高考数学圆锥曲线

　 圆锥曲线在高考中的常见题型及其解法从近几年全国各地的高考题来看，圆锥曲线问题一直是以拉开差距的题目的身份出现，难度较大。因此，对于那些想考上较好大学的学生题目的综合性较强，计算能力要求较高，让我们来看看高考中这类问而言，圆锥曲线问题就成了必争之地，而要突破它也并非难事， 题是怎样出现的吧！ 一、新趋势——与圆结合中降低了对圆锥曲线的要求，这让我们看到高随着课程改革的不断推广，新课标教材 ，而且难度较小。如：考中圆锥曲线与圆相结合的问题逐渐增多（尤其是新课标考区）22xoy的1年广东理）在平面直角坐标系：例（中，已知圆心在第二象限、半径为0722yxCCO?1?x?y．椭圆与直线与圆相切于坐标原点的一个交点到椭圆两焦点的圆2a910．距离之和为

　C的方程；）求圆 （ICOFQQF的距离等于线段，使上是否存在异于原点的点（II）试探究圆到椭圆右焦点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 的长．若存在，请求出点； ）圆C：解析：（I8?2)x?2)(y(22yxa =5，椭圆方程为，∴F（4，0）.若存在这样的点 （II）由条件可知1259Q，

　则F在OQ的中垂线上，又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称；直线CF的方程为4yx315xy-1=,即.设Q（x,y），则，解得 03y4x1)(x12x3y3y4?05?22?412所以存在满足条件的点Q，其坐标为.

　),(55点评：圆与圆锥曲线相结合的问题主要是强调对圆锥曲线基本概念的理解，要充分利用圆的几何性质对题目条件进行合理的转化，以简化计算，解决问题。

　二、向量参与圆锥曲线问题的两种方式

　我们经常在圆锥曲线问题中看到向量，比较简单的是用向量语言表述几何关系。如用10?OA?OBOBOAOM的中点等等。M用，表示是线段AB和表示OAOB互相垂直 2另一种情况是用向量语言表述坐标关系，下面我们还是通过一些题目来说明这些是如何办到的。

　0)B(0，1)A(2，，）设椭圆中心在坐标原点，08全国II：是它的两个顶点，直线例2（ y?kx(k?0)ABDEF两点． 与相交于点，与椭圆相交于、 - 1 -

　ruuuuuruDF6ED?kAEBF 面积的最大值．的值；（Ⅱ）求四边形，求（Ⅰ）若2x21yEF，AB为方程得椭圆的（ 解析的：方Ⅰ程）分依别题为，设直线4)，，kx)，Fkx(xD(x，kx)，E(xxx?0)k?y2?ykx?2x(?．，其中，，如图，设 20210121222xx?xx，4k)x?(1?4 且，故．满足方程①12212k41?y

　ruuuruuuB DF?6EDx?x?6(x?x)，得知由 F 0102D

　x

　1015O

　A

　?x(6x?x)?x?；2120772k471?E

　2102?2kx?x?2?xABD．，得所由以在，上知化简得0001?2k1?2k2k471?2320625k?24kkk．，解得或 38E，FAB的距离到式知，点分别为离（Ⅱ）根据点到直线的距公式和①x?2?x?2kx2kx?222)4k)?1?2(1?2?2(1?2k1?4kk1122h?h．， 215522)5(1k5(1k4)?4?2?12?5AB?AEBF的面积为 ，所以四边形又21)k2(1?2k1?142?4kk1?4≤22?S?AB(h?h)?5?2 ，21222k41?22k41?k451?122?kS12k?．，即当时，上式取等号．所以 当的最大值为2点评：就像本题一样，最常见的向量语言表述坐标关系莫过于定比分点坐标公式。在某?的正负进行讨中可能还会以线段的比值关系来给出这样的条件，此时还要注意对些题目 论，然后利用向量找到坐标之间的关系以解决问题。

　三、圆锥曲线中的面积问题

　圆锥曲线中的面积问题和弦长问题联系是非常紧密的，高考中也经常出现，但以面积问题居多，这类问题往往又与函数的最值、方程等结合得比较紧密，有一定的综合性但难道不算太大，容易突破。

　2y21xy轴四点都在椭圆II05全国卷）、、、为椭圆在上，：例3（PQFMN2ruuuruuuuuruuruuuurruuuuuuFQ共线，且与共线，与正半轴上的焦点．已知．求四边形PFPMQNMF0?PFFN?MF - 2 -

　 的面积的最小值和最大值． 1kxy.

　：PQ0斜率存在且不为时，设为k.. 则解析：①当PQ1?y?kx?22yx,,xy,QP02k?x?21?kx?得，. . 设由?2121220?yx2221?22k12k2?xPQ1?kx?x?xxx,?. .∴则2122112222?k2kk2222114k?1?2k2?MN?MNS?PQ?. ∴同理可得，. ?PMQN222212k?2kk?1?2244t221?1?tt?k1t?kS?.

　，则令. ∴?PMQN21t?t?12151?24t1612S?10 ∴， ∵PMQN9t1?S?2PQ?MN时，②当 PQ斜率不存在或为0PMQN2162.

