用假设法教学“抽屉原理”

抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷提出来的，因此，也称为狭利克雷原理。分为原理1：多于n个的元素，按任一确定方式分成n个集合，则至少有一个集合中含有至少2个元素。原理2：把多于np个元素（n、p∈N）分成n个集合，则至少有一个集合中含有至少p+1个元素。原理3：无穷多个元素分成n个集合，则至少有一个集合中含有无穷多个元素。抽屉原理1、2是小学六年级《数学》下册第五单元的教学内容。在具体的教学中，笔者利用“假设法”进行教学，取得了很好的教学效果。

抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多，至于多多少，这倒无妨。“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。将a件物品放入n个抽屉中，如果a÷n=m……b，其中b是自然数，那么由抽屉原理2就可得到，至少有一个抽屉中的物品数不少于（m+1）件。

基于以上认识，在教学例1：“把4支铅笔放入3个纸盒中，不论怎么放，总有一个纸盒里至少放进2支铅笔”时，利用数据简单这一特点，我们首先用“枚举法”将所有的可能摆出，然后让学生观察，引导学生得出一般性的结论。当物体个数大于抽屉个数时，一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。然后引导学生理解“假设法”的思路，即先假设在每个盒子先放1支，还剩下1支，放入任意一个文具盒，那么这个文具盒就有2支铅笔了。这种方法比“枚举法”更为抽象，但更具一般性。教学完这两种方法后，引导学生对他们进行比较，思考枚举的方法有什么优越性和局限性，假设法有什么优点。

假设法最核心的思想就是将物品尽量多地平均分给各个抽屉，剩下的物品不管分给哪个抽屉，总有一个抽屉比平均分得的数量多1。这个核心思想是用有余数的除法这一数学形式表示出来。分得的物品数是除法算式中的商加“1”，而不是商加“余数”。为什么不是加余数而是加1呢？同样可以有尽可能地平均分来理解，应假设余下的数量也尽可能地平均分到每个抽屉，那么总有一个抽屉比平均分得的数量多1，这样就很好理解了。（作者单位：江西省南康市逸夫小学）

□本栏责任编辑 周瑜芽

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