圆锥曲线中定点与定直线的一般结论

文［1］中提到了圆锥曲线的极点和极线，文［2］中研究了圆锥曲线上任一点的一个有趣性质.其实圆锥曲线的极点和极线在高中课本中可谓是“视而不见”.大多数老师和学生对此并未进行深入探讨.因为课本中已经将极点和极线特殊化了，即圆锥曲线的焦点和相应准线.但随着课程改革的不断深入，对已学知识的拓展应用不断加强.2010年江苏卷第18题，就涉及此类性质的应用.同时也激发了广大数学爱好者对极点和极线研究的热情.

文［3］是大家从不同角度对这一题目的注解.文［4］是从本质上诠释第18题的内在联系.综观之前的些许研究，在探讨极点和极线性质上，结论的给出都强调了有心圆锥曲线，即弦必过圆心.在证明过程中都把x轴作为弦所在的直线.笔者本着数学的简洁与完美，对极点和极线做了进一步推广，得到了圆锥曲线与任一定点和其曲线外对应的定直线的相关性质，同时在不借助任何坐标轴的情况下进行了证明.使其更具有一般性.

结论如下：

结论1 如图（1）如果在椭圆中的任意取一点P，过点P任意作椭圆的两条弦AB,CD.连接 CA,BD并延长.那么这两条直线的交点必在一条定直线上.

结论2 如图（1）如果在椭圆中任取一点P.那在椭圆外必有一条定直线l,过P点做椭圆的弦 AB，在直线l上任取一点Q，连接QA,QD，并延长分别交椭圆于C ,D两点，则就有 C,P,D三点在同一条直线上.

结论3 如果在定直线上取一点Q,且过Q点的直线QA,QB与椭圆交与C,D两点.则直线CD必过一定点.

因为三个结论都相通，故只需证明一个结论即可.所以本文只证明结论1.

分析 要证结论1，为减少运算量，采用“圆化法”.因为在仿射变换下，同一直线上任意两线段之比是仿射不变量，直线交点也是仿射不变量.因此只要作一个仿射变换将此椭圆变为圆，然后再证明交点在定直线上的问题即可.

证明 如图（2）为了不失一般性，设圆的方程为（x-a）2+y2=R2，在圆内任取一点，为了进一步减少运算量就取定点是原点.设过原点的两条直线的斜率分别为k1,k2

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