试论图式理论与数学审题教学

［摘要］数学审题是指对数学问题初始状态、目标状态、算子的理解和解释活动，图式是个体已有的知识结构。根据图式理论，数学问题不具备任何意义，意义蕴藏在解题者的头脑里。审题心理图式主要有三个作用：推测、补充、选择。图式理论对数学审题教学的启示有：运用挖掘法，发挥心理图式的补充作用；运用转换与化简法，发挥心理图式的选择作用；运用咬文嚼字法，发挥心理图式的推测作用。

［关键词］数学审题 图式理论 启示

［作者简介］付茁（1959- ），男，土家族，重庆彭水人，长江师范学院基础教育研究中心副主任，副教授，主要从事数学学科教学论研究。（重庆408003）

［中图分类号］G642［文献标识码］A［文章编号］1004-3985（2007）21-0107-02

一个数学问题由初始状态、目标状态和解题规则组成。解决数学问题，就是从初始状态出发，按照某些规则，经过一系列中间状态的转化，最后达到目标状态的过程。认知心理学把在解决一个问题过程中所达到的全部中间状态以及全部算子统称为问题空间或状态空间，解决问题就是对问题空间的搜索，以找到一条从问题初始状态到达目标状态的通路。数学审题是指对数学问题初始状态、中间状态、目标状态和解题规则的理解与解释活动，是解数学题的孕育准备阶段，是寻找数学问题的初始状态到目标状态的路径的思维过程。这种思维过程不仅被数学问题的规定性框架所限制，也被解题者的心理初始状态所规定。因此，有必要深入考察数学审题中的心理图式的作用，并探讨审题心理图式在数学审题教学中的运用。

一、图式理论与数学审题

“图式”最初是一个哲学概念，20世纪初以后，这一概念逐渐进入心理学领域。后来，随着现代认知心理学的产生和发展，图式概念获得了更新、更丰富的含义。直到20世纪70年代后期，在计算机、控制论和信息论的理论深入到心理科学之中，使心理学中关于人类知识表征的概念发生了很大变化之后，现代图式理论才出现，并被运用于研究阅读、理解等心理过程。

德国心理学家巴特利特认为，图式是个体已有的知识结构。而知识结构是学习和实践在人心理，特别是在思维过程中形成的知识体系，这个知识结构对于个体认识事物发挥着重要作用。在认知过程中，个体只有把新刺激与已有的相关知识联系起来才会理解它。随着现代认知心理学的发生和发展，图式理论也不断得以丰富和完善，并被广泛用于阅读、理解等心理过程的研究。现代认知心理学家鲁默哈特把图式称之为认知的建筑块料（或“组块”），他认为，图式理论是一种关于人的知识的理论。所有的已有知识在头脑中经过整理内化形成一定的组织，这种组织就是图式。图式不仅包含知识本身，还包含有关这些知识如何被运用的信息，即图式的启动。在认知过程中，图式的主要作用是用来说明人的理解过程的。理解时需要个体已有的图式中相关知识的加入，通过分析、推理、比较、综合等心理过程，达到知识的应用，从而解决问题。具体到数学审题活动中来，根据图式理论，数学问题不具备任何意义，意义蕴藏在解题者的头脑里，取决于解题者审题过程中对大脑中相关图式的启动状况，解题者审题完毕，寻找到了一种解题途经，说明解题者具有与该数学问题相关的图式，并且这些图式提供了打通数学问题的初始阶段与目标状态的通路的解释说明。也就是说，解题者成功地启动了相关的图式。如果解题者头脑里不具备相关的图式，或者虽具备了相关图式，但没有启动它，新的刺激与已有的知识就无法沟通，数学题就不能得到解决。

每人都有许多关于数学的图式，审题中如何启动一个合适的图式去解决数学问题？认知心理学认为，图式的启动有两种方式，一种是自上而下的，就是指顶层的图式知识可以用来对数学问题进行预测、推理，比如，由方程联想到等式、未知数、一元一次方程等；反过来，低层次的图式活动又可以引起高层次图式的反应，因为这些较低层次的图式是较高层次图式的一部分，这就是自下而上的启动。

在数学审题过程中，两种启动方式是在各层次同时发生并相互补充的。当数学问题与解题者的图式知识相匹配时，例如，解题者做熟悉的数学问题时，自上而下的概念驱动可以促进两者的同化；当解题者做陌生的数学问题时，自下而上的启动就能发挥作用，从而帮助解题者利用己有的图式重组，选择合理的解题方法。因此，这两种启动方式的相互补充对于解题者的审题有非常重要的意义。

