好问题源于课本素材

活动的关键之所在。数学“综合与实践”活动所围绕的“问题”应具有综合性、实践性、数学性、现实性。开发这类“问题”需要有好素材，好素材的一个非常好的源头是课本。拓展课本“核心知识”，选用课本“配置习题”“数学活动”“阅读内容”“课题学习”素材，是利用课本素材开发数学“综合与实践”活动问题的基本路径。

关键词：综合与实践;问题开发;课本素材

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2019）10B-0033-04

数学的“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。[1]要使学生能充分、自主地参与“综合与实践”活动，选择恰当的问题是关键。[2]选择恰当的问题离不开好素材。课本中有很多可以进一步研制、开发、生成“恰当的问题”的好素材。笔者结合自己主持的江苏省第11期中小学教学研究课题“初中数学‘综合与实践’教学的校本化研究”的研究，与各位同仁交流数学“综合与实践”活动问题开发的基本原则，以及从课本素材中开發数学“综合与实践”活动问题的基本路径。

一、数学“综合与实践”活动的问题开发的基本原则

“问题”是数学“综合与实践”的载体。寻找好的“问题”，设计“主问题”或“问题串”是数学“综合与实践”活动的首要任务和关键。“问题”的开发应遵循以下基本原则：

1. 让“问题”具有综合性

“综合与实践”的教学要注重数学与生活实际、数学与其他学科、数学内部知识的联系和综合应用。[3]在数学“综合与实践”的学习中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”这三大领域的相关知识与方法解决“问题”。因此，数学“综合与实践”活动的问题开发，应让“问题”具有综合性。

2. 让“问题”具有实践性

“综合与实践”的教学活动中，要注重学生的自主参与、全过程参与，重视学生积极动脑、动手、动口。[4]数学“综合与实践”活动所围绕的“问题”，应能驱动学生积极动脑、动手、动口，在多感官实践的基础上，积极、自主地综合运用数学知识解决问题。因此，数学“综合与实践”活动的问题开发，应让“问题”具有实践性。

3. 让“问题”具有数学性

数学“综合与实践”活动重“实践”，但不只是动手操作实践，不能把它弱化为劳技课。实践更关注动脑（用数学的思维思考）、动口（用数学的语言交流、对话、思维碰撞）。在动手操作中建立直观感悟，在直观感悟基础上数学思考，从而指导动手操作、发展数学思维能力。因此，数学“综合与实践”活动的问题开发，应让“问题”具有数学性。

4. 让“问题”具有现实性

数学“综合与实践”活动选用“问题”时，要考虑学生的年龄特征、生活现实、认知现实和数学现实。唯有通过切合学生生活实际和认知实际的“问题”，才能让学生自主参与、全过程参与成为可能，才能让数学“综合与实践”活动学习真正发生。因此，数学“综合与实践”活动的问题开发，应让“问题”具有现实性。

二、从课本素材中开发数学“综合与实践”活动问题的基本路径

课本是学生数学学习最重要的资源，它为学生提供了学习主题、基本线索和知识结构。《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求：教材所选择的学习素材应尽量与学生的生活现实、数学现实、其他学科现实相联系，有利于加深学生对所要学习内容的数学理解。[5]因此，课本中的素材普遍具有“数学性”和“现实性”。其中部分素材还兼具有“综合性”“实践性”，这些素材是开发数学“综合与实践”活动问题的好素材。

1. 在拓展课本“核心知识”素材中开发问题

课本中提供了核心知识、重要内容的学习素材资源，这些基础而核心的知识内容有基本数学知识、基本数学技能，渗透了基本数学思想方法，提供了丰富数学基本活动经验的机会。因为基础性、核心性，所以它们具有可发展、可拓展性。基于学生的认知水平和认知能力，适度拓展课本中的知识内容素材，可设计具有一定探究性的数学“综合与实践”活动的问题。

案例1 四边形全等条件的探索

“全等、相似”是中学阶段重点研究的两个平面图形之间关系。其中，“全等”是一种特殊的“相似”，“全等”的学习能为后续“相似”的学习提供经验与参照，因此“全等”的学习更基础。课本以“三角形”为例研究全等，介绍了全等三角形的概念、性质、判定方法。由课本“三角形全等条件的探索”，拓展为“四边形全等条件的探索”，设置问题“两个四边形具备怎样的条件才能全等？”围绕这个“问题”，可组织如下数学“综合与实践”活动。

