0时，为一常数。因此，可令常数为：

（22）

联解（20）（21）（22），可得：

（23）

3 推导Ⅱ型应力强度因子

设，，根据Westergaard提出的应力函数[7]为

（24）

因为，，所以：

（25）

同理可得：

（26）

（27）

将Westergaard应力函数偏微分，可得：

（28）

同理可得：

（29）

（30）

将（28）（29）（30）整理，可知：

（31）

如图5所示，在无限体内有一个长为的中心贯穿裂纹，在其无穷远处受双向均匀剪应力作用。其边界条件为：当，a时，>；当，。

由（16）式可知，当，时，；当，时，可将其应力函数假设为：

由于其裂纹关于轴对称，因此假设其应力函数假设为：

由于上述应力函数是在，的特殊情况下推导的。对于大多数情况下，因此可将上式中的用代替，则有：

（32）

将原坐标点移新坐标点，设新坐标系中任意一点的复数坐标为，则两坐标系的换算关系如下：

（33）

即：

（34）

将（34）式带入（32）式：

（35）

当→0时，令

（36）

由于当→0时，为一常数。因此，可令常数为：

（37）

联解（35）（36）（37），可得：

（38）

4 推导不稳定岩石的Ⅰ-Ⅱ复合应力强度因子和断裂角

令Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹的裂尖应力强度因子为：

（39）

联解（23）（38）（39）可得如下关系：

（40）

由于水平地震力和竖向地震力不能同时考虑，因此可分别在其前面添加一个系数和，构建如下函数：

（41）

设危岩其重心点的坐标为，为主控结构面的孔隙水压力的最大值，为轴方向的分量总和，为轴方向的分量总和，则有：

（42）

（43）

设为常数，根据Ⅰ型裂纹的Westergaard应力函数，可得：

（44）

设为常数，根据Ⅱ型裂纹的Westergaard应力函数，可得：

（45）

联解（8）（28）（32）（33）可得：

（46）

根據最大周向应力理论（准则）[8]，可以求其解断裂角。

（47）

令，带入（47），则有：

（48）

根据一元二次方程可解得：

当时，其断裂角大于180°，裂纹将向反方向扩展，显然与实际情况不符，应当舍去。

因此，可得理论断裂角θ0为：

（49）

5 算例分析

重庆市万州危岩w15属滑塌式危岩，其高度为9.5 m，长度为4 m，厚度为20.5 m，裂缝长度为18.5 m，将其荷载拟定为重庆市地方规范手册中的工况三（自重+裂隙水压力+地震力）。通过该文推导的Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹的应力强度因子公式可得其KⅠ应力强度因子为976.254，应力强度因子为814.264。与《应力强度因子手册》的计算结果进行对比，发现其相对误差为2.68%。

6 结语

该文通过考虑重力、裂隙水压力和地震力的影响，建立了岩石工程中常见的滑塌式危岩力学模型。此外，通过断裂力学得到了Ⅰ-Ⅱ复合应力强度因子。根据最大周向应力理论，通过三角形万能公式计算得出了理论断裂角。对防灾减灾和工程安全评价具有一定的理论指导意义和经济价值。

参考文献

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