审题是一个不断变化的动态过程，随着数学问题的每一个刺激，审题解题者都会自觉或不自觉地启动相应的图式，这些心理图式经过解题者的内部心理整合，不断成为一种常态的反应模式。相应于当前的审题活动来说，先前的心理图式便成为解题者的准备状态，并在审题过程中发挥重要作用。无论解题者是否觉察，这种心理图式在审题活动中都客观地存在着。而正是因为它的存在才使审题活动能够顺利进行，并呈现出丰富的个体差异性与创造性。

二、数学审题中心理图式的作用

数学审题中心理图式在表现形态上是极为复杂的，主要有三个不同的作用：

1.图式的推测作用。图式来自于实践又指导实践。在审题中，可以运用已有的定义、定理、公式、法则、方法去推测，并确定试题外延的有关情况。在审题中，当一个图式对数学问题的某一信息进行解释时，解题者并不需要去接触这一信息的方方面面，而是接受某一刺激产生的图式。当启动某些图式去理解说明数学问题的某一内容时，有些图式是解题者的感性信息，有些则来源于头脑中已有图式的推测。审题过程也是一种选择过程，指在图式推测的基础上对那些从知觉中选择出来的最小的语言线索进行加工，形成暂时的预测和判定，这种暂时的预测和判定在进一步的解题过程中得到证实、排斥或提炼的过程。

具体地说，在数学审题活动中，解题者的心理图式的推测作用表现在：一是解题者的心理图式对数学问题的类型有推测作用。在审题开始时，试题的类型首先在解题者心理上唤起一系列关于数学问题类型的图式知识，即希望看到某种数学问题类型所具有的特征出现。二是心理图式会根据数学问题的初始状态产生不同的产生式，在审题初始，数学问题中的初始状态或特征会在解题者心理上唤起一系列关于相关初始状态的产生式系列。三是心理图式对数学问题的初始状态或目标状态产生预测作用。

当解题者的审题图式的推测同数学问题答案的内容一致时，图式将促进对数学问题的迅速解决。相反，图式就将阻碍对数学问题的求解，但如果这种不一致得到调整同化，又会扩展解题者的心理图式，丰富其解题经验。

解题者审题图式的推测作用与以下几个方面的因素有关：首先是与解题者解题实践、解题经验、审美情趣等有关；其次，与一定的数学修养有关，即与解题者对数学问题的类型识别、解题技巧、解题方法等有关；第三，与解题者的年龄、性别、气质等生理特征有关。例如，在数学的审题中，女生的推理往往与眼前的初始状态、目标状态有关，且推理细致，而男生思考往往具有跳跃性。

2.图式的补充作用。多数情况下，数学问题对有些隐含的初始状态省略不述，这是因为这些初始状态是命题者与解题者所共有的。审题是一个创造的过程，解题者能够发挥心理图式的补充作用，与所解数学问题中的各种刺激相互交流，得到新的产生式系统。也就是说，由于心理图式的补充作用，这些被省略不述的部分在解题者的记忆中呈现出来并参与解题活动。

例如：计算1+2+3+……+100的值。审题时，能够很容易地补充出许多原题中没有的信息，比如：关于整数的加法，后项数比前项数多1，是一个首项为1，公差为1的等差数列前100项的和等。以上信息并没有在数学问题中呈现过，而是通过解题者在审题过程中，根据这个特殊的和式图式补充出来的。可见，在审题过程中，解题者并不是机械识记数学问题的表面形式，而是运用已有的图式知识对数学问题进行理解、消化、建立起意义表征，其中包括数学问题不曾直接叙述而由图式补充出的内容。

但是，在审题活动中，也常常会出现虽然启动了相应的心理图式，并且该图式也发挥了一定补充作用，但由于解题者经验不足，数学修养差，或数学问题的初始状态较隐秘等原因，使解题者启动的图式对数学问题的表征不佳，图式的补充作用难以充分发挥，就会使解题者感到难度大，或造成曲解。

3.图式的选择作用。审题心理图式的选择作用体现在两个方面：一方面是指在审题过程中有关的图式被激活后，它不断地从自身储存的信息中选择最合适的部分来解释数学问题的有关内容；另一方面是指在审题完成后，图式对试题中出现的新信息进行有选择性的整理、类化和吸收。

从图式理论看，数学中的审题过程可视为是由预测、选择、检验、证实等一系列认知活动构成的。在这个过程中，图式一旦被激活，其所有信息都处于一种准备状态，但并不是所有信息都能参与理解过程。图式总是首先对数学问题的各个方面进行预测，然后选择认为最合适的部分与其相互交流。在审题过程中，如果一条信息被证明是错误的选择，它就会被放弃，图式将重新选择，如果新的选择能给予数学问题更合理的解释，那么旧的选择也将会被抛弃。从某种意义上说，审题过程就是一个不断选择信息、检验信息，并对信息进行肯定或排斥的过程。

