简述可变三角形椭圆规

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一、设计思路

在上解析几何课时，由于没有相关教具，一般只能徒手画椭圆，也画不标准，即使使用传统的直杆式椭圆规，也只能定性地画椭圆，不能定量地根据椭圆的标准方程画出确定长、短半轴的椭圆。

我在直杆式椭圆规基础上进行改进，所设计的可变三角形椭圆规，以有机玻璃为材质，解决了以上问题，并且具有体积小、重量轻、易携带、操作简单、效果好等优点。背面采用吸盘固定以适用不同材质的黑板。

通常能见到的椭圆规主要由两部分组成：在一块平面金属板上刻有两条相互垂直的十字槽，在一直尺上装有两个固定滑块，分别在纵横槽中滑动，在直尺端点装上笔，使直尺转一周，就画出一个椭圆，这种椭圆规称为直杆式椭圆规。

首先，我发现适当改变直尺上两滑块和笔孔的位置，就改变了所画椭圆的长、短半轴，从而就可画出大小“扁”度不同的椭圆。

其次，进一步考虑，如果把笔孔放在直尺以外，使两滑块与笔孔呈一个三角形，利用三角形结构的稳定性，应该也会画出椭圆。经过推导证明是完全可以的。再变化三角形三条边长，就会画出更多的椭圆。这样的椭圆规更具有一般性，而原來的椭圆规只是一个特例而已。根据这种思路我自行设计并制作成现在的可变三角形椭圆规。

二、基本构造

<E：＼书＼学周刊·上旬刊201508＼接排126-240＼可变三角形椭圆规.tif>

如图所示，在平整木板上刻上两条相互垂直的平滑槽，用三节带有若干孔（或空槽）的直尺组成一个可变边长的三角形。在三角形的两个顶点上装上与十字槽相匹配的滑块，并在第三个顶点装上笔，使整个三角形转动时，两滑块自然分别在其槽内滑动，转动一周，就可以画出一个椭圆。适当改变三条边长，就可以相应地画出不同的椭圆。

三、原理推导

[M（x，y）][b][A][X][y][B][O][a][a][θ]

如图，以十字槽为直角坐标系的坐标轴，△ABM的顶点A、B分别在x、y轴上，第三顶点M的坐标为（x，y），设∠OAB=θ，则x=acos（B-θ），y=bsin[180-（A+θ）]=bsin（A+θ），利用和角公式得

x/a=cosBcosθ+sinBsinθ

y/b=sinAcosθ+cosAsinθ

消去参数θ，可得（x/a）2-2（x/a）（y/b）sinα+（y/b）2=cos2α

这正好是一般椭圆方程。

为了消除x、y项，用坐标旋转变换

x=x"cosφ-y"sinφ，y=x"sinφ+y"cosφ

只需取悬转角φ=1/2arccot[（a2-b2）/2absina]，就可使上边的一般方程化为x"2/a"2+y"2/b"2=1。

四、讨论

为了说明该椭圆规更具有一般性，有更高的境界，仅讨论几个特例：

1.当∠α=π时，M点落在线段AB上，分线段AB为a、b，此时画出的椭圆，其方程为x2/a2+y2/b2=1，特别，M在线段AB中点时，画出的就是圆。

2.当∠α=O时，AB、AM与BM三线重合，M点落在AB线段的延长线上，此时的椭圆规就是通常所见的“直杆式”椭圆规。

3.当∠α=π/2时，该椭圆规画出的椭圆退化为一直线，其方程为x/a=y/b。

4.△ABC为等腰三角形，即a=b时，坐标轴只需旋转φ=l/2arccot=π/4，画出的椭圆，其方程为：x"2/2a2sin2（α/2+π/4）+y"2/2a2 cos2（α/2+π/4）=1。

5.当∠A=π/2，∠B=π/6，∠α=π/3时b=2a，旋转角φ≈49°此时画出的椭圆方程为x"2/a"2+y"2/b"2=1，其中a"，b"可近似计算出来。

总之，只要适当调整变化三角形的边长，该可变三角形椭圆规就可画出需要的椭圆。

（责编 赵建荣）

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