数学思想方法在生活中的应用

摘要：数学思想方法是数学思想与数学方法的合称，数学思想与方法之间既有区别又有联系，它在日常生活中无处不在，在此主要列举一些常见的数学思想方法，以及这些数学思想方法在现实生活中的实际应用。

关键词：数学思想；数学方法；实际应用

中图分类号 O13-4；G642

引言

常常有人觉得学数学知识是无用的，日常生活所需要用的单纯的数学知识虽然有，但和汉语语言比起来少之又少，其实那是他不知道数学学习的核心是什么？数学学习就是学习数学的思想和方法，就像近代数学教学的专家米山国藏老师所说的，纵然有一天，我们把数学知识忘记了，但数学的精神、思想、方法将会铭刻在我们的头脑里，长久的活跃在我们现在和未来的日常生活之中。

数学是一门基础学科，留心一下，你会发现它之所以是“基础”，是因为它在我们的生活中随处可见，大到天文地理，小到市场买菜。尤其是一些数学思想方法的应用，如分类讨论思想、数形结合思想等等。

数学思想是指从某些具体的数学认识过程中提升的正确观点，在后继认识活动中被反复应用和证实，带有普遍意义和相对稳定的特征。也就是说，数学思想是对数学概念、方法和理论的本质认识。数学方法是处理数学问题过程中所采用的各种手段、途径和方式。因此数学思想不同于数学方法。尽管人们常把数学思想与数学方法合为一体，称之为“数学思想方法”，这不过是二者关系密切，有时不易区分开来。事实上，方法是实现思想的手段，任何方法的实施，无不体现某种或多种数学思想；而数学思想往往是通过数学方法的实施才得以体现。严格说来，思想是理论性的；方法是实践性的，是理论用于实践的中介，方法要以思想为依据，在思想理论的指导下实施。数学思想和数学方法既有区别又有密切联系，一般说来，讲数学思想方法时若强调的是指导思想，则指数学思想；强调的是操作过程，则指数学方法；当二者得兼、难于区分时就不作区分，统称为“数学思想方法”。实际上，通常谈及思想时也蕴含着相应的方法，谈及方法时也同时指对该方法起指导作用的思想。数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁.本文主要列举一些常见的数学思想方法：转换思想；分类讨论思想；数形结合思想；类比思想，并讨论这些数学思想方法在现实生活中的实际应用。

一、转换思想

转换思想又称转化或化归思想，是一种把待解决的或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求的原问题解答的数学思想。也是

反映数学技巧与手段的十分重要的、得到普遍运用的数学思想。

阿普顿是美国普林斯顿大学数学系毕业的高材生，对没有大学文凭的爱迪生有点瞧不起。有一次，爱迪生让他测算一只梨形灯泡的容积。他拿起灯泡，测出了它的直径高度，然后加以计算。但是灯泡不具有规则形状：它像球形，又不像球形；像圆柱体，又不像圆柱体。计算很复杂。即使是近似处理也很繁琐。他画了草图，在好几张白纸上写满了密密麻麻的数据算式，也没有算出来。爱迪生等了很长时间，也不见阿普顿报告结果。他走过来一看，便忍不住笑出了声，“你还是换种方法吧！”只见爱迪生取来一杯水，轻轻地往阿普顿刚才反复测算的灯泡里倒满了水，然后把水倒进量筒，几秒种就测出了水的体积，当然也就算出了灯泡的容积。这时羞红了脸的阿普顿傻呆呆地站在一旁，恨不得找条地缝钻下去。这个故事中爱迪生将灯泡的体积转化成水的体积，正是用到了转化思想。

再如，一个人考试不好伤心，我们要让他开心起来。问题首先转换成让他的学习成绩提高，再转换成改变他的学习方法。这样问题就逐一解决了。通过影子测量大树高度，我国古代曹冲称象的故事，都是转化思想的一个体现。

匈牙利著名数学家路莎.彼得曾经说过这样一句话：“数学家们往往不是对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直到把它转变成能够得到解决的问题。”转化思想的重要性由此可见。所以只要我们用心观察，善于思考，不仅能灵活的运用转化思想解决有关的实际问题，说不定还能有伟大的发现。

