数学教学中的观察和联想

摘要：观察、联想是寻求解题途径的重要手段之一。在数学教学和解题中，对题目结构特点的观察越细密、严谨，就能唤起已“存储”的知识信息参与联想而“跟着感觉走”，在“走”的途中随时注意“捕捉”新“信息”，再观察往往就能“柳暗花明又一村”。本文根据笔者多年从事中学数学教学和竞赛辅导经验，分别就数学教学和解题中怎样运用观察、联想，通过实例谈一些教学体会，与同行共勉。

关键词：观察 联想

从广义上讲，观察是对事物进行有目的、有选择的、积极主动的信息收集活动，联想是把观察得到的信息与已有的知识和经验联系起来思考。观察和联想是发现途径、引导决策，以便迅速正确地解决问题的重要的思维方法。由于数学的严谨、抽象和应用的广泛性等特点，在数学教学和解题过程中，善于引导学生观察、联想，不仅有利于培养学生的逻辑思维能力，而且有助于开发智力，使他们去探寻问题所涉及的各种数量关系和空间形式，摸索其中深藏的规律性，发现解决问题的思路和方法，进而提高分析问题和解决问题的能力。具有不同的知识、经验、水平的人去观察同一个题目，往往观察的结果是不尽相同的。甚至，同一个人从不同角度去观察同一个题目，其结果也有所不同。这是因为观察是在知识与经验的联想中进行的。没有联想，就不可能有深入的观察。另一方面，联想也是在对题目和解题过程的观察中进行的。没有观察，就不可能产生联想。因此，观察和联想形影不离，紧密相随。

本文就数学教学和解题中的观察联想谈点体会。

一、教学中的观察和联想

例如1、在讲“平行线分线段成比例”定理时，首先让学生回答已学过的“平行线等分线段”定理。如下图，若AB∥CD∥EF∥GH，且AC=CE=EG，则BD=DF=FH。

提问：？？与怎样？让学生观察题设（条件）、结论后即可答出。

再问：？？与怎样？学生自然联想上述方法，从而答出 。引导学生观察，这个结论与题目中什么有关？什么无关？学生根据图和结论答出：与CD无关；根据图和原题设答出：与AB∥EF∥GH有关。

从而，有：若AB∥EF∥GH，则 。指出：是否具有一般性？肯定，有。即得：三条平行线截两条直线，所得线段对应成比例——平行线分线段成比例定理。

证明：略。

例如2、讲“弦切角”定理，首先让学生画图形的特例：即弦AB过圆心O，如下左图：

启发提问：∠BAC = ？ 引导学生观察弦切角∠BAC，联想切线的性质，易得∠BAC=900。

让学生观察图形回答，弦AB又是什么？学生答：直径。学生观察图，教师又问的度数是多少？学生答：1800。

从而，有：∠BAC = 此结论的一般性，即：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角——“弦切角”定理。

证明：略。

从以上两例，我们不难看出，通过对已有数量关系、图形等的观察、联想、分析，就会很自然地引出本身较为抽象的结论或定理，使学生不觉茫然，也为他们思维的发展、研究乃至发现新问题开辟了广阔的途径。

二、解题中的观察和联想

例1、已知：x、y均为实数，且y= + + 1 。求：x2 +y2的值。

分析：观察方根、被开方数。

与 互为相反数，偶次方根。联想其性质，易得二式均为零，从而x=1，y=1。

故x2 + y2 = 2。

解：略。

例2、解方程（）x + （）x = 14

分析：易发现（）（） = 1

设y =（）x ，则原方程可化为y + = 14，y2-14y+1 = 0

解得：y = 7 ± ，从而 x= ±2。

解：略。

例3、在正△ABC的外接圆的劣弧

故方程只有正根x = 2.

由此可见，观察数形特点、变化规律，在解题中占有十分重要的地位。规律搞清楚了，一个漂亮的解题方案就水到渠成了。一个优秀的数学选手之所以优秀，就在于他能在“山穷水尽”之处，发现“柳暗花明”。他那敏锐的观察力和丰富的联想能力，使他总能绕过险滩、跨过急流，铺设出一条妙趣横生的通途。

（作者简介：李林森，男，1957年9月生，陕西南郑县人，中学高级教师。长期在央企陕西华燕航空仪表公司子校从事中学数学教学工作。历任教研组长、教务主任、工会主席、校长等职，现任党支部书记。1991年被中国数学学会授予中国数学奥林匹克二级教练员称号。先后在《天津市教科院学报》、《当代教育》、《当代教学研究》等杂志发表论文多篇。）。

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