在探究一次函数性质的过程中体会数学方法
作者:jnscsh 时间:2021-07-10 08:55:58 浏览次数:次
我们已经知道,函数的表示方法有列表法、解析法、图像法.在解决数学问题时,用解析法和图像法表示比较普遍,它们可以从“数”和“形”两方面来揭示函数的性质.课本中,在探究一次函数的性质时,就是从“数”和“形”两方面来得出结论的.那么,在探究一次函数性质的过程中,我们应用了哪些数学方法呢?
请看课本中的内容.如图1所示.
图1像上山越走越高那样,有些一次函数的图像的形态随着自变量的增大而上升;像下山越走越低那样,有些一次函数的图像的形态随着自变量的增大而下降.
首先是从“形”和“数”两个角度观察.从“形”的角度初步感知一次函数的图像的形态各异.“形态”有何特征?“各异”的原因在哪?就是一次函数的图像有些是随着自变量的增大而上升,有些是随着自变量的增大而下降,有的一次函数图像比较“陡”,有的一次函数图像比较“陂”.
其次是举特例.画图、观察图形、分析图形的形状、综合得出一次函数的自变量和因变量的关系.这既要单个地观察分析每个一次函数图像的特征,又要综合在一起归纳它们的共性特征.这里函 数y=2x+4代表一类 一次函数(即从左向右的方向是上升的直线),y=-32x-3代表另一类一次函数(即从左向右的方向是下降的直线).之所以要“从左向右”看,是因为在x轴上(水平放置的x轴),从左向右的值是逐渐增大的.养成这种看图的方向和习惯,对以后的函数知识学习十分重要.
第三是猜想.从左向右看,形如“y=2x+4”的图像是上升的;形如“y=-32x-3”的图像是下降的.“上升”与“下降”的原因在于一次项的系数是正数还是负数.此外,一次函数的常数项对函数图像与y轴的交点是在x轴上方还是在x轴下方有影响.
第四是归纳、概括,得出结论.学生可以和学习小组的同学合作,分别举例、画图、比较,思考上面的观察、分析、综合、猜想是否有道理,能否得出一般性的结论.学生通过小组的交流讨论,得出结论:在一次函数y=kx+b中,如果k>0,那么y随x增大而增大;如果k<0,那么y随x增大而减小.
在上面的分析中,我们可以看出,探究一次函数的性质时,我们使用了画图、观察、分析、综合、猜想、归纳、概括等数学方法.通过这些方法能把一次函数的图像进行适当的整理和排列,用数学语言来表达它的状态、关系和过程,再经过猜想、推理、分析,最后形成解释、判断和预言.所以说,在解决问题的过程中,同一手段、技巧、程序被重复运用了多次,并且都达到了预期的目的,便成为方法.这种研究一次函数图像的性质的方法,就是研究函数图像性质的一般性方法.这些方法是在数学研究与学习中积累起来的宝贵精神财富.
其实研究函数的一种途径是:利用函数图像的直观性认识函数性质.用图像研究函数性质的两个主要步骤:一是观察图像反映的变化规律;二是用文字语言描述变化规律.首先,我们要明确概括的主导思路.我们想要描述的是一次函数图像的特征,其次,在画图、看图的过程中猜想发现,再从发现中归纳猜想得出结论.
总之,在探究一次函数性质时,我们应多多引导学生体会其中的数学方法,并利用这些方法解决相应的数学问题,进而提高分析解决问题的能力.
(责任编辑 黄桂坚)
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