美的数学

摘 要：数学是理性思维和想象的结合，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。古希腊数学家普洛克拉斯曾说过：“哪里有数，哪里就有美。”然而世俗的概念，往往认为数学是艰苦的、枯燥乏味的，与美学无缘。本文从数学的方法、特点以及数学内容本身主要阐述数学的简洁美、和谐美、对称美、统一美以及奇异美等。

关键词：数学；数学美；简洁美；和谐美；统一美；奇异美

一、 引言

爱美之心，人皆有之。人们执着的追求美，然而，一提到美，人们立即想到的是“江山如此多嬌”的自然美，或是优美的图画、动听的乐曲、美妙的诗文等各种各样的美。然而，数学里面，其实有着比诗画更美的美。

二、 数学的简洁美

汉语的语言要求言简意赅；简洁也是艺术设计的基本要求之一，建筑物的外装一般强调简洁的线条；标志线设计业强调笔法的简洁；微标、图案等皆如此；国画艺术尤其显示了这一点。同样，数学作为逻辑性很强的学科，更以简洁著称；数学的简洁美，并不是指数学内容本身简单，而是指数学的表达形式、证明方法、理论体系的结构、数学语言及符号的简洁。

欧拉公式：V-E+F=2，可以称为简洁美的极致。然而世间究竟有多少多面体？这个没有人知道。但多面体的顶点数V、棱数E、面数F，都必须服从这一公式，这一简洁而形象的表达，概括出了几乎所有多面体都满足的特性，这足以令人为之惊奇！

再如：三角形，尽管它有千姿百态，但人们却用s=12ah（a为底边长，h为该边上的高）或s=p（p-a）（p-b）（p-c）（p为三角形半周长）去囊括所有三角形的面积。

勾股定理：a2+b2=c2。其中a、b代表直角边，c代表斜边。

正弦定理：△ABC的外接圆半径R，则asinA=bsinB=csinC=2R。

还有许多复杂繁琐的知识用简洁的数学式子表示，如：国内生产总值=消费支出+投资支出+政府购买+净出口计算公式：GDP=C+I+G+（X-M），以及爱因斯坦的质能方程E=mc2和莱布尼兹用∫f（x）dx表达了积分概念的丰富思想。

数学的这种简洁美，用几个定理、几个式子是不足以说清的，数学中每一次进步都使已有的定理更简洁。数学中绝大部分公式都体现了其形式的简单，但又富有深刻的内容，伟大的数学家希而伯特说：数学的进步离不开其拥有的简洁但又意义巨大的式子、方法。

三、 数学的和谐美

美是和谐的。和谐性也是数学美的特征之一，和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性。德裔美籍作家、学者和哲学教授保罗·卡卢斯曾经说过：“没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性。”数论大师赛尔伯格曾经也说过，他对数学的喜爱的动机之一是因为下面这个极其美妙的公式：

π4=1-13+15-17+…。

这个公式实在太美了，将奇数1、3、5、…进行前面的组合后就可以得到π，这对一个痴迷于数学的人来讲，就好比饥饿的人面对一桌丰盛的美食。

数学的和谐在于它能为自然界的和谐、生命现象的和谐、人自身的和谐找到最佳的论证。

欧拉公式：eiθ=cosθ+isinθ，曾获得“最美的数学定理”称号。当θ=π时得到eiπ+1=0。

这个看似极其简单的数学式子竟然神奇地把数学海洋里的五颗看上去没有任何关联的明珠如此巧妙并且简单地就联系在了一起，令人赞叹不已！其中，1和0都来自算数，0被誉为具有比一切数丰富的内容；i是复数中的虚数单位，来自代数，圆周率π来自几何，自然对数中的底数e来自高等数学中的微积分，π和e既是无理数又是超越数，这一公式神奇地将他们联系在了一起，无一不体现数学其完美的和谐性。

著名天文学家开普勒曾说过：“几何学里有两个宝库，一个是毕达哥拉斯定理，一个是黄金分割，前者可以比作金矿，后者可以比作珍贵的砖石矿。”黄金分割充分地体现了自然界的和谐、生命现象的和谐、人自身的和谐。