　的面积的最小值为综上所述，四边形，最大值为PMQN9点评：此题以向量的形式告诉我们过上焦点的两条相互垂直的直线与椭圆交于四点，的四边形的面积的最值。解决此题时要注意一下两点：①要能够并要我们求这四点所构成 ②再顺利表示出四边形通过对四边形面积的分割，将四边形的面积转化为两条弦长的乘积。对于这些类似的分式函数常的面积以后，要能够通过合理的换元求出那个分式函数的最值。或用判别式法求最值。另见的求最值的方法有，换元后用均值不等式、或转化为二次函数、 外，对所求面积进行合理的分割，能起到简化计算的作用，如下面这个题目。

　四、求值、求方程问题积问题，求值、求方程类问题的条件更加变化多端，可能需要对条件作出更相对于面 求方程就是求方程中待定的系才能够利用条件列出方程以求出所需的值。注意，多的转化， 数，也就是求值。)3(1,v?32,?0l）和椭圆的直线05例4：（福建卷）已知方向向量为过点（22yx)?0(a?b?C:?1l的右准CC的中心关于直线的对称点在椭圆的焦点，且椭圆 22ba.

　线上 的方程；（Ⅰ）求椭圆C46?ON?OMcot交椭圆，满足NC于点M、m02E（Ⅱ）是否存在过点（－，）的直线3.

　为原点）（≠∠MON0O.的方程；若不存在，请说明理由若存在，求直线m - 3 -

　22yx1的方程为：C. （解析：I）椭圆262tyx.

　）由已知，直线轴，所以可设其方程为：IImy（不垂直于2ty?x22yx,MNx,y,0ty2t?3y?4 . 得，设由?2112220?63yx?21t?2624ty?yyyyy ∴. 则，212211222t?3t?3t?32?16t12?OES?SSy?y?. ∴21?OMNOMEONE22?3t26422S?31?3tt6?ON?OM，知∠. 又由MONcot. ∴MON?33t3x?3y?2?020?x?t?.

　或，其方程为：. 所以，解得，存在这样的直线m或264S?6ON?OM?转化为0∠MON才能点评：对于此题，要将条件≠cotMON?33够突破问题的关键。此外，大胆的设方程、设参数也是需要不断向学生渗透的重要思想。

　五、求范围问题

　如果说求值要想尽一切办法列方程的话，那么求范围就要想尽一切办法列不等式，列0；②曲所求字母的不等式以求出其范围。其中，能用于列不等式的主要有：①判别式 线上点坐标的范围；③特殊的已知条件。另外要注意的是，我们所求的字母有可能是某个变量的函数，我们可利用函数求值域的方法求其范围。

　2x2FF1y分别是椭圆20）设、例5：（07四川理的左、右焦点. 214PFPFP的最大值和最小值是该椭圆上的一个动点，求;

　（Ⅰ）若·12AOBOl)2M(0,BA（其中与椭圆交于不同的两点且∠、（Ⅱ）设过定点为锐角的直线，lk的取值范围. 的斜率为坐标原点），求直线3,0FF?3,0,yP,x3c2,b1,a ，设，所以， 解析：（Ⅰ）易知21 uuuruuuur21x22228?3x3?x1?3y,x3?,yxy,?PFPF3x? 则2144uuuruuuur2,2xPF?PF0xP2 ，即点为椭圆短轴端点时，因为有最小值，故当21 - 4 -

　ruuuuruuuPF?PF2xP1 当为椭圆长轴端点时，，即点有最大值21?yxy,,l:y?kx?2,ABx,l ，的斜率存在，可设直线（Ⅱ）显然直线22122y?kx1220?4kx?3?xk?y ，消去，整理得：联立2?x 421?y 4?34k?x,?x?x?x? ∴ ?kk 44 33122?kk04kk?4?33?4k 由得：或…① 224ruuuuuurruruuuuu000OBA0B?0?OA?cos0A0B?90?0y?OA?OB?xx?y 又?kk38k?242xkx?2x?kx?2k?x?yy?kx4 又 21221112111222?k?k?k 444231?k?204k?2?k2∵…② ∴，即 1122?kk? 44 332k2?k或故由①、②得 22点评：这个题中体现了用判别式及已知条件列不等式求范围的方法，容易找到切入点，AOB 值得提醒学生注意的是∠为锐角是怎样应用的。228y?1xM为圆上一动点，0），：，，定点A（1C（例6：05石家庄一模）已知圆0AM?2AP,NP?AM?NCMNPAME. 的轨迹为曲线点在上，且满足上，点在，点 的方程；（I）求曲线EHHGFGF，且满足（点在点之间）、）的直线交曲线（II）若过点（0，2E于不同的两点、FH?FG的取值范围，求.

