数学工具使用的价值取向及实践智慧

活动不仅是学生获取知识的过程，更是发展数学思维、培养数学素养、促进生命成长的过程。在这一过程中，数学工具是不可或缺的重要媒介。北京市教科院基础教育研究中心范存丽博士认为：工具给予学生的不是一桶水，而是可以取到更多水的水桶，是学生找不到方向时的指南针、找不到位置时的地图。这句话把数学工具的内涵诠释得形象而深刻。直尺、量角器、圆规、百格图、方格纸以及数轴、坐标系等，都是小学数学学习中经常使用的数学工具。这些数学工具的有效使用为小学阶段的数学学习提供了很大的探究空间。

一、审视：小学数学工具使用的价值迷失

随着课程改革的不断深入，教师的教育观念发生了深刻地转变，数学工具的使用也越来越广泛。然而，审视数学工具在实际教学中的使用，不难发现一些数学工具的使用流于形式，偏离了核心价值。

（一）演示代替操作

随着教学技术的迅速发展，教师用教具代替学具，用精美、生动的软件演示代替学生动手操作的现象，在教学中屡见不鲜。学生亲历数学学习的过程被压缩，“看”取代了“做”，间接经验取代了直接经验。

（二）合作越过思考

数学学习中，一些数学现象需要小组或团队的合作交流，才能探索出其中的规律；而有些数学现象通过独立操作工具，就能探索出其中的规律。教学中，许多教师却把合作作为一种时尚，不根据实际教学内容，就加以滥用，在学生没有充分进行独立思考的情况下，直接进行小组合作，致使学生独立探究、思考、解决问题的能力逐步弱化。

（三）辅助变成依赖

数学工具的功能主要是辅助教学，在学生认知的难点处、关键处提供适当的帮助，以降低思维难度，促进数学理解。在学习过程中，多次重复操作数学工具，将导致学生一遇到同类问题就必须使用工具，否则就解决不了问题。这样低效地重复，把工具的辅助功能变成对工具的依赖，使学生的思维很难得到训练。

二、建构：小学数学工具使用的核心价值

数学工具使用的核心价值究竟是什么呢？建构主义理论认为，知識是人们对客观世界的一种解释或假设，而不是对现实的纯粹客观的反映，它将随着人们对事物认知的深入而不断进行变革。因此，聚焦小学数学工具使用的核心价值，应从追溯工具所蕴含的数学本质开始。

（一）追溯工具所蕴含的数学本质

数学学习中，对于工具不应仅仅停留在“会使用”的层面，更要追本溯源，探寻其数学本质。在探寻本质的过程中，真正掌握数学知识，理解数学所特有的解决问题的思想与方法。

如小学阶段经常使用的直尺、量角器，它们的数学本质是多个测量单位的集合；方格纸既是测量单位的集合，同时还隐含了垂直、平行等属性，是培养学生空间观念的重要工具；数轴中隐含了数形结合思想和极限思想等。清楚这些工具的数学本质，对于教师指导学生更有效地运用工具来解决数学问题是极其重要的。

（二）基于数学本质进行意义建构

建构主义理论认为，学习不是被动地接受信息刺激，而是主动地意义建构，是学习者根据已有的经验背景，对外部信息进行主动地选择、加工和处理，从而获得新的意义。学习的过程，就是学生已有经验与新经验相互作用的过程。教师在指导学生使用工具时，应基于工具的数学本质，引导学生对原有的知识基础、认知经验不断进行补充、修改，重新建构更加完善的认知结构。

如强震球老师执教《角的度量》一课，从自制的简易量角器切入，根据不断变化的学习需要，引领学生亲历成品量角器发明创造的过程，从而使学生深刻理解量角器“是180个单位小角的集合” “为什么要做成半圆”“为什么有两圈刻度”等，把“角的度量”学习从传统的技能训练转向深刻的意义建构。这一过程是自主的、有意义的、慢慢生长的，凸显了数学工具本质的教育意蕴。

三、寻绎：小学数学工具使用的实践智慧

（一）从常规到特殊

《曹冲称象》的故事告诉我们，要称大象的体重仅靠一杆常规的秤是不行的，需要用非常规的工具或方法。在学生掌握了常规工具的基本使用方法之后，教师可以适当拓展到非常规工具的使用，以此加深学生对数学工具的深层理解。