毕达哥拉斯说过：凡是美的东西都具有一个共同特征，这就是各版块与版块彼此之间，以及版块与整体之间固有的协调一致。由这些协调一致而产生的和谐美，在数学的海洋里都得到了体现。然而在数学的不断发展中，原本毫无联系的各分支中突然出现了桥梁，这些桥梁将他们紧紧地联系在了一起，这时人们就会忽然意识到这是如此的美妙，给人一种出乎意料，但又无比神奇的美的享受，更领略到数学中的和谐美。

四、 数学的对称美

对称这一概念来自数学（更确切地讲是欧几里得几何）。对称在天文学（甚至自然界）上的研究，则始于两千多年前的古希腊人。他们非常留意各种各样的“对称”现象，以至他们竞创立了一种学说，他们认为世界中各种各样的规律都是从对称中得来的，他们认为最对称的物体就是圆，于是他们把天文学中的各种恒星的运行轨迹画成了圆，后来圆上再加上圆，这样一来就发展成了后来著名的天文学。对称是最能给人以美感的一种形式，德国数学家和物理学家魏尔曾指出：“美和对称性紧密相连。”对称性是数学美的基本特征之一，数学发现中的对称美，以及数学研究中对于对称美的追求和考虑，在数学的历史发展中具有重要的地位。

几何对称，有平面上的轴对称、中心对称，空间中的镜面对称等等。平移和旋转也都可以看作是两次对称的积。例如：偶函数的图象关于y轴成轴对称图形、奇函数的图像关于原点成中心对称图形、函数f（x）图象和它的反函数y=f-1（x）的图象关于只想y=x对称，这些都给人以赏心悦目之感。

代数对称，无论是在初等代数中，还是在高等代数中，都有丰富的内容。例如共轭根式、共轭复数、对称矩阵等，都渗透着对称的思想。

对称还表现在许多公式和运算中。

梯形的面积公式：s=（a+b）×h÷2，

等差数列的前n项和公式：sn=（a1+an）n2，其中a是上底边长，b是下底边长，其中a1是首项，an是第n项，这两个等式中，a与a1是对称的，b与an是对称的，h与n是对称的。

对称美有各种各样的形式，所以各种各样的人们都能欣赏到它，人们对于对称美的追求是淳朴的。正如我们大家所喜爱的对数螺线、雪花，如果知道了其中一部分，我们就可以推断出全部。魏尔说：“对称性，无论从广义还是狭义的角度去理解定义它的含义，总是一种历经多少个世纪以来，人们力图用以领悟和创造秩序的一种美和完善性的观念。”迄今为止，对称性这种数学美，早已超越现代数学而渗透到各门自然科学之中，并且越来越多地获得更为丰富的成果。

五、 数学的统一美

统一美反映的是审美对象在形式或内容上的某种共同性、关联性或一致性，它能给人一种整体和谐的美感。数学对象的统一性通常表现为数学概念、规律、方法的统一，数学理论的统一，数学和其他科学的统一。

所谓统一美，是指部分与部分、部分与整体之间的和谐一致。数学中有好多数学体现统一的例子。例如，引入负数，自从引入相反数的概念后，使得有理数的加减法得到了统一，并且我们统一成代数和的形式。从有了倒数的概念后，除以一个不等于0的数就等于乘以它的倒数，这样乘法和除法就得到了很好的统一。例如平面几何中的相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理均可统一到圆幂定理之中。在体积计算冲有所谓的“万能计算公式”，它能统一地应用于棱（圆）柱、棱（圆）锥及棱（圆）台的体积计算。

一切客观事物是相互联系的。因为，作为反映客观事物的数学概念。数学定理、数学公式、数学法则也是互相联系的，在一定的条件下可以处于一个统一体之中。例如运算、变换、函数分别是代数、几何、分析这三个数学分支的重要概念，在集合论建立以后，便可以统一于映射的概念。

数的概念从自然数到分数，负数到无理数，逐步扩大到后来的复数，这期间经历了不计其数的坎坷，才使得数的范围得到不断的扩大，使其在数学和其他各学科中的作用也得到不断地增大。那么，人们就很自然地联想了能否把如今的复数再进一步地推广。

