《高等代数》教学研究与探讨

摘要： 本文阐述了《高等代数》课程的主要特点，针对该课程的特点提出了加强课程教学的建议及设想。

关键词： 具体与抽象 特殊与一般 代数结构 素质

1.《高等代数》课程的主要特点

《高等代数》作为高等院校数学与应用数学、信息与计算科学等专业的基础课，它所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法，以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能都是非常有用的。

不仅如此，该学科奇峰突起，更好地体现了辩证思维的基本方法及思想，几对矛盾在这门学科中的体现更为尖锐突出。

1.1 具体与抽象。根据辩证思维中具体与抽象的基本思想，《高等代数》运用所谓公理化的研究方法，把数学对象归类，从不同质的具体事物或过程中抽取共同的量的关系，作为最基本的公理、性质（定义）。再从基本的公理、性质出发，采用统一的观点与方法，进行演绎推理等等，揭示和研究其新的性质。如向量空间和代数运算这两个概念，就是从大量的具体的实例中抽象出来的。

1.2 特殊与一般。根据辩证思维的基本方法，就我们研究问题来说，或者说就我们的认识来看，总是由认识个别和特殊的事物，逐步地扩大到认识一般的事物。在《高等代数》中，如二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面的方程为标准形的问题。在二次型的研究方法中，就体现了解析几何中二次曲线、二次曲面化标准形的一些直观的思想，并将它移植到更一般的n维抽象空间上去。再如考察了二、三阶行列式的结构规律后，提出一般的n阶行列式的定义，等等。

1.3 有限与无限。由辩证法的原理，要真正把握空间、时间的无限性，不能只靠经验事实，必须运用辩证思维方法，从有限的空间、时间中，去发现和掌握空间、时间的无限性．在《高等代数》中，只有掌握了有限集，才能认识和理解无限集；只有掌握了有限维向量空间，才能更好地认识和把握无限维向量空间；有限群与无限群也如此，等等。

1.4 计算与论证。这对矛盾体现了辩证思维基本方法中的分析与综合。在《高等代数》中，如比较分析、结构分析、分类分析、归纳分析、降阶思想等。计算是按一定公式、法则（定义）机械地进行的，学生容易学会。但其计算方法之好坏，具有很强的技巧性。如行列式求值、矩阵的初等变换等，法则虽然只有几条，运用之妙，却存乎一心。探索一个论证要不断地进行分析综合，学生常感头痛，容易出错。《高等代数》中大量需要论证，而且要用刚学过的比较抽象的概念和性质。如线性相关与线性无关，定义并不复杂，若不进行分析综合，就难以掌握和运用。

1.5 局整关系。即局部与整体的关系。在《高等代数》中，如子集（或元素）与集合的关系，子代数系与代数系的关系，子空间与向量空间的关系，子群与群的关系，等等。

综上所述，《高等代数》课程除具有高等数学的共性之外，其“个性”比较鲜明。因此，该课程有利于培养抽象思维、逻辑推理及运算能力，有利于训练抽象的、严格的代数方法，有助于认识和理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系。

2.针对《高等代数》的特点，加强课程教学的建议

2.1 重视教材体系，掌握全局和局部的关系。《高等代数》现行教材在体系上安排不尽相同，但万变不离其宗，不管是按哪个体系去归纳问题、安排内容，就线性代数部分来说始终是围绕两条主线（好比铁路的两条钢轨）去解决问题的。一条是向量空间及其上的线性变换的概念和理论，另一条是矩阵的理论。而这两方面之间有一个联系的桥梁，这个桥梁就是“基”。在选定一个基后，线性变换和矩阵之间就建立了一一对应的关系。这样就把两者之间的研究统一起来了，它们之间相辅相成。

线性代数部分是在向量空间中研究线性变换，向量空间就是一个最基本的概念，而线性变换则是向量空间中元素间的一种最基本的联系。线性变换的数量表示是矩阵，从而矩阵是线性代数中最重要的部分。行列式是研究线性方程组的工具之一，而线性方程组是线性代数研究对象的具体模型。抓住了这些，整个线索就更清楚而具体了，从而局部和全局的关系就更容易理解和掌握了。

因此，教学中应当先把教材体系搞清楚，注意教材体系安排中所体现的知识的发展与知识的由浅入深，循序渐进，采取适合的教学途径，让学生透过现象，抓住实质性的联系，以创造的精神来进行学习。

2.2 攻克“抽象化”，培养人的毅力及严格的科学态度，训练严谨的抽象思维。凡概念均经过抽象，只是程度不同而已。在教学中，对付的办法首先是具体化。如向量空间与线性变换这两个概念，教材中已有大量例子，自己再想一些实例，认识就更深入了。很多概念都具有其具体的几何背景（有不少是从二、三维空间中“借来”的），这就给人以驰骋想象和“按图索骥”的机会。

其次，概念都有严格的定义，要弄清概念，关键在于吃透对定义的确切的叙述。一个概念，经常是形似质不同。如行列式与矩阵，外形差不多，但有本质区别。要掌握一个概念，还必须弄清它的反面应怎样叙述和理解，如线性相关与线性无关，只知一面并非真知。

最后，检验是否正确掌握概念的标准是应用。即用抽象过的概念和理论来解决具体问题，哪怕是很简单的问题。如零向量单独构成向量空间吗？缺了零向量能形成向量空间吗？等等。懂得应用，善于应用，与学好《高等代数》理论是互相促进的。

