欣赏数学之美

摘要：数学不但对社会的进步提供的动力，数学的美还给以人们享受。数学美不但有多种表现形式，如简洁美、对称美、统一美等。数学美具有一定的价值，欣赏数字之美对调动学生积极性，培养学生的应用和创新意识，提高学生素养，塑造学生的数学观具有重要作用。

关键词：简洁美；对称美；统一美；形式美；隐藏美

中图分类号：G427 文献标志码：A 文章编号：2095-9214（2015）11-0117-02

数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求。许多人认为数学是枯燥乏味的，其实是没有领悟到数学的美，不懂得欣赏数学美或缺失欣赏数学美的能力。数学的美无处不在，只要我们细心观察就能发现数学的美，就能欣赏数学的无穷魅力。

一、美与数学美的含义

美在哲学中定义为：美是具体事物的组成部分，是具体环境、现象、事情、行为、物体对人类的生存发展具有的特殊性能、正面意义和正价值，是人们在密切接触具体事物。受气刺激和影响产生了愉悦和满足的美好感觉后，从具体事物中分解和抽取出来的有别于丑的相对抽象事物和元实体。[1]

那数学美又是什么呢？数学思想大师罗素就曾这样毫不掩饰地说过：“数学，如果正确地看它，则具有……至高无上的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识，这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到。”[2]

二、数学美的表现

数学美的表现形式是多种多样的，关键是看你从何种角度去体会，去欣赏。就像一千个人眼里有一千个哈姆雷特一样，每个人对数学美都有不同感受。数学从分支上看有几何美、代数美、概率美等；从思想方法上看有抽象美、演绎美、划归美、类比美等；从一般美学上看有简洁美、对称美、统一美、形式美、隐藏美等等。这里主要谈谈数学的简洁美、对称美、统一美、形式美、隐藏美：

（一）简洁美

简洁的事物总是蕴藏着美的真谛，化繁为简本就是一种高超的本领。数学是一门追求简洁的学科，简洁性是数学的一个显著特征，反映的是数学的简洁美。伟大的物理学家爱因斯坦曾经说过：“美，本质上终究是其简单性。”今天我们众所周知的十进制其简洁性和优美性就十分明显，这就是数学的一种简洁美。相比二进制、十二进制、十六进制，十进制的优越性太大了，它简化了我们的数学计算，促进了数学的快速发展。

著名而且使用非常广泛的勾股定理是数学简洁美的又一典范，直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么有：a2+b2=c2。直角三角形有无数多个，其三边长个不相同，但是这个定理却将直角三角形的三条边的关系表现的淋漓尽致，简单明了，这就是数学的简洁美。

（二）对称美

对称是现实世界非常常见的一个美学性质，没有对称性的世界是无序的、杂乱无章的，没有对称性的东西是孤寂的、呆板的，不具体有生命力。所以，对称美是我们生活中经常追求的一种美，比如对联的对称美、建筑物的对称美等。

其实，数学中也蕴含着对称美。例如，在高等代数中，n阶行列式把n·n个元素按n行n列排成一个正方形，这使人感到整齐和对称。[3]数学的对称美更多体现在图形的对称性上。从平面到立体，无不体现着数学的对称美。在平面几何中，圆可以说是对称美的一个典型范例，因为圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，沿过圆心的任意一条直线对折，圆的两半都完全重合，这就是圆的对称美。在立体几何中，球可以说是对称美的另一典范。此外函数的图像也有对称美，例如，正弦函数和余弦函数的图像是对称的，而且可以是轴对称又可以是中心对称。数学中的对称美是无处不在的，它给我们视觉上的享受，心灵上的抚慰，只要我们细心体会就能发现。

（三）统一美

统一性又可作同一性，追求同一性又是数学的一个基本特征。统一性是指部分与部分、部分与整体之间的内在联系或共同规律所呈现出来的和谐一致[4]。数学的发展是逐步统一的过程。希而伯特曾说统一的目的就是：“追求更有力的工具和更简单的方法”。

从相同几个数的连加到乘法，从相同几个数的连乘到幂的运算，这都体现的数学的统一发展规律，也体现的数学的统一美。所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S={β/β=α+k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和，这就将任一与角α终边相同的角统一起来了，这还包括正角与负角的统一。椭圆曲线、双曲线、抛物线的第一定义是各不相同的，但是它们的第二定义又可以统一为：到定点距离与它到直线的距离之比是常数e的轨迹。当01时，其轨迹为双曲线；当e=1时，其轨迹为抛物线。虽然e的变化很小，但由于e的取值不同，直接就导致其形成的轨迹不同。看似简单的e却统一表示着三种不同的圆锥曲线。著名的数学家欧拉一生有很多数学成就，其中以欧拉命名的欧拉公式就有好几条，例如，eix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，将复数、三角函数、指数函数统一起来，它是复变函数论里的统一美。

