浅谈初中数学中的背景知识

中图分类号:G623.5 文献标识码:A 文章编号:1673-1875(2010)08-141-02

教材中包含了一些辅助材料,我们称之为数学背景知识,如数学史、数学家介绍、数学故事、历史名题、趣味数学,数学在现代生活中的广泛应用(如建筑、计算机科学 、遥感、CT技术、天气预报等),数学教材的编写也越来越贴近生活。

其实拿出时间指导学生学习相关的数学背景知识,这不仅使学生对数学的发展过程有所了解,体会数学在人类发展历史中的作用和价值,还可以激发他们学习数学的兴趣,培养学习数学的信心。

重视数学背景知识在初中数学当中的作用,要求老师自己有广博的数学专业知识,对课本内容的准确把握,还要寻找适当的时机,让数学背景知识发挥它的应有的作用。

一、数学背景知识的作用

1.数学史——开阔学生视野,激发学习兴趣

事实证明,课堂授课时那些知识丰富、谆谆善诱的老师远较那些授课时简单乏味、就事论事的教师受学生欢迎。如果教师在教授一些常见的数学概念、理论和方法时,能够指出它们的来源、典故及历史演变过程,将会使学生兴趣昂然。。比如,教师在讲授“勾股定理”时,如果仅仅给出推导证明,学生也能够掌握。但是,如果教师给出中国古代的证明思路,或者提及古希腊毕达哥拉斯发现这个定理的经过,课堂气氛就会活跃起来。如果他知道,从古至今,“勾股定理”的证法已经超过300多种,甚至还曾经有一位美国总统醉心于这个定理的证明,学生们一定会产生旺盛的求知欲,努力从各方面去探寻证明思路。

2.数学家的故事——对学生进行思想教育,培养良好的学习习惯与品质

数学今天的繁荣昌盛是千百年来无数数学先驱前仆后继,辛勤耕耘的结果。数学先贤们的严谨态度值得我们学习,他们的献身精神值得我们景仰,他们的经验教训值得我们去借鉴,许多数学家孜孜不倦、锲而不舍地追求真理的精神值得我们去感动。

许多大数学家在成长过程中遭遇过挫折,不少著名数学家都犯过今天看来相当可笑的错误,介绍一些大数学家是如何遭遇挫折和犯错误的,不仅可以使学生在数学方法上从反面获得全新的体会(这往往能够获得比从正面讲解更好的效果),而且知道大数学家也同样会犯错误、遭遇挫折,对学生正确看待学习过程中遇到的困难、树立学习数学的自信心会产生重要的作用。如法国著名作家司汤达被“负负得正”困扰的故事。还有司汤达的学习经历告诉我们:人们在学习数学的过程中难免会遇到这样那样的困难和挫折,没有必要为此而灰心丧气。再如以继牛顿之后最伟大的数学家之一、18世纪数学界的灵魂人物欧拉(L. Euler, 1707—1783)为例,他在年近花甲的双目失明,不久,除了其本人和一些手稿幸免于难外,他的住所和财产全都在一场大火后荡然无存,正所谓祸不单行。尽管遭受一系列的不幸和沉重打击,欧拉仍然屹立没有倒下,他的科学活动丝毫没有减少。欧拉的记忆力和心算能力是罕见的。心算不仅限于简单的运算,高等数学同样可以用心去算。欧拉在完全失明前,还能朦胧地看到一些东西,他抓紧这最后的时刻,在一块大黑板上写下他发现的公式,然后口述其内容,由他的学生笔录.在失明后的17年里,欧拉还解决了许多数学问题、留下400多篇论文。由于欧拉身残志坚、百折不挠的毅力和孜孜不倦的探索精神及无与伦比的数学贡献,后人把他誉为“数学英雄”。

再比如我国著名数学家华罗庚,一共只上过9年学,只有初中文凭,却成了蜚声中外的杰出数学家。他的格言“天才在于积累,聪明在于勤奋。”激励了一代又一代学子。 在数学史上,这样的的数学先贤不胜枚举,他们崇高的理想、顽强的意志、为真理献身的精神及高尚的道德情操,无不是后人应该继承的宝贵遗产。

3、 趣味数学或历史名题—— 激发兴趣,领悟数学思想

要想学好数学,就必须去学习那些经典名题。要想学好数学,就必须去学习那些经典名题中所蕴含的经典数学思想与方法。开拓学生的思维,激发学生的兴趣,使学生的思维上升到一个新的境界。例如,在讲解方程组时,可以介绍阿基米德与金冠的故事与题目。讲“数学建模”思想,可以向学生介绍世界著名数学家瑞士人欧拉(1707～1783)解决哥尼斯堡“七桥问题”的故事. 相传,18世纪,欧洲哥尼斯堡(今属立陶宛共和国)内有一条大河,河中有两个风光秀丽的小岛,被大河隔断.河上架有七座桥,把河两岸及小岛联系起来(如图1).当地的许多市民都喜欢到桥上散步.久而久之,人们都在思索一个问题:一个散步的人能否从某一地(河岸或岛上)出发,不重复地经过每座桥一次,然后回到原出发地?这个问题看起来十分简单,所以吸引了无数人都想一试,结果都没有成功.于是,有人便给当时著名的数学家欧拉写信求教,于是,欧拉用数学家的眼光对问题进行了研究,用四个点代表河的两岸和两个小岛,用两点间的一条线表示联接两地间的一座桥,就得到如图2的由四个点和七条线组成的图形.于是,这个问题便转化为能否一笔将这四个点不重复地一气连成的问题,从而提出了一种前无古人的“一笔画”问题.欧拉的这种解决问题的方法,给我们开辟了一条“数学建模”之路,对我们的学习是大有裨益的。这些数学名题,包含了数学家的独特思路,使他们解决了同时代和前人所没有没有解决的问题。

