数学中几道实际问题的探究

【摘 要】数学就在我们身边，她是科学的语言，是一切科学和技术的基础，是我们思考和解决问题的工具。在数学中得到的训练和修养会很好地帮助我们学习其他理论，数学素质的提高对于个人能力的发展至关重要。

【关键词】数学素养 数学建模

数学就在我们身边，每个人每天都在自觉与不自觉中使用着数学，无论他是否懂数学。数学处处都能派上用场，小至日常琐事的处理，如农村大妈买菜卖菜，大到神舟宇宙飞船遨游太空，离开数学都将一事无成。大家都知道，农民没有农具不能种田，工人没有工具不能做工，军人没有武器不能打仗。我们学习数学手里也需要有工具，但是这里的“工具”是指概念、定义、定理、公理和公式等一些硬件式的东西。我们有了这些工具，接着就要探究思维方法，包括逻辑方法和具体的解题方法。数学能力的形成源于数学工具与思维方法的合成。当然靠机械地做题、考试是不能提升素质与能力的，最重要的是如何将知识转化成为个人的素质与能力。

科学家本杰明。富兰克林死后留下的财产只有1000英镑，但竟留下一份分配几百万英镑财产的遗嘱。遗嘱如下：“一千英镑留给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英镑，那么这笔应该托付给一些挑选出来的人，他们把这钱按每年5﹪的利率借给一些年轻的手工艺者去生息。这款子过了100年增加到31000英镑，我希望，那时候用100000英镑来建立一所公共建筑，剩下的31000英镑拿去继续生息100年，在第二个100年末了，这笔款增加到4061000英镑，其中1061000英镑还是由波士顿居民来支配，而其余300000英镑让马萨诸塞州的公众来管理，过此之后我可不敢多作主张了。”富兰克林的这个遗嘱显然不是信口开河，这个问题用指数函数来解是行的通的。

把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述就是数学模型。具体函数的应用在生活中有很多体现，重点是运用一次函数，二次函数，分段函数，指数函数，对数函数和幂函数来解决问题。 数学模型剔除了事物中一切与研究目标无本质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是最重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用。而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁。

这道题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数，就一般的数学建模来说，是离不开假设的，如果在问题的原始状态下不作任何假设，将 所有的变化因素全部考虑进去，对于稍复杂一点的问题就无法下手了。假设可以进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用。通常，初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多，经仔细分析筛查，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗。在假设时就可以设这些因素不需考虑。一般情况下，是先在最简单的情形下组建模型，然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，得到更满意的解。

我们可以先建立三种投资方案所对应的模型，在通过比较他们的增长情况，为选择方案的依据。

解：设第 天的回报为 元，则方案一可以用 进行描述，方案二可以用 进行描述，方案三可以用 进行描述，要对三个方案进行选择， 就要对增长情况进行分析。作出相应的图形，发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快。

在没有给出具体模型的问题中建立函数模型，函数图像是分析问题的好帮手。首先画出散点图，然后根据散点图描绘出函数草图，联想熟悉的函数图象预测可能的函数模型，最后要检测所求函数模型与实际误差的大小，在多个模型中选择最优模型。根据原始数据、表格，绘出散点图；通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线，这就是关于函数拟合与预测的主要步骤。如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，每一个点都不漏下，那么这将是个十分完美的事情。但在实际应用中，这种情况是不可能发生的。因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了。根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式。利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据。

【参考文献】

[1]《普通高中课程标准实验教科书数学必修1教师教学用书A版》.

[2]《状元笔记教材详解高中数学必修1》，科学出版社.

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