在理解数学题的过程中，图式的选择作用体现在对信息的提取上；在理解完成后，图式的选择作用则体现在对信息的加工储存上。某一图式一旦被激活，就会给信息的加工储存提供一种框架。但是并非所有的信息都能被图式吸收储存起来。只有那些符合解题者心理图式的信息才容易被组织起来，获得巩固的记忆，至于那些不符合解题者心理图式的信息则很容易被遗忘。

图式在吸收新的信息时，会按它们的概括性大小加以归纳、类化。一些概括性大的信息会被组织到图式结构中较高的层次上去，同时被纳入长时记忆中去，而另外一些概括性小的信息则被整理在较低的层次中。

三、图式理论对数学审题教学的启示

通过对图式理论与数学审题中心理图式作用的分析，可以看出，心理图式的推测、补充、选择作用在数学审题过程中是相互联系、相互渗透、相互影响、密不可分的。由此可得出图式理论对数学审题教学的如下启示：

1.运用挖掘法，使解题者能够发挥心理图式的补充作用。因为很多数学问题对有些隐含的信息是省略不述的，或寓于概念，或存于性质，或含于图中。审题时，要注意深入挖掘这些隐含的信息，这些信息往往是突破难点的抓手；而隐含的信息常常隐藏在关键的字词中，只要抓住关键字词就会发挥图式的补充作用，进而找到解题的突破口。因此，审题时，学生除了熟悉问题的整体背景图式外，要特别抓住题目中数与式的特征，注意初始状态与目标状态，分清各量之间关系的关键词。要启发学生运用发散思维，在与所解数学问题中的各种刺激相互交流、比较、辨别、分析后达到对数学问题的正确表征。另外，直观图也能挖掘、补充出许多省略掉的信息，一旦数学问题与数轴、单位圆、图像、几何图形等产生联系时，就可通过直观图来帮助分析、思考数学问题， 甚至根据直观图可直接找到对数学问题的正确表征。因此，要养成利用直观图分析数学问题的思维习惯。

2.运用转换与化简法，使解题者能够发挥心理图式的选择作用。学生审题心理图式的选择作用体现在审题过程中数学问题图式的激活与选择，学生要从储存的信息中选择最恰当的信息来表征数学问题。这就要求审题教学时要引导学生的思维不只停留在原题信息上，而应积极地转换与化简数学问题，从储存的信息中选择最恰当的内容将其表征成熟悉和易解的问题空间。有许多数学题给出的初始状态或目标状态的形式比较复杂、繁琐，审题时，要善于抓住关键信息将其转换，使数学问题化繁为简，然后再选择恰当的数学语言进行表征。数学语言包括文字语言、符号语言和图像语言，不同的语言有不同的功能。将文字语言、符号语言转化成图像语言，有利于用图像的直观性来找到简捷的解题途径；将符号语言转换成文字语言有利于弄清其实质。在审题中，对最初的数学问题空间的表征，要进行判断，当此种表征难以解决问题或繁杂时，则转换或选择另一种表征形式。其转换方法常有：把具体问题转换表征成数学问题；把几何问题转换表征成代数问题；把代数问题转换表征成三角问题。因此，在审题时，要注意发挥心理图式的选择作用，善于转换与化简。

3.运用咬文嚼字法，使解题者能够发挥心理图式的推测作用。一个数学问题由初始状态，目标状态和解题规则组成，而初始状态，目标状态和解题规则是由概念组成的。学生只有理清了数学问题中概念的上位概念、下位概念或同位概念这些关系后（即形成概念学习图式），才能很好地理解数学问题，从而启动相关的数学图式，无论是自上而下的，还是自下而上的启动，都离不开对概念的正确表征。在数学问题的初始状态、目标状态和解题规则中，经常会出现一些容易看错的，或易被忽视的，或容易误解的概念，如果粗心麻痹，就会导致对数学问题空间的错识表征。因此，要善于“咬文嚼字”，认真思考，弄清数学问题含义。一个题目的初始状态与目标之间存在着一系列的中间状态和算子，初始状态、目标状态、解题规则、中间状态和算子必然相互联系，启动这些联系是由初始状态通向目标状态的桥梁。启动哪些联系，需要根据这些联系所遵循的数学原理确定。在有些题目中，这种联系十分隐蔽，必须经过认真分析，发挥心理图式的推测作用，才能启动相关的数学图式。往往抓住了目标状态，思维与推理也就具有目的性和针对性，也就易于启动相关的数学图式，以获取有关信息，指导解题。

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