图式理论来给力，数学建模添活力

现代认知理论认为，图式（Schema）是指围绕某一主题组织起来的知识的表征和贮存方式，是认知的建筑材料（或“组块”），是信息加工的的基本要素.瑞士著名的心理学家、教育家皮亚杰认为：人的认识的发展，不仅表现在知识的增加，更表现在认识结构的完善和发展，图式的发展水平是人的认识发展水平的重要标志.在注重如何高效学习的今天，将图式理论恰当地应用于数学教学，既符合学生的认知规律，又能帮助学生形成完整的知识结构，是一种提高教学效果的有效策略.

一、加强概念教学，丰富数学图式储备

“工欲善其事，必先利其器.”图式理论指出：图式不是变量的机械相加，而是按一定规律结合的有机整体，图式的变量之间有相互约束的关系.数学的概念图式由通俗的文字语言、简约的数学符号、信息丰富的几何图形以及必要的框图来组成.单纯的定义、公式只是图式的一部分.如果我们把解决问题需要的公式、概念性知识称为知识基础，那么图式就是从这些支撑点出发并得到丰厚的认知模式.获得较好图式必须经过两个阶段：形成和精制.学生对数学概念的形成是一个从对数学现象和事实的感性认识出发，经过抽象、概括而达到对物质属性和物质运动的理性认识的过程.它首先是建立在以往经验的旧概念和新知识联系的基础上，然后通过新知识与原有数学概念的相互作用，构建新的数学概念.这一过程正是对原有的图式的“同化”和“顺应”的过程.例如 “函数”概念图式的形成，首先是初中阶段在认识了“代数式”和小学阶段认识的“数式”这些原有图式基础上，通过同化“数式”这一概念图式，类比得到“关系算式”的新图式，从而使两个变量间通过“关系算式”产生联系，形成初步函数图式概念；到了高中阶段，认识了“对应关系”、“映射”后，对初中阶段认识的函数概念进行调整、改造即所谓“顺应”，最后形成函数是数集A到数集B的一个映射的新概念图式.教学中，教师应当根据具体内容，精心设计或选择有利于形成概念图式的一些实例或演示实验，透过现象揭示其本质，从而使学生形成完整的、正确的数学概念图式.

二、学以致用，提高数学图式的识别能力

要突出数学应用，就应站在构建数学模型的高度来认识并实施教学，要强调如何从实际问题中发现并抽象出数学问题（这是数学应用教育中最为重要的一点），然后试图用已有的数学模型（如式、方程、不等式、函数、统计量等）来解决问题，最后用其结果来阐释这个实际问题.教学中要着重培养学生能从实际问题中提出并表达数学问题的能力，运用并初步构建数学模型的能力，对数学问题及模型进行变换化归的能力，对数学结果进行检验和评价、阐释和处理的能力.这方面，我们可加强训练，学以致用，提高数学图式的获取和构建数学模型的能力.

数学中的任何一个数、一个算式、一种运算、每个概念、公理、定理、法则和有关的数学模型，无一不是抽象、概括的结果.许多现实问题通过抽象、概括，可建立客观事物的数学模型（即数学关系结构）来揭示事物的本质特征及规律.

我们在建模教学中，一方面要引导学生学会从观察事物的现象中抽象概括出数学模型.例如：观察下面有5个多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E，并填出下表.

观察表中填出的各组数据，可抽象概括出简单多面体的欧拉公式模型：V（顶点数）+F（面数）-E（棱数）=2.

另一方面要让学生学会用数学模型揭示事物的因果性和规律性联系.例如：为什么一杯糖水加点糖后变甜了？学生由化学知识了解到糖水变甜与糖的浓度有关，从变化前后的量中可抽象出一个不等式模型：若m>0，a

图式理论促进了学生知识结构的完整建构与活化，能消减因知识难度增加所带来的认知障碍，为数学建模增添了无限活力.在数学问题解决中，图式策略使个体探究问题的张力扩大、指向性增强，可大大提高解决问题的效率.

责任编辑 罗 峰

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