数学教学中的解决问题与问题解决

【摘要】数学教学中的解决问题和问题解决是两个不同的概念.解决问題是具体的解题操作，问题解决意指通过对具体问题的解答、探索和研究，得到一般性的结论、共性的解题方法解题思想等，从而达到触类旁通举一反三的功效.

【关键词】数学教学；解决问题；问题解决

问题是数学的心脏，解题教学是数学教学的核心之一.那么，数学教学中的解决问题与问题解决有什么不同呢？笔者认为，数学教学中的解决问题是指对某一个具体问题的具体解答，问题解决意指通过对具体问题的解答、探索和研究，得到一般性的结论、共性的解题方法解题思想等，从而达到触类旁通举一反三的功效.

下面笔者以解答一道武汉市中考题的心路历程为例，谈谈两者的区别及在教学中的功效.

原题如图1，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD长为（）.

A.7B.72C.82D.9

图1解连接BD，过点B作BE⊥CD，垂足为E.

因为AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB，所以∠BCE=45°，则△BCE是等腰直角三角形，斜边BC=8，所以CE=BE=BC2=42.又因为∠CAB=∠CDB，即∠CAB=∠EDB，所以Rt△ACB∽Rt△DEB，所以DEBE=ACBC=34，因为BE=42，所以DE=32，所以CD=CE+DE=72，选B.

以上解答，思路清晰，推理严密，就是说，我们已经解决了问题.

但是，问题解决了吗？

1仔细观察，发现结论

因为AC=6，BC=8，并求得CD=72，所以就有AC+BC=2CD，这难道仅仅是巧合而已吗？于是尝试着改变原题中直径AB和弦AC的长并求出相应的CD长，发现上述结论仍然成立，由此我们大胆提出猜想：

3.1特殊化探路

定理3如图5，⊙O的直径为AB，AC、BC是两条弦，∠ACB的外角平分线交⊙O于D，则CD=22AC-BC.

证明不妨令AC

3.2一般性结论

定理4如图6，AC、BC是⊙O的两条弦，且∠ACB=θ，∠ACB的外角平分线交⊙O于D，则CD=AC-BC2sinθ2.

图6证明同样不妨令AC

所以CE=AC-BC2.因为∠ACB=θ，所以∠DCE=180°-θ2=90°-θ2.在Rt△CDE中，因为cos∠DCE=CECD，所以CD=CEcos∠DCE=AC-BC2sinθ2.

至此，问题终于得到了比较圆满的解决，我们不仅收获了问题解决的思想方法（特殊化、一般化和类比），优化了认知结构，取得了数学基本活动经验，还使我们有了一种难以言表的愉悦.

回顾上述思考及探究的过程可知，数学教学中的解决问题和问题解决是两个不同的概念，解决问题是具体的解题操作，问题解决则是一种数学意识，教师在教学中如果能经常地将两者加以糅合，就能极大地提高解题教学的效益，这样我们的数学课就能升华为一种境界：天空未留痕迹，鸟儿却已飞过.

课程改革的核心之一是能力培养，怎样培养学生的能力呢？其实在解决问题之后再问一个“问题解决了吗？”就是一个简单易行的方法.

作者简介严锦强（1979—），男，湖北阳新人，中学一级教师，阳新县中学数学优秀教师，黄石市市级骨干教师，撰写多篇教育教学论文获省、市级奖励.

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