【方法指导】“等比数列”学法指津

　“等比数列”学法指津

　摘要：等比数列时高中数列教学中的重难点，也是高考中的热点。等比数列往往能与函数、不等式、解析几何等知识相结合，具有相当的难度。本文就等比数列教学中涉及的性质结论、思想方法进行系统归纳，以求举一反三。

　关键词：等比数列

　 一、 知识 精讲 1. 如果一个数列  na 从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做该等比数列的公比，我们通常用字母 q （ 0 q  ）表示。数学语言描述：对于数列  na ，如果满足1 n na qa （ 2 n  、*n N  ， q 为常数， 0 q  ），那么  na 为等比数列。

　2.当等比数列的公比 1 q  时。该等比数列为常数列。

　3.等比数列的通项公式：11nna aq ，对于等比数列的通项公式，我们有以下结论：

　①n mn ma a q ；②nn mmaqa  （ m n  ，此结论对于nn mmaa 有意义时适用）。

　4. 等比数列的增减性：若10 a  ，当 1 q  时，等比数列  na 为递增数列；当 0 1 q  时，等比数列  na 为递减数列；当 0 q  时，等比数列  na 的增减性无法确定（摆动数列）。若10 a  ，当 1 q  时，等比数列  na 为递减数列；当 0 1 q   时，等比数列  na 为递增数列；当 0 q  时，等比数列  na 的增减性无法确定（摆动数列）。

　5. 如果在数 a 和 b 中间插入一个数 G ，使得 a 、 G 、 b 三数成等比数列，那么我们就称数 A 为数 a 和 b 的等比中项，且2G ab  。

　6.等比数列的前 n 项和公式 设数列  na 是公比为 q 的等比数列，那么该数列的前 n 项和  1111, 11, 11 1nnnnana qS a qa a qqq q          。

　7.等比数列的主要性质：

　（1）在等比数列  na 中，若 m n p q    ，则m n p qa a a a  ； （2）在等比数列  na 中，若 2 m n p   ，则2m n pa a a  ； （3）对于等比数列  na ，若数列  kn 是等差数列，则数列  kna 也是等比数列； （4）若数列  na 是等比数列，则对于任意实数  ，数列  na  、  na也是等比数列； （5）若数列  na 是等比数列且 0na  ，则数列1na   也是等比数列； （6）若数列  na 是等比数列且 0na  ，则数列   log ana 为等差数列； （7）若数列  na 和  nb 都是等比数列，则数列  n na b 也是等比数列； （8）若nS 是等比数列  na 的前 n 项和，则nS 、2n nS S  、3 2 n nS S  、…成等比数列，其公比为nq ； 二 、 方法指引 1.等差数列的证明：①nna AB  （ 0 B  ）；②nnS a bq   （ 0 q  、 1 q  ）， 0 a b   ；③证明1 nnaa为常数（对于 0na  适用）；④证明21 2 n n na a a   。

　2.当引入公比 q 辅助解题或 q 作为参数时，注意考虑是否需要对 1 q  和 1 q  进行分类讨论。

　3.证明数列是等比数列、不是等比数列，讨论数列是否等比数列，求解含参等比数列中的参数这四类问题同源。

　4.注意巧用等比数列的主要性质，特别是m n p qa a a a  （ m n p q    ）和2m n pa a a （ 2 m n p   ）。

　5. 三数成等比数列，一般可设为aq、 a 、 aq ；四数成等比数列，一般可设为3aq、aq、aq 、3aq ；五数成等比数列，一般可设为2aq、aq、 a 、 aq 、2aq 。

　三、典型例题 例 1

　数列  na 为各项均为正数的等比数列，它的前 n 项和为 80，且前 n 项中数值最

　大的项为 54，它的前 2n 项和为 6560，求首项1a 和公比 q 。

　解：若 1 q  ，则应有22n nS S  ，与题意不符合，故 1 q  。依题意有：

　  121180 (1)116560 (2)1nna qqa qq    (2)(1)得21821nnqq即282 81 0n nq q   

　得 81nq  或 1nq  （舍去）， 81nq   。

　由 81nq  知 1 q  ，  数列  na 的前 n 项中na 最大，得 54na  。

　将 81nq  代入（1）得11 a q  

　（3）， 由1154nna aq  得154naq q  ，即181 54 a q 

　 （4）， 联立（3）（4）解方程组得123aq 。

　例 2

　（1）已知  na 为等比数列，32 a  ，2 4203a a   ，求  na 的通项公式。

　（2）记等比数列  na 的前 n 项和为nS ，已知166na a   ，4 3128na a ， 126nS  ，求 n 和公比 q 的值。

　解：（1）设等比数列  na 的公比为 q （ 0 q  ），2 4203a a   ，则33203aa qq  ， 即2 2023qq  也即1 103qq  ，解此关于 q 的一元方程得13q  或 3 q  。

