基于Mathematica软件的导数多元化应用分析与研究

职业学院社科类基金项目（YYR2015010）

数学作为一门重要的基础学科和一种精确的科学语言，是人类文明的一个重要组成部分.自然科学中几乎所有的重大发现无不依赖于数学的发展与进步，在社会各领域中发挥着愈来愈重要的作用，高科技的出现使得数学与工程技术之间在更广阔的范围内有着更深的结合.导数是解决有关数学问题的有力工具，它的综合应用是多方面的，在物理学、几何学、经济学等学科中表现得非常活跃，如运动物体的瞬时速度和加速度、经济学中的边际和弹性等相关概念.数学软件是专门用来进行数学运算、数学规划、统计运算、工程运算、绘制数学图形或制作数学动画的软件.Mathematica是由美国科学家斯蒂芬·沃尔夫勒姆领导的沃尔夫勒姆研究公司开发的一款广泛使用的计算软件.它拥有强大的数值计算和符号运算能力，是目前为止使用最广泛的数学软件之一.

本文以Mathematica为计算平台，引导读者通过软件的微分运算、数学规划、统计运算功能，为现代科学技术各领域中所提出的涉及导数方面的数学问题提供求解手段，从而更好地理解和完成问题的数学建模过程.

全导数、偏导数等在数理经济学中是一些最基本的手段，它研究在满足一系列约束之下能够获得极值的条件.经济学的基本任务也正是在遵守资源约束、生产技术约束的条件下，求得消费者使用价值的极大化.

2.与物理学有关的最值问题

例如，统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为y=1128000x3-380x+8（0

（Ⅰ）当汽车以40 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化.为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”.有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一.

3.与几何有关的最值问题

例如，把边长为30 cm的正方形铁皮的四角各切去面积相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底的铁皮箱，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

例如，某种圆柱形易拉罐的容积为V，如何确定它的高与底半径，才能使它的用料最省？

例如，请设计一个帐篷.它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥.试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？

导数的知识和方法在数学的许多问题上能起到以简驭繁的作用，尤其体现在判定函数相关性质、曲线的切线、研究函数的变化形态及函数作图上.导数是微分学中重要的基础知识，是研究函数解析性质的重要手段，在求函数的极值、最值方面起着“钥匙”的作用.

四、小 结

微积分的思想来源于实践，反过来又服务于实践.本文选用了大量不同方面的例子，旨在突出和强调它们在数学内部和外部的应用.物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示.如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性.这些学科知识到数学其实就是一个建模抽象的过程，比如企业的短期生产函数（TP，MP，AP等）曲线，还包括了二阶导及三阶导（拐点的判断）的应用，还有企业的成本曲线等等.物理中的很多也涉及数学.把导数引入经济学、物理学领域，使这些领域研究的对象从常量进入变量，使运动学、辩证法进入了各个领域，这在科学的发展史上具有重要的意义.

本文利用Mathematica作符号演算来完成导数运用，用数学表达式形式给出解.用户利用公式处理系统，快速准确地完成公式推导，进行数学问题的加工处理.总之，应用的目的是让人们体会到导数方法在研究某些问题中的一般性和有效性，感受到微积分的价值和作用.

【参考文献】

[1]同济大学数学系，高等数学（上下册）[M].北京：高教出版社，2007，4.

[2]沈钟毓.复合函数高阶导数的图论演算[J].内蒙古大学学报（自然科学版），1985（02）.

[3]薛艳文.导数知识误用解析[N].学知报，2010.

[4]华东师范大学数学系，《数学分析》第四版（上下册）[M].高等数学出版社，2010.

[5]张韵华，王新茂.Mathematica7实用教程[M].中国科技大学出版社，2011.

推荐访问:导数 多元化 分析 研究 软件