初中数学教学中不可忽视的两个关系

数学是一门研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。它是人们从事社会生活，参加生产劳动和学习研究现代科学技术必不可少的工具。为了体现数学这门学科的这一本质的特点及作用，《义务教育数学课程标准》明确提出模型思想，解决好有实际意义和相关学科中的数学问题；培养学生的抽象思维和推理能力。因此，在数学教学中要重视这两个关系：一是纯数学知识与实际问题的关系；二是“特殊性”与“一般性”的关系。

一、纯数学知识与实际问题的关系

我们知道，数学理论的建立，是人们在长期的生产实践中以及数学自身发展的过程中积累、发展而来的。从现实生活中的大量实际问题中抽象出来的数学理论，就其本身而言，许多概念、法则、性质、公式、公理、定理及其所反映的数学思想和方法，具有普遍性和适用性。但是在使用其解决某些实际问题时，由这些思想方法和理论产生的结果或结论未必都一定符合实际问题。这就要求要在这些结果或结论中准确筛选出符合实际问题的答案来。

例如：在列方程（组）解应用题中，要求对求出的解进行检验。就是让学生明确，求出的结果虽然是所列方程（组）的解，但有些解是不符合实际问题的。这些实际问题，常见的有：速度、线段的长、增长率、时间、路程是不能为负数的。在列分式方程解应用题时，对求出的结果一般要做双重检验：第一，结果是否能使分式方程有意义；第二，结果虽然是分式方程的解，还要看是否符合实际问题（即是否符合题意）。这就要求在具体教学中教会学生准确、细致地检验，使之理解为什么要检验？检验的方法与步骤是什么？从而达到理解掌握的程度。

又如，在函数及其图象中，求函数的自变量的取值范围时，就要看函数关系是反映实际问题的还是纯数学式。是反映实际问题的，我们就要考虑这样两点：一是自变量的取值要保证纯数学式有意义。如果是分式，要保证其分母不能为零；如果是二次根式，要保证被开方数（或式的值）不能小于零等。二是在此基础上，再考虑是否符合问题的实际。例如，邮资y与信件数x函数关系式为y=0.8x，作为纯数学式，x的取值范围是全体实数，但这里的x是信件的件数，所以x只能取正整数。又例如，等腰三角形顶角度数y与底角度数x的函数关系式为y=180°-2x，这里自变量x的取值范围应是0°

由上述可见，纯数学知识与实际问题是紧密联系的。将实际问题简化为数学模型后，用解数学问题的方法来解决实际问题时，要求我们得出结论或结果后，还要认真加以分析研究，从而找出切合实际的答案来。

二、“特殊性”与“一般性”的关系

数学中的概念，某些具有一般性，还有一些具有特殊性，比如我们常说特殊角、特殊线段等。正确理解和区分这些特殊性和一般性，在解答、证明问题时会给我们带来许多方便，可以帮助快速找出解题的正确途径。利用特殊性可以证明具有一般性的问题；反过来，我们利用一般性的条件可以证明具有特殊性的结论。其作用主要有以下两个方面：

1.特殊性在解答、证明题中的作用

我们知道，在圆的所有弦中经过圆心的弦即圆的直径，是一条特殊的弦，它经过圆心，所对的圆周角是直角，且是圆的最长弦。因此，在学习圆周角和弦切角定理时，首先从一边是圆的直径上的圆周角入手来证明，这就是利用特殊性来证明一般性的情况。这样处理，显得顺理成章，对后面两种具有一般性的情况，学生就易于接受与理解。

由于直径所对的圆周角是直角（特殊角），因此在与圆有关的几何证明题中，一般在已知中有直角或要求证的结论中是直角或与垂直有关的，我们常通过添加直径来辅助证明。

例1 如图1，PA切⊙O于B，AC⊥OB。

求证：∠CAB=∠PAB。

分析：要证∠CAB=∠PAB，须先在⊙O中找一个媒介角，考虑到OB是半径和AC⊥OB，所以可延长BO交⊙O于D，连结AD，则此题便可获证。此题也可连AO并延长AO交⊙O于E，连结EB来证明。这两种方法都利用了“直径所对的圆周角是直角”。当然该题还可用其他方法进行证明。

例2 如图2，△ABC是⊙O的内接三角形，∠EAC=∠B。求证AE是⊙O的切线。

分析：欲证AE是⊙O的切线，须证过点A的半径OA⊥AE。所以可连AO并延长交⊙O于F，连结BF，则∠ABF=90°，结论便可得出。

2.一般性在证明题中的作用

例3 如图3，已知：⊙O上一动点X和⊙O内一定点A与圆心O在同一直线上时，动点X和定点A的距离AX最长或最短。

分析：由于命题的结论特殊（三点共线时，AX最长或最短），可在⊙O上任取一点Q（具有一般性），当X、A在O的两侧时，连AQ、XQ、OQ，则易证AX>AQ，即AX最大；当X、A在O的同侧时，如图所示，同样易证AX′

例4 如图4，求证：过圆内一定点的所有弦中，与定点和圆心连线垂直的弦最短。

已知，P是⊙O内一定点，弦AB过P且AB⊥OP。求证：AB在过定点P的所有弦中最短。

分析：欲证AB最短，可过P任做一条弦CD（具有一般性），设CD与圆心的距离为OQ，连OA、OD，则在RtOPQ中，OQ

上述可见，弄清具有特殊性与一般性的概念、性质、定理等，对解题很有益处。将用特殊证明一般或用一般证明特殊的思想方法贯穿教学之中，对培养和提高学生的逻辑思维能力有极为重要的意义，在数学教学中应予以充分重视。

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