　点拨：这个题目还是可以构造韦达定理来求解，但计算量较大。下面的解法就是通过的关系，从而利用椭圆上点的纵坐标的范围得到了向量找到了椭圆上一点的纵坐标和的取值范围。

　2x2?y1?. 参考答案：（I）曲线E的方程为： 2 - 5 -

　?x?x12?FH?FGyGx,y,H,xE由. 有，（II）设，代入21211yy?2?21?3?51?11?y?y3HGF之间，所在点的方程，得∴又因为点. 由、， 得22?341,110?.

　以. 综上，?32x2?y1?的左焦点为F，O为坐标原点。

　例7：（06年福建）已知椭圆 2l相切的圆的方程；，并且与椭圆的左准线 O、F（I）求过点x轴的垂直平分线与ABB两点，线段）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、（II交于点G，求点G横坐标的取值范围。

　ABk虽然不受任何限定，但点拨：此题就是一个利用函数求范围的典型例子，的斜率x却由函数的解析式得到了一个范围。

　用它表示的函数G1922.y?(?2)?(x?)? ）所求圆的方程为参考答案：（kkx?x?ky.00G22222k?12k?12k?124k?2 （II ）1Qk?0,x?0,G21(?,0).? G横坐标的取值范围为点2六、定点、定值问题

　高考中常出现证明某直线过定点这样的问题，要解决这样的问题通常是表示出该直线方程，求出其要过的定点，从而证明问题。对于定值问题也是如此，都是以求代证，用求出某变量的值为定值来证明问题。

　xCC上的点到焦山东理）已知椭圆轴上，椭圆的中心在坐标原点，焦点在07例8：（ 31．，最小值为点距离的最大值为

　C的标准方程；（Ⅰ）求椭圆

　CA，Bmkxl:yABBA，且以不是左右顶点），（Ⅱ）若直线与椭圆相交于两点（Cl过定点，并求出该定点的坐标．为直径的圆过椭圆 的右顶点。求证：直线22yx1?椭圆的标准方程为（Ⅰ） 解析： ． 43 - 6 -

　y?kx?m，222B(x，y)A(x，y)(3?4k)x?8mkx?4(m?3)?0，（Ⅱ），设 得，联立22?yx1221?1. 34222203m4km64k?163?.

　因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以，234?m8mk22xx?0?m?3?4kx?x ，…①，且即 2121223?4k3?4k22)k?43(m22?)?mmk(x?xx?m)(kx?m)?kx?yy?(kx 又， 212112122k?43D(2，0)AB，因为以 为直径的圆过椭圆的右焦点?kk1?yy?xx?2(x?x)?4?0，， 212BD112AD222?3)16mk)4(3(mm?4k?4?0， 222k?4k443?k33?2k22k2m0k?16mk?4?9mm，且均满足①式，．解得： ， 127m2ky?k(x?2)(2，0)l，与已知矛盾；，直线过定点时， 当的方程为12k22?0y?kx?，?m?l，直线过定点 时，的方程为．当? 2777?20，l过定点，定点坐标为 所以，直线． 7点评：证明直线过定点的问题，即求出直线所过的定点，那么该怎样求直线所过的定点呢？其实就是利用已知条件找到直线方程中两个待定系数之间的关系，消掉其中一个即可，因为我们能够求出只含有一个待定系数的直线过怎样的定点。

　C(0，p)xOy作直线与抛物线中，过定点9例：（07湖北理）在平面直角坐标系2A，Bpy?x20p?两点．（）相交于

　NCO△ANB面积的最小值；的对称点，求（I）若点是点 关于坐标原点AClly为直径的圆截得的弦长恒为定值？若，使得（II）是否存在垂直于被以轴的直线l的方程；若不存在，说明理由． 存在，求出A(x，y)，B(x，y)N(0p)，?N的坐标为，可设解析：（Ⅰ）依题意，点， 221122xpy，2py2x?ypy?kx?AB得去立联程线直的方为得与，消?．pkxy - 7 -

　22202pkx?p?x?2p2?xx?pk2?xx? ．由韦达定理得，．212112x?)4xpxx?xx?p(xx2SpS·S 于是2112212ACN△△ABN1BCN△222222?2k?p4p2kp?8p?，

　2p2?2(S)0k?∴．时，当 min△ABNy?al，（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为

　?Q，PQACOAClPH，，的中点为与，为直径的圆相交于点 的中点为xy?p?11，QH?PQO．点的坐标为则， y

　221112222?py?∵O(P?y?p)?ACx， B

　111222C ?Op?y1?1?OaH2a?ypA

　 ，l

　122O x ?)pa?yy?p?)?∴PH?O?PO(2H?(N

　 1144p)a(pay?a ，12p22)PH?(2∴PQ?4a?y?a(p?a)． ?12?pppPQ?pa0?ya?l，，. 为定值，故满足条件的直线此时令其方程为存在，得222点评：解决定值问题只需求出定值即可，此题中不过用到了圆的几何性质，把弦长表aa的值以使得弦长为定值。

　示为了变量的函数，去确定圆锥曲线问题要求较高、形式多样，这里仅是我们肤浅的看法，总结并不全面（如轨 迹问题就没有总结在列）。我们只是希望通过这样的形式回顾、总结教学中的得失，交流心得、感受而已。

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