二、分类讨论思想

由于研究对象不同，影响了研究问题的结果，从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况，从而对不同情况进行分类研究的思想，我们称之为分类讨论思想。分类讨论思想是指在解决一个问题时，无法用同一种方法去解决，而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题——加以解决，从而使问题得到解决。

分类讨论思想在生活中经常用到，比如，在工作中，假设你所在的公司本月销售业绩下降，怎样改变这种现状，用分类讨论的方法，将公司经营的各个部门环节分解（生产、销售、售后、成本、销售价格、费用等等），再逐个讨论，找出问题的根本后加以解决。 生活中，比如你跟家人闹了点矛盾，你可以分解为（观念、角度、主客观思想、事件原因等等很多），然后去慢慢化解。

分类讨论是解决一个比较复杂或者带有不确定性的问题的方法，这时需要把问题划分为几种可能性，然后针对每一种出现的可能性给出不同的解答。一个常见的问题“一张桌子砍掉一个角后还有几个角？”这个问题的答案可以很多，因为问题描述的不清楚。要解决这个问题，我们先要假设一下，这个桌子是圆形的还是方形的或者是五边形的，那你就可以分情况讨论了，情况一：圆形的；情况二：多边形的；情况三：不确定形状的；然后针对每一种情况给出解答。假设这个桌子是第二种情况，我们还要讨论“砍掉一个角”究竟是如何砍的，砍法不同，留下的桌子的角数也不同，比如，正方形的桌子，砍掉一个角就有可能出现三个角，四个角，五个角三种可能性。考虑问题要全面，针对不同的情况给出不同的解决方法，这里用到了分类讨论。

当我们所研究的各种对象之间过于复杂或涉及范围比较广泛时，我们大多采取分类讨论的方法进行解决，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解。分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决，以增加题设条件。分类讨论的原则是不重复、不遗漏。讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，以使解题步骤完整。分类讨论一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养。

三、数形结合思想

数形结合是指将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，实现抽象概念形象化。同时，通过对图形的认识、数形转化，提高思维的灵活性、形象性、直观性，使问题化难为易、化抽象为具体。它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，可根据解决问题的需要，把数量关系的问题转化为图形性质问题进行讨论，或者把图形性质的问题转化为数量关系问题来研究。

随着数学科学的发展，数形结合思想在人类的日常生活中有着非常广泛的应用，由于我们能够对几何形体进行度量，所以数形结合思想一个经常、且直接的用途在于家具设计。各种材料如何选取、搭配、组合在一起使用才更合理，各种线性材料的购置的量，可通过测量其长度来决定，借助它我们可以衡量和把握家具的外观形式，从而达到；房子装修中，各种表面，如地面、墙面的装饰材料，要测量计算面积确定用料多少；各种容器的制作，不论其形状如何，都要通过计算其体积来了解容器能装多少东西。再如做蛋糕的厨师要估量各种形状的蛋糕中每种配料的适当体积，这样才能保证所制的产品既不使材料不够用，又恰好做出所需成品物理学、化学、建筑学、矿物学等领域，经常要计算各种物体的质量，在计算质量时必须先计算其体积的大小。都要用到数形结合的思想。

举世闻名的完美建筑古希腊帕提依神庙，建筑师们发现由于高和宽的比是0.618，按照这样的比例进行建筑设计，建筑物会更加壮观舒适。古希腊维纳斯女塑像故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。音乐家发现，二胡演奏中，“千金”分弦的比符合0.618∶1时，演奏出的音调更为和谐和悦耳。甚至生活中写字台的桌面、墙上的挂历、信封、舞台报幕员站立的位置等为了达到最佳效果都取黄金分割比，这也是数形结合思想的重要体现。

运用数形结合思想解决实际问题可以使问题变得更加简洁明了，同时大大拓展了我们的解题思路，而且还能体现数学之美。

四、类比思想

类比法就是根据两种不同的数学对象之间在某方面的相似或相同，从而推出它们在其它方面也可能相似或相同的推理方法。它是以比较为基础的一种从特殊到一般的推理方法。这是一种或然性推理，其结论是否正确还需要经过严格的证明；这种推理和归纳一样，属于合情推理。