操作与思考：

（1）已知：如图1，四边形ABCD，画四边形A’B’C’D’，使它与四边形 ABCD 全等;

（2）两个四边形至少几组元素（边或角）对应相等，才能保证它们全等？

思考与探索：

（1）两个四边形五组元素对应相等，具体有哪些不同的情况？

（2）以上各种情况，可否判定两个四边形全等？若可以，请说明理由;若不能，请举反例。

思考与拓展：

（1）在四边形全等条件的探索过程中，你有哪些收获？

（2）如何探索五边形全等的条件？

2. 在选用课本“配置习题”素材中开发问题

课本都有与知识内容配套的“习题”。苏科版初中数学课本中配置的习题有供当堂练习用的“练一练”，有供本节各课时课后作业用的“习题”，还有供本章复习用的“复习题”。 其中，复习题分为“复习巩固”“灵活应用”“探索研究”三个层次。“灵活应用”“探索研究”部分的有些习题，具有一定的综合性或实践性，是开发数学综合与实践活动的好素材。

案例2 三角形的相似分割

苏科版九年级（下册）数学课本第6章“图形的相似”，章节复习题“探索研究”部分有这样一道题：如图2，△ABC和△A’B’C’，其中∠C=∠C’= 90°，且两个三角形不相似。问：能否分别用一条直线分割这两个三角形，使△ABC 所分割成的两个三角形与△A’B’C’所分割成的两个三角形分别对应相似？如果能，请设计出分割方案;如果不能，请说明理由。[6]

参照本题，可以组织以“两个三角形的相似分割”为主题的数学“综合与实践”活动。基本思路是：遵循从简单到复杂、从特殊到一般的认知规律，将课本原题的条件“∠C=∠C’= 90°，且两个三角形不相似。”进行有层次的变式，问与课本原题相同的问题。

具体的条件变式如下：

变式1  ∠A=∠A’，∠C=∠C’。

变式2  ∠C=∠C’= 90°，且两个三角形不相似。

变式3  ∠C=∠C’，且两个三角形不相似。

变式4  没有角对应相等。

这样就可组织从“相似的两个三角形的相似分割”到“不相似的两个直角三角形的相似分割”，再到“只有一對角对应相等的两个三角形的相似分割”，最后到“没有角对应相等的两个三角形的相似分割”的系列数学“综合与实践”的探究活动。

3. 在选用课本“数学活动”素材中开发问题

人教版、苏科版等各版本教材，在每一章末尾都设计了一个“数学活动”。这些“数学活动”为学生提供了较充分的“做”数学的机会。教学内容的呈现较多地采用“学生‘做’—在‘做’中感受和体验—主动获取知识”的方式，设计突出“动”和“用”（即“实践”和“综合”），引导学生在活动中思考，积累数学活动经验。它们为数学“综合与实践”活动的问题开发提供了非常好的素材。

案例3 测量旗杆的高度

苏科版九年级（下册）数学课本中，“锐角三角函数”章节末尾设置了“测量建筑物的高度”的数学活动。该数学活动围绕的主题是“测量底部可以到达的某建筑物的高度”“测量底部不能到达的某建筑物的高度”。[7]结合这个素材，根据校园环境，可设计“校园旗杆高度是多少？”这一问题，开展下列数学“综合与实践”活动：

（1）准备测量工具（根据测量旗杆高度的需要，准备好测角仪和卷尺）;

（2）设计测量的方法;

（3）收集测得的数据，并进行计算;

（4）填写数学活动记录。

4. 在选用课本“阅读内容”素材中开发问题

课本除了知识素材、配套习题之外，还有与之相关联的“阅读”等素材。如苏科版初中数学课本中，结合有关章节的内容，编写了关于数学思想方法、拓展内容的“阅读”。这些“阅读”材料紧密结合本章知识，简要介绍其中蕴涵的基本数学思想方法，或在课本知识内容的基础上进行拓展和延伸。这些阅读内容是开发数学“综合与实践”活动问题的好素材。

