浅谈圆锥曲线的性质及推广应用

【摘 要】高考数学一直备受莘莘学子的关注，而解析几何又被认为是中学数学的核心内容之一，也是高考的重难点之一。本文首先介绍圆锥曲线的定义及分类，得到三种我们最熟悉的圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线），其次利用数形结合思想去研究这三种几何图像中代数问题，最后对其基本性质及衍生出来的一些相关性质进行论证。

【关键词】圆锥曲线；数形结合思想；推广应用；性质

数学被认为是研究数量关系和空间几何的一门自然科学。解析几何是中学数学的核心内容之一，解决何题的方法就是数形结合。本文主要研究高中所学的三种圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线），利用数形结合思想去研究他们所反映的代数问题，最后对其基本性质进行阐述，对相关推广性质进行论证，并将这些理论知识与生活实践很好的结合起来，这才是学习知识的最好价值。

1 圆锥曲线的分类及定义

圆锥曲线也叫二次曲线，可分为椭圆、抛物线、双曲线和圆，都是通过直角坐标系建立起来的，并且每条曲线都与二次方程一一对应。首先我们根据平常所学课本内容对圆锥曲线给出一个表格如下：

2 圆锥曲线推广应用

随着新课改在全国的广泛推行，许多以生活和生产实际为背景材料的应用题也进入了我们的课本和考试。具体在椭圆、抛物线、双曲线中都有体现。下面让我们举例说明。

例题1：[2]圆柱形的容器在同样容器的要求下，它的表面积最小也就是容器所用的材料最少，在装入物品后尤其是液体，对罐内壁各部分的受力大小情况也比较平均，而在高度和宽度（即车的允许高度和车的宽度）都有限制的情况下，其横截面作成椭圆形就可以达到既节省了罐体材料，也保证了容积，由利用了有限的“空间”和保证了罐体的稳定性。这是一道生活中通过求油罐车的横截面的椭圆题。

例题2：[2]冷却塔从底部到中部直径变小，是将蒸汽抽到塔内，防止底部逸出，而上部直径变大，可以降低上升到顶部热气的流动速度，从而降低抽力，使蒸汽尽可能的留在塔内，提高冷却回收率双曲线的应用：火电厂及核电站的冷却塔。这是一道生活中通过提高冷却回收率的双曲线的应用题目。

例题3：[2]采用抛物线的结构使得赵州桥用料精简，结构稳定坚固，赵州桥距离现在1400多年，经历了10次水灾，8次战乱，和多次地震，著名桥梁专家茅以升说过：先不管桥的内部结构，仅就他能够存在1400多年就说明了一切。探照灯截面由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面，他也有一条轴，即抛物线的轴，在这个轴上有一个奇妙的焦点，任何一条过焦点的直线反射出来以后，都将成为平行于轴的直线。这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。这是我们熟知的美丽的赵州桥，它经常作为考察抛物线的应用材料。

从以上几道题可以看出生活中处处都要解析几何的影子，而对于学生来说这些背景材料并不陌生，而往往是对于材料的提取出有用的信息，以及抽象出一种熟悉的、课本学过的相对理想的数学模型这是难点，这也是很多学生的瓶颈。正如波利亚的解题法一样，只要是问题，都有解决的办法，我们要小、遵循一定的解题次序和规则。在这里我结合个人的多年教学经验，课后对许多其他同仁教师的访谈及对很多优秀学生的了解和交流，我们得出以下几点：首先，不要去害怕这种具有庞大信息量的题目，它说白了就是一只“纸老虎”。要对自己有信心，把题目读懂（提取有用信息，排除大量无用的干扰信息）；其次，要抽象出一种所学过的代数模型（具体到椭圆、双曲线和椭圆等）；最后，结合实际背景，符合实际情况（考虑一些理想化条件的限制范围和使用条件等）。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]华正东.圆锥曲线的性质及推广应用[D].安徽大学，2013.

[3]赵晓静.圆锥曲线的性质及推广应用[D].新疆师范大学，2012.

[4]王彤.圆锥曲线的应用[J].甘肃科技纵横，2006，35（5）.

[5]郑崇友.几何学引论[M].2版.北京：高等教育出版社，2005.

[责任编辑：汤静]

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