英国著名的数学家哈密顿经过15年的思索，也没能获得最后的成功。于是，他不得不妥协，终于发现了四元数，即形为a+bi+cj+dk，其中a，b，c，d为任意实数，i，j，k起着i在复数中的作用。若c，d为0，则四元数a+bi+cj+dk是一般的复数。实数部分称为四元数的数量部分，而其余是向量部分。向量部分的三个系数是点p的笛卡尔直角坐标，而i，j，k是定性的单元，几何上其方向是沿着三根坐标轴。

四元数的出现使得线性代数得到了很好的发展，英国著名的物理学、数学家麦克斯韦利用四元数及其相关的理论建立起了“电磁理论的工具和更简单的方法”。

爱因斯坦也一直追求于建立起宇宙统一的理论，他用简洁的数学表达式E=mC2揭示了自然界中质能关系，这不得不说是一件具有相当完美的统一的、优美的艺术品，但是他始终没能将其统一。如今人们在不断地探索着充满着神奇色彩的世界，同时又在不断地用统一的观点去认识世界，然而宇宙是没有尽头，所以统一美也需要我们不断的追求和探索。

六、 数学的奇异美

大千世界无奇不有，而奇异性也是数学美学的一个重要特征，它给数学发展带来了新的动力，数学中的奇异是吸引许多人喜欢数学的原因之一，奇异有时与稀罕联系在一起，人们也因此而特别愿意考察它，了解它，研究它，欣赏它。奇异性往往给人们一种奇特而新颖的感觉，就数学中的奇异美而言，颇有一点“出乎意料”和“令人震惊”的意味，正如一位评论家所说：“凡是新而不平常的东西，都能在人们的想象中诱发出一种乐趣，因为这种东西都能给人们在心灵的深处感受到一种愉快的惊奇，以及一种好奇心的满足，以至于产生一种过去从未有过的新的观念。”而数学领域的这些观念的产生，就来自于数学家们对于数学领域中之奇异美的追求和渴望。所以美和奇异紧密相连，并且数学中充满着奇巧的符号、公式、算式、图形和方法。

全世界有很大影响的两份杂志曾联合邀请全世界的数学家们评选“近50年来的最佳数学的问题”，其中有这样一道很有趣的问题：有哪些形如abbc的分数，通过不正常地将b约掉后得到ac，并且结果却是正确的？

经过思考，可以寻找到四个如下的分数：1664，2665，1995，4998。这几个计算，在运算错误的情况下却能得到正确的结果，在歪打正着的同时也给人以惊喜，同时也展现出了一种神奇之美。

同样我们也可以找到下面几个式子：

25×92=2529 25×2531=252531 112×913=112913

还有一个典型例子：有一天法国数学家蒲丰邀请许多宾朋来家做了一个奇特的实验。他事先在白纸上画好了一条条有等距离的平行线，将纸铺在桌上，又拿出一些质量匀称长度为平行线间距离之半的小针，请客人把针一根根随便扔到纸上，蒲丰则在一旁计数，结果共投2212次，其中与任意平行线相交的有704次，蒲丰又做了一简单的除法，然后他宣布这就是圆周率的近似值，还说投的次数越多越精确。

1777年蒲丰提出：只需计算针与任意投向间距离为a的平行线束的相交概率，就可以得到圆周率π的数值，其关系式为，π=2la·1p=2lNan。其中l（l

七、 结束语

综上所述，本文从五个方面阐述了数学中的美学，然而数学美学并不仅限与此，还有许多方面有待于我们去概括和总结，探索和挖掘，数学研究中的美学考虑，对于我们选择正确的研究方向能起到积极的作用，因为美感能预示“将来的研究是否富有成果”。从各个数学分支的展开到整个数学历史的发展就像一个精彩的故事那样，显得波澜起伏和扣人心弦，即在情理之中，又在意料之外处处显现出数学美学，数学家们追求各种各样的数学美，并在这种追求中不断地激发出创造的热情和冲动，直至无法摆脱而达到升华的境地，而累累的丰硕成果，也就在這个升华的境界中，不断地为数学美的追求者所具有。

参考文献：

[1]王庚.数学文化与数学教育[M].科学出版社，2004.

[2]赵振威.数学发现导论[M].安徽教育出版社，1993.

作者简介：

李秋岑，四川省成都市，成都七中嘉祥外国语学校高2019级6班。

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