分形几何及其应用

摘要： 自然界中存在着很多结构复杂的图形，这些图形都是欧式几何学无法解释的，因此人们引出了分形的概念；用分形几何学的方法，比较简单地解决了对这些复杂的图形的认识；随着分形几何学的不断发展和完善，分形几何已经成功的应用到各种学科领域，并且取得了大量研究成果。本文主要介绍了分形的定义以及阐述了分形在自然界、材料学、图像压缩技术、分形生长、岩土工程领域和石油工业等科学和技术方面的应用。

Abstract： There are a lot of complex graphics in nature which can"t be explained by European geometry， so people introduced the concept of fractal. By using the fractal geometric method， these complex graphics can be easily to know. With the continuous development and perfect of fractal geometry， fractal geometry has been successfully applied to various disciplines， and lots of research results were presented.In this article， the definition of fractal introduced was described and the application of fractal in nature， materials science， image compression technology， fractal growth，geotechnical engineering fields and the application in the oil industry were elaborated.

关键词： 欧式几何；分形几何；自相似性；分形维数

Key words： European geometry；fractal geometry；self-similarity；fractal dimension

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2012）35-0005-03

0 引言

在我们的日常生活中一提到图形人们便会很自然的想到正方形、三角形、圆形等其它一些常见的图形，并且我们可以运用已有的工具去测量它们长度，进而可以得到我们所需要的面积、体积等数据。这些常见的图形是规则的，光滑的，我们可以运用传统几何学（欧式几何学）知识来对它们的性质加以描述。然而，在普遍的生活中，我们接触到的图形大多数都是不规则的，例如：蜿蜒曲折的海岸线、一棵大树和一块石头等等，这些形状不规则的图形很难用欧式几何学的知识去描述。曾经被人们一度称为“病态结构”，让人们无从着手，但是在大自然界中这些图形或结构却是普遍存在的，因而对这类图形或结构的认识和分析就显得极其重要。

具体分形是什么，利用分形又能认识哪些复杂的难题是我们这篇文章所要阐述的问题。

1 什么是分形

分形是对那些不规则结构或构型的总称。自相似性是它的重要特征，也就是说分形的局部总能与整体以某种方式相似，而分形的整体却不随测量尺度的变化而变化。所谓自相似性，简单来讲，其实就是指跨尺度的对称性。也就是：我们把图形的某一部分放大后形状和总体相似。无论是多小的部分，若把它放大到适当的大小，总能得到与原来相似的图形。这一性质也称为标度不变性。例如：从不同高度去拍摄海岸线照片时，我们会发现，尽管视野不同，但是总能得到相似的海岸线图形。像这种，从远处观察到的大范围结构和在近处看到的小范围结构具有相同的复杂程度的性质，我们就把这种性质称为图形的自相似性或是标度不变性。

分形理论正是运用自相似性和标度不变性把复杂的图形简单化，使得分形成为我们认识复杂图形的新途径，我们应该用什么工具去描述和度量那些复杂图形的性质呢？在传统的几何学中，我们熟悉的点、线、面、体分别是0维、1维、2维、3维的，这里的维数只能取整数，而在分形理论中，那些复杂结构的图形已经很难用简单的整数维数去描述，因此我们引出了分形维数的概念，1919年著名的数学家豪斯道夫提出了连续空间的概念，他认为空间维数不应该是突变的，而应该是连续的，所以分形维数不再仅仅是简单的整数。