而趣味数学,则让学生在轻松愉快中学到知识,拓展思维,提高逻辑推理的能力,如神秘的黄金数0.618。

二、进行数学背景知识教学的注意事项

1.提高老师对数学背景知识教学的重要性的认识

我们这一代数学老师所受的数学教育,单纯强调数学的严谨性和抽象性,注重形式演绎的现象非常严重。数学专业教材中本身缺少对数学背景知识的讲授,如数学发现过程、数学理论形成过程的探究与剖析等等。大数学家莱布尼茨(G·W·Leibniz,1646～1716)曾说:“没有什么比看到发明的源泉更重要了,这比发明本身更重要。”因此,如果把数学仅视作一套概念体系,一种研究活动过程,方法、技术和结果,数学教育就只能成为一种简单的、静态的过程反映,而根本的危害是不利于创造型数学专业人才的培养。所以老师一定要对数学背景知识教学的重要性有深刻的认识,目光不要仅仅限于多做两道题,提高学生的分数。

2.老师应该具有广博的专业知识,做好数学背景知识的积累、整理工作

(1)广泛研究,做好整理工作

众所周之,现在的还没有一本正好适合初中孩子和新课标完全配套的数学背景知识读本。众多的数学背景史散落在课本和配套新课堂练习当中,这就给任课老师提出了很高的要求。在广泛搜集资料的基础上,积累、整理和所教内容完全吻合的数学背景知识,成了摆在老师面前一项重要任务。

注意结合教学实际和学生的经验与体验,依据一定的目的,对数学史资源进行有效的选择、组合、改造与创造性加工, 使学生容易接受、乐于接受, 并能从中得到有益的启迪。

(2) 正确处理背景知识内容繁多和课内教学要求之间的矛盾。

由于时间的问题,很多教师老担心时间不够,在课堂上很少关注数学背景知识,而学生几乎都认为他们数学背景知识的获得主要来源于教师课堂上的介绍,是教师在课堂上的介绍引发了他们的学习兴趣,所以课堂教学在学生数学史的学习中依然是渗透数学背景知识的主阵地。

正确处理好在课堂上渗透背景知识与课堂教学内容多之间的矛盾,正确把握好数学史和课堂教学内容的主次,完成正常的授课计划,不要喧宾夺主。这就要求老师处理好这两者之间的关系,把握引入背景的时机,时间的长短,达到的目的等等。

其实,我们可以用多种方法解决这个矛盾,可以详细讲、也可以简略介绍,可以利用一堂课的时间进行专门讲授;也可以成立课外课题组进行探究,有计划有组织地实施课题的各项工作;组织专门的数学晚会、数学壁报、数学报告会以及伟大数学家生忌纪念会等形式进行介绍。特别现在网络高度发达,也可以布置学生通过网络查找相关资料学习而获得,重点内容教师也可以利用课前5──10分钟自己介绍。例如我在讲初一《有趣的七巧板》一节时,我给学生布置预习作业,让学生课前自己查起源。一上课,学生交流预习结果,及解决了单纯老师讲解费时,又让学生自己动手,知识掌握的更深,激发了学习的兴趣。

三 初中课本中的相关背景知识

1、在数与代数部分,可以介绍一些有关正负数和无理数的历史、一些重要符号的起源与演变、方程的起源及其解法有关的材料(如《九章算术》、秦九韶法)、函数概念的起源、发展与演变等内容。还可以有选择的介绍一些有代表性的数学家,例如李治和他的“天元术”等等。

2、在空间与图形部分,可以通过以下线索向学生介绍有关的数学背景知识:介绍欧几里得《几何原本》,欧氏几何的创建与完善历史;介绍勾股定理的由来,几个著名证法(如欧几里得证法、赵爽证法等)及其有关的一些著名问题,勾股定理的应用。简要介绍圆周率π的历史,使学生领略与π有关的方法、数值、公式、性质的历史内涵和现代价值(如π值精确计算已经成为评价电脑性能的最佳方法之一);结合有关教学内容介绍古希腊及中国古代的割圆术,使学生初步感受数学的逼近思想以及数学在不同文化背景下的内涵;作为数学欣赏,介绍尺规作图与几何三大难题、黄金分割、哥尼斯堡七桥问题等专题,使学生感受其中的数学思想方法,领略数学命题和数学方法的美学价值。

3、在统计与概率部分,可以介绍一些有关概率论的起源、掷硬币试验、布丰(Buffon)投针问题与几何概率等历史事实,统计与概率在密码学等方面的应用。

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