　33nna a q ，3312 2 33nnna       或32 3 nna   。

　（2）在等比数列  na 中，有4 3 1128n na a aa  ，又166na a   ，联立解得 1264naa 或1642naa ，

　由此知 1 q  ，而11261nna a qSq ，从而解得 26qn 或126qn。

　例 3

　已知数列  na ，其中 2 3n nna   ，且数列  1 n na a  （  为常数）为等比数列，求常数  。

　解：

　 1 n na a  为等比数列，那么     21 2 1 1 n n n n n na a a a a a          ，将2 3n nna   代入并整理得1(2 )(3 ) 2 3 06n n       ，解之得 2    或 3    。

　例 4

　设  na 、  nb 是公比不相等的两个等比数列，n n nc a b   ，证明数列  nc 不是等比数列。

　解：设  na 、  nb 分别是公比为 p 、 q （ p q  ）的两个等比数列，要证明  nc 不是等比数列，我们只需证22 1 3c cc  即可。事实上  22 2 2 2 22 1 1 1 1 1 12 c a p bq a p ab pq b q         2 2 2 21 3 1 1 1 1 1c c a b a p bq a p     

　 2 2 2 21 1 1b q ab p q   ， p q  ，2 22 p q pq    ，又1a 、10 b  ，22 1 3c cc   ，  数列  nc 不是等比数列。

　四、同步训练 1.已知等比数列  na 中21 a  ，则其前 3 项的和3S 的取值范围是(

　 ) . A  , 1  

　 . B     ,0 1,  

　 . C   3,

　 . D    , 1 3,   

　2.已知  na 是等比数列，4125 2  a a ， ，则1 2 2 3 1 n naa a a a a   

　. A   16 1 4n 

　. B 16 1 2n 

　. C 321 43n 

　 . D 321 23n 

　3.若实数 a 、 b 、 c 成等比数列，则函数2y ax bx c    与 x 轴的交点的个数为（

　）

　. A 0

　 . B 1

　. C 2

　 . D 无法确定

　4. 在数列  na 中， 0na  ，且  1 n na a是公比为 q （ 0 q  ）的等比数列，该数列满足1 1 2 2 3 n n n n n na a a a a a      （*n N  ），则公比 q 的取值范围是（

　）

　. A1 202q 

　. B1 502q 

　. C1 202q  

　 . D1 502q  

　5.设数列  nx 满足1log log 1a n a nx x  （ 0 a  ， 1 a  ，*n N  ），且 1 2 100100 x x x    ，则101 102 200x x x    __________。

　6.设  na 为公比 1 q  的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24 8 3 0 x x    的两根，则 2007 2006a a __________。

　7.设  na 是由正数组成的等比数列，公比 2 q  ，且301 2 3 302 aa a a   ，则3 6 9 30a a a a   __________。

　8.设两个方程21 0 x ax    、21 0 x bx    的四个根组成以 2 为公比的等比数列，则ab  ________。

　9.设数列 { }na 为等比数列，  1 2 11 2n n nT na n a a a     ，已知11 T  ，24 T  。

　（1）求等比数列 { }na 的首项和公比； （2）求数列 { }nT 的通项公式。

　10.设数列  na 的前 n 项和为nS ，已知   2 1nn nba b S   

　（1）证明：当 2 b  时，  12 nna n  是等比数列； （2）求  na 的通项公式。

　11.已知数列 { }na 和 { }nb 满足：1a   ，124, ( 1) ( 3 21)3nn n n na a n b a n       ，其中  为实数， n 为正整数。

　（1）对任意实数  ，证明数列 { }na 不是等比数列； （2）试判断数列 { }nb 是否为等比数列，并证明你的结论；

　（3）设 0 a b   ,nS 为数列 { }nb 的前 n 项和。是否存在实数  ，使得对任意正整数 n ，都有na S b   ？若存在，求  的取值范围；若不存在，说明理由。

　【同步训 练参考答案】

　1. D

　解析：设数列的公比为 q ，那么23 1 2 3 2 211aS a a a a a q qq q         ，函数1( ) 1 f q qq   （ 0 q  ）的值域为     , 1 3,    ，从而求得3S 的取值范围。

　2. C

　解析：等比数列  na 的公比53321 18 2aqa   ，显然数列 1 n na a也是等比数列，其首项为2 221 2281 2aa aq   ，公比221 11 11 12 4n n nn n na a aq qa a a        ， 1 2 2 3 118 14321 41314nnn na a a a a a            。