目前常用的分形维数有很多种定义方法，例如有豪斯道夫维数、信息维数、相似维数、广义维数、关联维数，最常用的是豪斯道夫（Hausdorff）维数[1]，记作D。

2 使用分形的目的和意义

分形几何与欧式几何的区别很多，表1就简单的列举了分形几何与欧式几何的差别。

欧式几何有超过2000年的历史，而分形几何仅30多年的历史，因此分形几何学又被称作“现代怪物”；欧式几何是基于特征长度或比例对物体进行观察和测量的，分形几何采用分形维数来认识被观察的物体；欧式几何却仅仅适用于形状规则的人工制品，分形几何可以应用到自然界的各种形状；欧式几何采用公式描述的方法，分形几何用的是递归算法去描述。两者差别之大，从中我们也能够看出欧式几何的局限性。分形几何采用的是传统的数学研究方法与计算机相结合，使得分形成为了看得到又摸得着的东西，因此得到了人们的认可；分形几何又使得不同领域的科学家有了共同语言；分形的深刻理论和使用价值使得分形学得到了突飞猛进的发展。

3 分形的应用

分形理论从其诞生那一天开始就和应用紧紧相连密不可分，从小分子到宇宙星系，从社会科学到自然科学，凡是具有自相似结构的就会有分形的应用。

3.1 分形在自然界中的应用

3.1.1 比如树木和植物的根部机构。通过对根部机构的分析，我们可以发现树木和植物的根部体系也是一种分形体系。

根据分形研究理论，冯斌[2]等人建立了相应的计算机模型，实现了对植物根部体系机构的生长过程的计算机模拟，并且与实际结果进行了比较分析，检验结果与实际的较为接近。从模拟的单根不同埋深的分形维数来看，模拟结果的分形维数与实际测量的分形维数非常接近[3]。可见分形的应用，为模拟植物根部体系提供了一种新方法，为植物得到更好的生长作出了巨大贡献。

3.1.2 实际上，我们其实就生活在分形的空间中。比如说，对于一个城市，由于政治、经济等不同的因素，城市会发生巨大的变化，我们可以借助分形理论的思想对城市进行优化[4]，以便更加合理的利用地理空间和环境，使得我们的城市更加美丽。英国科学院院士巴迪（Batty）[5]曾经说过：“我们的自然地理学和人文地理学的许多理论正在被分形理论重新解释，它们在我们未来的地理教育和实践中将如同今天的统计学和地图一样平常”。

3.1.3 模拟自然景象 用分形几何学原理由计算机可以描绘出非常逼真而生动的自然景象[6]；分形图形以其奇妙多端的图形结构，深邃迷幻的图形演变，已经在模拟现实景观、多媒体制作、教学娱乐和计算机动画中取得了极大的用途。

3.2 分形在材料中的应用 随着科学技术的发展，材料科学已成为远离非线性动力学中比较活跃的一个领域。用分形理论研究材料科学也就非常必要了，其主要表现在：①材料断口的分型特征，②分形与材料的力学性能[7]；并且在研究材料的其他性质时，分形理论也取得了很好的成果。在研究超导现象时人们发现材料微观结构的分形维数和超导电性是密切相关的。

3.3 分形在图像压缩技术方面的应用 为了解决欧式几何难以解决的自然真实图像的描绘问题，Barnsley[8]和Jacquin[9]提出了分形图像编码算法，其主要优点在于能够保证在很高的压缩比下保持图像质量仍是完好的，分形编码从此引起了广泛的关注，并被认为是一种非常有前景的图像压缩技术；国内外的很多学者不断的在改进图像压缩方法，大多集中在以下几个方面：提高压缩比和编码效果、加快编码时间、提高解码速度、与其它编码技术相结合的混合编码技术[10]。相信分形在图像压缩技术中的应用会取得更大的进展。

3.4 分形生长及其应用 分形生长的机理一直困扰着广大科学家，为了揭示分形形成的潜在物理规律，Meakin[11]以崭新的思路从数学和物理的角度深刻的分析了分形的生长机理。Meakin从研究沸腾中的气泡的形成机理出发，将研究成果扩大到了非线性复杂系统的解释和证明，包括竞争与协作、广义流集中、趋势特性和变尺度分析等多个新思想，最后推导出复杂系统出现了分层自相似结构，即分形。在物理、化学、生物学、材料科学等科学领域存在很多分形生长的实例，我们研究它们的生长规律，以便达到应用它的目的。计算机模拟和实验研究是目前主要采用的研究方法。