如学习了苏教版小学数学二年级上册的“认识厘米”之后，学生掌握了测量线段长度的一般方法，此时，不妨提供没有零刻度的、残缺的直尺，让学生思考如何测量线段长度。这样，学生的思绪就从规定走向选择，从常规走向特殊。

（二）从拿来到创造

目前，学科教学配套材料更新较快，各种工具数量不断增多，做工也越来越精致，为教学带来很大的便利。如圆柱和圆锥的体积公式推导模型，教师拿来即用，省时高效。但有些工具可以进行因地制宜、因时制宜地适当改造，甚至重新创造。

如苏教版小学数学四年级下册“认识射线”一课教学，配套工具是一副挂图，画面是一束束从建筑物射向天空的霓虹灯光束，以此表现射线。而一位教师在教学时，创造性地运用电子教棒进行现场演示：

（教师左手拿电子教棒，右手拿一本数学书，让电子教棒的光束射到数学书上。）

师 这是什么？

生 一条线段。

师 这条线段从哪儿开始，到哪儿结束？

生 从教棒的尖头开始，到数学书的封面结束。

师 非常正确！这就是我们刚刚认识的线段的两个端点。

（教师再把书拿开，让电子教棒的光束射向窗玻璃。）

师 现在这条线段从哪儿开始，到哪儿结束？

生 从教棒的尖头开始，到窗玻璃结束。

（教师又把窗户推开，让电子教棒的光束射向窗外。）

师 那现在这条线又从哪儿开始，到哪儿结束吗？

生 （满脸疑惑）还是从教棒的尖头开始，但不知道在哪儿结束了。

生 （抓耳挠腮）它只有起点，没有终点了。

生 它被无限延长了！

……

如此，射线的显性特征“一个端点”“一端延长”和隐性的无限延长的“极限思想”均在小小的电子教棒的巧妙演绎下成功建构。

（三）从直观操作到合理想象

工具的运用使学生的数学学习更加直观易懂，然而这只是帮助学生学习数学的手段，而不是目的。教师应该帮助学生经历从利用工具进行直观操作逐步过渡到脱离工具进行合理想象，从形象思维慢慢向逻辑思维发展的建构过程。

如苏教版小学数学六年级下册《圆柱与圆锥》中的一道练习：

把下面的三角形（如图1）以AB为轴旋转后得到一个什么形体？它的体积是多少？

学生在解决这个问题时的最大困难是：脱离了直观的实物演示，必须靠想象来理解旋转后的形体是什么样的，同时还要考虑现有的三角形与旋转后得到的形体之间的关系。这时，方格纸就发挥了巨大的作用。如图2所示，借助方格纸的垂直、平行、度量等特质，帮助学生合理想象三角形旋转后形成的圆锥的各部分特征，为问题的解决提供了很大的帮助，同时进一步理解“圆锥实際是一个直角三角形旋转得到的立体图形”，有效沟通了平面图形与立体图形的内在联系，学生的空间能力也得到了有效提升。

（四）从烦琐到简约

数学学习中，解决问题的方法往往要经历从单一到多样化再到优选的过程。引导学生巧妙运用适合的工具，常常使数学学习删繁就简，简约而高效。

如在计算零上温度与零下温度之间的温差时，学生常常会被已有的计算定势误导，将两数的绝对值相减，产生错误。这类问题对于初识负数的五年级学生来说是有一定的思维难度的，仅用枯燥的语言来解释是烦琐而生涩的。但是，如果将温度计上的温差问题与数轴联系起来，利用数轴上点与数的对应关系、数与数之间的等距关系及数轴特有的方向性，呈现出零上温度与零下温度之间的温差算理（如图3），就简单明了，省时高效了。

综上所述，作为学生数学学习的“脚手架”与“助推器”，数学工具发挥了不可替代的作用。而充分运用数学工具本身所具有的数学本质对所学知识进行深层地意义建构，促进学生认知结构和认知能力不断地完善、发展，让学生的数学品质慢慢生长，恰是数学教育的智慧所在。

参考文献：

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