类比法在导游员对游客介绍眼前景物时用的较多，如：导游员在实际讲解中，针对不同国家的游客，可将北京的王府井大街比作日本东京的银座、美国纽约的第五大街、法国巴黎的香榭丽舍大街；把上海的城隍庙比作日本东京的浅草；参观苏州时，可将其比作“东方威尼斯”（马可波罗将苏州称为“东方威尼斯”）；讲到梁山伯与祝英台或《白蛇传》中的许仙和白娘子的故事时，可将其比作中国的罗密欧与朱丽叶。再如：介绍说故宫建成于明永乐十八年，外国游客听了效果不会好，因为一般不会有几个外国游客知道这究竟是哪一年。 但是若介绍说在哥伦布发现新大陆前 72年，莎士比亚诞生前144年，中国人就建成了面前的宏伟建筑群。这种类比介绍不仅便于外国游客记住故宫的修建年代，留下深刻印象，还会使外国游客产生中国人了不起、中华文明历史悠久的感觉。

类比法就是以熟喻生，达到类比旁通的手法。导游员用游客熟悉的事物与眼前的景物相比较，定会使游客感到亲切和便于理解，达到事半功倍的效果。使用类比法，切忌作不相宜的比较，否则会惹游客耻笑。

又比如我们在给初中学生讲解有关正午太阳高度和日影的朝向问题，学生就很难理解，如果将太阳比作成路灯，就达到了一定的简单化作用，离路灯近看灯角度就大，影子就短，人影在灯光的反方向，再参照太阳直射点运动的规律，学生理解这个问题就不是那么难了。

利用类比推理与联想，可开阔思路，启迪思维，起到由此及彼、触类旁通的作用。如果能从生产实践中挖掘出特定的生活经验，在数学课中引入类比数学思想方法，那么学生会因为感性知识的丰富而促进对数学思想方法的理解，从而大大降低学习难度，增强学生学习数学的积极性。

五、结束语

在我们解决日常生活、学习、工作中的各种实际问题的过程，体现了应用数学知识解决问题的基本策略。它不仅包括数、式的运算，还包括推理、分析、判断、选择、估算、统计、绘制图表、数据分析、及空间与图形、优化方案等诸多方面。如设计活动方案过程中考虑的乘车路线的选择、时间安排、人员分配、资金运用等，都蕴涵着丰富的数学思想和方法，这些都离不开数学在日常生活中的应用。它在提高人的推理能力、抽象能力、想像能力和创造能力等方面有着独特的作用。数学思想方法又是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言已经成为现代文明的重要组成部分，是我们生活、劳动和学习必不可少的具， 因此，我们在数学教学中也要注意使学生树立正确的数学应用观，教学中，也要把数学思想方法渗透于教学的各个环节之中，生活无处不推理，无处不类比，不猜想，无处不在运用着数学思想，让学生了解并掌握解决实际问题的一般思想方法，形成科学的思维习惯，并具有自觉、主动地应用数学思想方法的意识。（让他们在成长的过程中，形成数学思想方法，产生数学生活能力，能够运用数学的思想方法，数学的能力在这个社会中生存。）

总之，数学思想方法，是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学观点和文化，是数学的精神和态度，它使人思维敏捷，表达清楚，工作有条理；使人善于处世和做事，使人实事求是，锲而不舍，使人得到文化方面的修养更好地理解、领略和创造现代社会的文明。它对人不但具有即时价值，更具有延时价值 ，使人受益终身。

参考文献

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作者简介：张红梅（1979—），女，陕西宝鸡人，安庆师范学院数学与计算科学学院， 讲师，硕士。研究方向：高等数学，偏微分方程数值解。

项目简介：安庆师范学院校青年科研基金项目（批准号：KJ201108），安徽省教育厅教研项目（2012jyxm364）。

The Application of Mathematical Methods In Life

ZHANG Hongmei YU Guidong

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