3.5 分形在岩土工程领域的应用 岩土材料由于其结构的非连续性，决定了它是一个分形体。中国分形理论颇具影响力的专家，中国工程院院士谢和平最早将分形理论应用到岩土工程领域，创立了“分形-岩石力学”理论，倡导在岩石力学问题的分析中应该考虑分形的影响。该学说解决了岩石力学理论与工程实践中所遇到的各种难题。比如岩石节理力学行为的研究[12]、工程问题中的分形[13]等。

3.6 分形在石油储层孔隙结构中的应用 石油储层的孔隙结构不仅影响着油气的产量和采收率，而且能够反映出油气储量，分形几何的创立为研究储层岩石的孔隙结构提供了新方法和新思路；分形几何所建立的新的储层岩石孔隙机构评价体系，对指导下一步油气勘探与开发及三次采油的顺利进行有着现实的重要的指导意义。

分形理论在石油地质领域的应用研究早在上世纪90年代就见到了大量的报导，很多科学家采用不同的方法对储层岩石的孔隙结构进行了分形研究，并且取得了很好的研究成果。例如：Pfeifer P.[14]等人采用分子吸附法证明了储层岩石的孔隙结构具有分形特征，分形维数是介于2和3之间的小数；Angulo R.F等人[15]首次采用压汞法得到了毛管压力数据，算出了砂岩的分形维数；刘波[16]、文慧俭[17]等利用压汞法得到的毛细管压力曲线，分析了低渗透岩心的孔隙结构的分形特征，认为分形维数可以反映储层的物性变化。还有很多其它的例子，这里就不一一列举了；相信分形理论在石油工业领域的应用还会有更好的发展前景。

总之随着分形理论的不断发展和完善，分形几何学被广泛的应用在多种学科领域。

4 在石油工业中所面临的问题和挑战

经过几十年的发展，在石油工业中分形几何发挥了很大的作用，并取得了一定的科研成果，但同时也发现了一定的问题，例如：砂岩的孔隙结构的分形维数经常在10-2的数量级上比较分析，这样小的变化范围使得其分形维数的分辨率低，导致分形维数的应用受到限制。这时为了更好地分析孔隙结构，就要求我们寻找新的参数作为辅助指标。

目前分形维数的测定仅限于分析2维薄片图片。①如果能直接从砂岩岩心测得其孔隙的分形维数（2

这时，就需要我们对此进行深入的探讨，使之由定性研究发展到定量研究，使得研究结果更符合客观实际。

参考文献：

[1]谢和平.分形-岩石力学导论[M].科学出版社，1996.

[2]冯斌，杨培岭.植物根系的分形及计算机模拟[J].中国农业大学学报， 2000， 5（2）： 96-99.

[3]冯斌.基于分形图像处理的计算机模拟分析研究[D].北京：中国农业大学，1996.

[4]陈彦光.分形城市与城市规划[J].城市规划，1002-1329（2005）02-0033-08.

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[8]Barnsley M F， Hurd L P. Fractal Image Compression[M]. Massachusetts Wellesley：Publishers Inc， 1993.

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[11]Meakin P. Fractals，Scaling， and Growth far from E-quilibrium [M].Cambride：Cambridge University Press， 2000.

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[13]谢和平，刘夕才，王金安.关于21世纪岩石力学发展战略的思考[J].岩土工程学报，1996， 18（4）： 98-102.

[14]Pfeifer P.， Avnir D.Chemistry non-integral dimensions between two and three [J].J.Chem Phys，d1983， 7（7）： 3369-3558.

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[16]刘波，樊晓东，李莉，李克文.低渗透油田岩石微观性描述及对开发效果影响[J].辽宁工程技术大学学报（自然科学版），2009， 28（Supp1）：150-152.

[17]文慧俭，闫林，姜福聪，杨晶霞.低孔低渗储层孔隙结构分形特征[J].大庆石油学院学报，2007，31（1）：15-18.

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