一般的教材，常常是从具体到抽象来安排的，对抽象的概念又常给予比较具体的表现形式。如借助基底、坐标来表示向量，用矩阵表示线性变换等等。

在教学中，如能很好地处理上述关系，既能增长知识和方法，又能培养坚韧的毅力和严格的科学态度，更能锻炼人的抽象思维，提高人的数学素质。

2.3 占领“一般性”，提高人的逻辑思维及演绎推理能力。由特殊到一般，是认识的普遍规律，数学中由特殊到一般的发展，是人类对不同领域的数和形的认识的深化和发展，仍然是现实的数量关系与空间形式的反映。如n维向量，是为了描述具有n个自由度的物理系统的状态而引入的。

《高等代数》中的由特殊到一般，对概念来说，是由若干特殊情况，通过不完全归纳法而得出一般性定义的。对法则、公式、定理来说，则用完全归纳法得到证明。如范得蒙行列式的计算等。

《高等代数》中的由一般到特殊，对概念来说，是增加限制条件，如由矩阵到方阵。对法则、公式、定理来说，则用演绎推理而得到。这些做法应使学生心领神会。

一般性，也即共性、整体性。如矩阵比行列式用途广泛，因为它是从一般线性方程组引出的。有了矩阵，对问题的论述更简明，更容易揭露问题的本质与整体。如基础解系，是全部解的核心，抓住它就可掌握全部解。因此，一般性具有重要的地位。

由特殊到一般，是一种推广、拓广。如n维欧氏空间，关键在于定义了内积，从而具有度量性质，而不在于维数高而已。又如n维向量空间的结构，是n元齐次线性方程组解的结构的推广。

一般性寓于特殊性乏中，对于一般性的讨论和结论，都适用于特殊情形。如复数域C、实数域R、有理数域Q被称为特殊数域，是相对于一般数域Ｆ而言的。而对于一元多项式环F［Ｘ］所作的讨论和有关结论，都适用于C_［Ｘ］、R_［Ｘ］、Q_［Ｘ］。

总之，在教学中，如果能更好地体现特殊与一般，着眼于实质，就有利于提高逻辑思维及演绎推理能力，有益于培养人的归纳方法及技巧。

3.加强代数结构思想的教学，培养人的数学素质

在今天的数学中，布尔巴基学派认为抽象集合上的基本结构有三种，即序结构、代数结构、拓扑结构，统称为“母结构”。每一特殊结构自然地依附于某一集合E，这个集合起着对应结构理论中个体元素域的作用。

从集合论和公理化方法出发，布尔巴基学派用新的“结构”思想丰富了数学科学，使“结构”本身成为数学研究的对象，为数学领域向更高水平的抽象和概括提供了有利条件。代数结构是从四则运算中抽象概括出来的。所谓代数结构，就是集合E上定义若干个运算，一个n元运算相当于在Ｅⁿ⁺¹=ExEx…xE(共n+1个E)上给出一个子集Ｍ，满足

（1）x_i∈E(i≤n)，x_n+1∈E，使（x₁，x₂，x₃…x_n+1）∈M。即E中任意n个元素经过该运算后，其结果仍是E中的一个元素。

（2）若（x₁，x₂，…x_n，x_n+1）∈M，(x₁，x₂，…x_n， ) ∈M，则有x 。即E中任意n个元素经该运算后，其结果是唯一的。

上述的运算称为集合Ｅ的 “内运算”。如《高等代数》中的群、环、域等概念，就是具有这种“内运算”的代数结构。

设Ｓ为另一个集合，与“内运算”相仿，可在Ｓ和Ｅ之间定义一个“外运算”，用“o”表示。即对于任何a∈S，任何x∈E，存在唯一的y∈E，使aox=y。“外运算”是向量的数乘运算的推广，在定义抽象的向量空间时，就必须引入这种“外运算”。

在任何一个母结构中加进一条或几条补充公理，就得到一些新的结构，它们称为子结构。在《高等代数》中，子代数、子空间的地位显得更为重要。

在教学中，必须加强训练代数结构思想，培养人的数学素质。

4.《高等代数》教学中要注重于人的素质的提高，树立正确的世界观

人的素质表现在许多方面，如知识、能力、思想、习惯、观念、意志、兴趣、爱好等都是素质的组成部分。人的素质的提高，可以表现在不同的方面，数学教育在提高人的素质方面的作用，必须通过数学教学活动来进行，在教学过程中循序渐进地实现数学教育的功能。

单纯学习数学知识和运用这些知识于实际之中，只能从最低层次上体现出数学教学的价值；发展人的数学能力，从较高层次上体现了数学教学对人的素质的提高；发展人的精神品格，则从最高层次上体现了数学教学对人的素质的提高的巨大功能。为了促进人的精神品格的发展，数学教学就应该促使人的世界观和方法论的转变，促使人的思维方式与观念的变化。

从数学的整体结构上来认识数学，这就要求我们进一步重视数学观念的教学。数学观念本身就是世界观、方法论的组成因素，数学观念对于数学思维活动具有重大影响，它是联系知识与能力，实现从知识向能力转化的中介。因此，数学教学中应该体现出数学观念的培养，从而逐步帮助学生树立正确的世界观与方法论。

总之，《高等代数》的教学，应该从上述诸方面着手，着眼于人的素质的提高，并且结合学校的培养目标，体现出数学教育的功能。

参考文献：

［1］北京大学数学系.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，1997.

［2］张禾瑞，郝炳新.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，1999.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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