　3. A

　解析：

　a 、 b 、 c 成等比数列，2b ac   ，  二次函数2y ax bx c    的判别式2 24 3 0 b ac b      ，从而函数与 x 轴无交点。

　4. 1 1 2 2 3 n n n n n na a a a a a      ，21 1 1 n n n n n na a a a q a a q     ，而 0na  ， 10n na a  ，21 q q    即21 0 q q    ，解得 15 1 52 2q   ，而 0 q  ，故公比q 的取值范围为1 502q  。

　5.100100a

　 解析：1log log 1a n a nx x  ，即1log 1nanxx ，也即1 nnxax ，从而数列  nx 是公比为 a 的等比数列。

　 100 100101 102 200 1 2 100100 x x x x x x a a         。

　6. 18

　解析：24 8 3 0 x x    的两根分别为12和32， 1 q  ，从而200412a  、200532a  ，

　200520043aqa   。

　 2 22006 2007 2004 20052 3 18 a a a a q        。

　7.202

　解析：

　 15301 2 3 30 1 302 a a a a a a    ，21 302 4 aa    ，        55 5 52 10 5 10 203 6 9 30 3 30 1 32 1 30 1 304 2 2 a a a a a a a a a a q a a q             。

　8.274 解析：设该等比数列为1x 、2x 、3x 、4x ， 1 4 2 3x x x x  2 3 21 18 1 x q x   ， 11 18 2 2x    ，从而212x  、32 x  、42 2 x  ， 1 1 272 2 24 2 2 2ab          。

　9.解：（1）对于等式  1 2 11 2n n nT na n a a a     ，令 1 n  得1 11 T a   ；令2 n  得2 1 2 22 2 4 T a a a      ，22 a   ，212aqa   。

　（2）12 nna ，则2 2 12( 1) 2 ( 2) 2 2 2n nnT n n n          

　 ① ① 2  得

　 2 3 12 2 2 ( 1) 2 ( 2) 2 2 2n nnT n n n       

　② ②  ①得：

　  2 3 1 112 1 22 2 2 2 2 ( 2 ) 2 21 2nnn n n nniT n n n n             。

　10.解：（1）证明：由题意知12 a  ，且   2 1nn nba b S    ，  11 12 1nn nba b S   

　两式相减得    1 12 1nn n nb a a b a     ，即12 nn na ba 

　 ① 当 2 b  时，由①知12 2 nn na a  ，于是    11 2 2 2 1 2n n nn na n a n         12 2 nna n  

　又111 2 1 0na    ，所以  12 nna n  是首项为 1，公比为 2 的等比数列。

　（2）当 2 b  时，由（1）知1 12 2n nna n    ，即  11 2 nna n  ；

　当 2 b  时，由①得

　1 111 12 2 22 2n n nn na bab b       22nnbbab   122nnb ab      111 12 22 2n nn na b ab b           2 12nbbb   12 112 2 2 22nn nnab b nb           11.解：（1）证明：假设存在一个实数  ，使 { }na 是等比数列，则有22 1 3a aa  ，即 2 2 22 4 4 4( 3) ( 4) 4 9 4 9 03 9 9 9                 ，矛盾。

　所以 { }na 不是等比数列. （2）解：

　     1 11 121 3 1 21 1 2 143n nn n nb a n a n                      2 21 3 213 3nn na n b         。又1( 18) b    ，所以

　当 18    时，*0( )nb n N   ，这时  nb 不是等比数列； 当 18    时，1( 18) 0 b     由上可知 0nb  ，*12( )3nnbn Nb    。

　故当 18    时，数列  nb 是以 ( 18)    为首项，23 为公比的等比数列。

　（3）由（2）知，当 18    时， 0nb  ， 0nS  ，不满足题目要求。

　18     ，故知 12183nnb       ，可得  3 218 15 3nnS             ， 要使na S b   对任意正整数 n 成立，即  3 218 15 3na b              ，

　得  31852 21 13 3n na b                

　 ① 令2( ) 13nf n     ，则 当 n 为正奇数时，51 ( )3f n   ；当 n 为正偶数时，5( ) 19f n   。

　所以 ( ) f n 的最大值为5(1)3f  ，最小值为5(2)9f  。

　于是，由①式得  318 18 3 185 9 5 3 5a bb a              。

　当 3 a b a   时，由 18 3 18 b a      知，不存在实数  满足题目要求； 当 3 b a  时，存在实数  ，使得对任意正整数 n ，都有na S b   ，且  的取值范围是( 18, 3 18) b a     。

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