案例4 分割三角形

苏科版七年级（上册）数学课本第三章“代数式”，章节末尾设置了标题为“归纳”的阅读。该“阅读”从生活中的“归纳”写到数学中的“归纳”。其中，数学中的“归纳”的呈现是：先通过“将三角形剪成小三角形”的活动与思考，让学生经历从操作尝试到数学思考、从简单到复杂、从特殊到一般的数学归纳全过程;然后给出归纳的概念，并指出从特殊到一般的探索某类现象规律的归纳猜想有时是正确的，有时是错误的;最后反思生活中的归纳经历和体验，再运用归纳的方法探索、解决两个问题。选用此阅读材料中的“将三角形剪成小三角形”素材，可开发如下问题，围绕这个问题，组织后面三个层次的数学“综合与实践”活动。

问题：

在三角形内部任取2018个点，与三角形的三个顶点一起共2021个点，将这些点两两连接，可将原三角形分割成多少个小三角形呢？（要求：这些连线段除端点外没有其他公共点）

体验探究：

（1）请你画一画、试一试、想一想，独立探索5分钟;

（2）请你与同学交流独立探索中的体验与思考。

深入思考：

（1）请有思路的同学，介绍一下你的思考;

（2）解决本问题中的归纳猜想正确吗？你能说明理由吗？

拓展探究：

（1）在四边形内部任取2018个点，与四边形的四个顶点一起共2022个点，将这些点两两连接，可将原四边形分割成多少个小三角形呢？（要求：这些连线段除端点外没有其他公共点）

（2）你还能提出哪些值得继续研究的问题？

5. 在选用课本“课题学习”素材中开发问题

“综合与实践”是义务教育阶段数学课程内容不可缺少的四大领域之一，数学课标明确地要求“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次。因此，人教版、苏科版等各版本教材，在每册课本都设计了一个“课题学习”。这些“课题学习”为学生提供了“综合运用学习过的数学知识与方法解决‘问题’”的机会。因此，“课题学习”是数学“综合与实践”活动问题开发中可直接选用的好素材。

案例5 制作无盖的长方体纸盒

苏科版七年级（上册）数学课本设置了“制作无盖的长方体纸盒”的课题学习。该课题学习围绕“如何用一张正方形的硬纸板制作无盖的长方体纸盒？怎样制作才能使无盖的长方体纸盒容积尽可能大？”[8]这两个问题展开。可直接将这两个问题作为综合实践活动的主问题，参照课本中“议一议、想一想、做一做、想一想”四个环节中设置的具体操作活动和问题，开展由浅入深、循序渐进的数学综合与实践活动。

数学“综合与实践”活动的“问题”选择是否恰当是活动有效开展的关键之所在，更是活动教学设计的首要任务、重点和难点。日常教学使用的课本中，有兼具拓展性、探究性、实践性、综合性的素材。利用这些素材开发的“问题”，贴近学生的学习现实、关注数学思维，是数学“综合与实践”活动的“好问题”。这些“好问题”有利于促进数学综合与实践活动的有效开展，有利于促进数学课标关于综合与实践部分相关要求的落实，有利于学生数学思维能力、思维品质、学科素养的提升。

參考文献：

[1] [2] [3] [4] [5]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社， 2012：5，49，48，48，59.

[6] [7]杨裕前，董林伟.义务教育教科书·数学·九年级下册[M].南京：江苏科学技术出版社， 2014：92，118.

[8]杨裕前，董林伟.义务教育教科书·数学·七年级上册[M].南京：江苏科学技术出版社， 2012：117.

责任编辑：丁伟红

Teaching Materials and Problem Exploitation

in Mathematics Comprehensive and Practical Activity

HANG Bingquan

（Nanjing Yuhuatai Middle School， Nanjing 210012，China）

Abstract：  Selecting the right questions is key in effectively performing mathematics comprehensive and practical activities， which should be characterized by comprehensiveness， practice， mathematics and reality. Exploitation of such questions demands good materials， the key of which is from textbooks. The basic path of using textbook materials to exploit the activity questions includes expanding the core knowledge of textbooks， selecting exercises matching the textbooks， mathematic activity， reading contents and project exercise materials.

Key words： comprehensiveness and practice; problem exploitation; textbook material

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