（四）形式美

我国古代的数学可以说是星光璀璨，如数学家杨辉发现的杨辉三角，杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：

1

11

121

1331

14641

15101051

1615201561

杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。自上而下，从左往右，杨辉三角无不体现着数学的形式美。

再来看看下面的两组式子：

1×9+2=11

12×9+3=111

123×9+4=1111

1234×9+5=11111

12345×9+6=111111

123456×9+7=1111111

1234567×9+8=11111111

12345678×9+9=111111111

123456789×9+10=1111111111

1×1=111×11=121111×111=123211111×1111=123432111111×11111=123454321111111×111111=123456543211111111×1111111=123456765432111111111×11111111=123456787654321111111111×111111111=12345678987654321

两组式子是数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9通过运算符的简单组合，但是其形式上美，让人看了觉得是一种享受。如第二组的每一个等式左边是两个相同的由1组成的数，右边的积则刚好是一个对称的数，如123454321，这样的形式难道不美吗？

（五）隐藏美

数学是一门抽象的学科，简单的符号语言或表达形式却不失深刻的内涵和意义。数学的美有时不是一眼就可以看出来了，它具有一定的隐藏性，需要我们进行深入的挖掘，细细的品味方能体会其中的美。

杨辉三角中就具有隐藏的数学美，如果我们将杨辉三角以下方式排列，那么自左下到右上对角方向上的数字之和分别是1、1、2、3、5、8、13、…，这组数刚好就是斐波那契数列，其中的每一个数都是斐波那契数，即：

11235813…

1

11

121

1331

14641

15101051

1615201561

斐波那契数列是一个有趣而神秘的数列，细心研究该数列，我们发现其背后隐藏着不少有趣的性质。例如，将该数列的每一项都平方得到一组数，然后将这组数的前n（n∈2，3，4…）项相加，得到的和是两个斐波那契数的乘积，即

1+1=2=2×1

1+1+4=6=2×3

1+1+4+9=15=3×5

1+1+4+9+25=40=5×8

1+1+4+9+25+64=104=8×13

……………………………………………

如果我们记斐波那契数列的通项为an，将斐波那契数列相邻两项的前项比后项得到一个无穷分数数列：11，12，23，35，58，813，…，an-1an，anan+1，…可以证明该无穷数列存在极限，其极限为limn→∞anan+1=5-12≈0.618。0.618通常称为黄金分割比，这是美学上一个重要的判断标准。

杨辉三角中竟然隐藏着斐波那契数列，而看似简单的斐波那契数列又蕴含着如此多的美，这正好说明数学的美是有隐藏性的，需要我们用心去挖掘、去发现，去品味

三、数学美的价值

数学能给予我们什么？美国著名的数学史家、数学教育家与应用数学家莫里斯·克莱因曾经说过一段话：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切”[5]。

在数学教学中，引导学生去挖掘和欣赏数学的美具有重要的作用：欣赏数学的美，可以激发学生的学习热情，调动学生的学习积极性；欣赏数学的美，可以锻炼学生的思维，培养学生的应用意识和创新意识；欣赏数学的美，可以陶冶情操，提升学生的数学修养和素质；欣赏数学的美，可以更好地塑造学生的数学观和学习观。

四、总结

总之，数学世界是有趣的、美妙的，并不是枯燥无味的，数学的美是生动的、活泼的、广泛的，它存在于我们生活的方方面面，只要我们怀着一颗虔诚的心和一双智慧的眼睛就能发现数学的美，就能欣赏数学的美，进而用数学的美给我们创作更多更好更高的价值，让数学之美为我们服务。

（作者单位：闽南师范大学数学与统计学院）

参考文献：

[1]陈浩.数学娱乐与数学教学[D]，中国优秀硕士学位论文全文数据库社会科学2辑，2011（51）.

[2]罗素.我的哲学发展[M].北京：商务印书馆，1982.

[3]张玉芳.浅谈数学之美[J]，平原大学学报，1996（3）：53～54.

[4]张小宁.浅谈数学之美[J]，科技资讯，2007：178.

[5]曹鹏，符方健，黄婷，罗自强.浅析数学之美[J].教育教学论坛.2013（30）：120～121.

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