让灵动的课堂折射出数学美

数学教育的目的之一,就是让学生获得数学审美能力,从而激发他们对数学的兴趣和爱好,增强他们的创造发明能力。下面我就教师应如何将数学美带进课堂中,谈谈自己的感悟。

教学片段:

【片段一】我在讲解有理数的分类时是这样设计的:运用多媒体课件,用一根主干表示有理数,它的两大分枝分别表示整数与分数,其中整数有三个分枝:正整数、零、负整数;分数有两大分枝:正分数与负分数;树叶就是众多的有理数。

说明:我运用多媒体,巧妙地设计了“有理数树”,这个比喻形象生动,胜过千言万语,给学生留下的印象是非常深刻的,让学生感受到数学的奇和美。

【片段二】这是设计“黄金分割”内容的第一节课的开端设计。创设下列问题情景引入新课:为什么许多国家都喜欢在国旗上设计五角星的图案?

说明:从学生身边的素材着手创设情景,让学生真真切切地感受到数学的应用之美(因为由黄金分割画出的正五角星形有庄严雄伟之美)。在美的感受之中激发学生的学习兴趣,引入课题。

【片段三】在教“基本的平面图形”时,让学生利用所学习的基本平面图形的知识绘制一幅画,很多学生得到了美丽的图形。

我国数学家徐利治认为:“数学教学的目的之一是使学生获得对数学的审美能力,即能增进学生对数学美的主观感受能力。”数学教师应感受并体会到这种美,并通过教学用这种感受去影响和感染学生,让学生体会到数学学习中的美。经过几年的教学研究与实践,我认为利用感受数学美来激发学生学习数学的兴趣是一种行之有效的方法。下面我就数学美的内涵,数学美的特征,以及如何在数学课堂教学之中渗透数学美谈谈自己的见解。

一、数学美的内涵

马克思说过:人类的社会生产活动是按照“美学原则”进行的,当然作为精神生产物的数学知识也是符合美学原则的。数学具有文学和艺术所共有的特点,即数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美,这就是所谓的数学美。具体说来,数学美的本质就是数学关系结构系统与作为审美主体的人的意向的融合。也就是说,数学的内在结构、方法和人的意向共存、斗争之后,必然融合为一个新的范畴,这个新的范畴,就是数学美。由于人是以带有某种强烈思想意识色彩的意向来与数学建立联系的,因此,这种联系必然与一定的数学思想观念相联系,必然是宜人的,具有美学意义的。所以,数学关系结构系统与意向的融合就是数学美的本质。

早在公元前3500年左右,古埃及人民便在多年的实践中积累了丰富的天文知识和数学知识,金字塔更成为了人类文明的象征。随着科学发展的进步,人们对数学美的认识和利用更加深入和广泛,数学美已经渗透到人类生产和生活的各个方面。应用极值原理,“蜂房”式建筑被设计和建造出来;应用黄金分割原理,人们在生产中推广和使用“0.618优选法”,就连独唱演员也知道站在舞台前的黄金分割点时,演出才会有最佳的视觉效果。

我国著名数学家徐利治教授从另一个角度这样阐述数学美,他说:“作为科学语言的数学,具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点,即所谓数学在其内容结构和方法上也都具有自身的某种美,即所谓数学美,数学美的含义是丰富的,如数学概念的简单性、统一性,结构系统的协调性、对称性、数学例题和数学模型的概括性、典型性和普遍性,还有数学中的奇异性等都是数学美的具体内容。”

数学美不同于其他的美,这种美是独特的、内在的。正如英国著名哲学家、数理逻辑学家罗素所说:“数学,如果正确地看它,不但拥有真理,而且具有至高无上的美,正像雕刻的美,是一种冷而严肃的美。这种美不是投合我们天性的微弱的方面,这种美没有绘画或音乐那样华丽的服饰,它可以纯净到崇高的地步,能够达到严格的只有伟大的艺术才能显示的那种完满的境界。”

二、数学美的特征

数学之美充满了世界,它结构的完整,图形的对称,布局的合理,形式的简洁,语言的精炼,思维的缜密,无不体现出数学中美的因素,使数学学习就像欣赏艺术品一样得到了精神愉悦。数学美有四个方面的表现形式:对称与和谐,简单与明快,严谨与统一,奇异与突变。

1.对称之美。如公式a+b=b+a,ab=ba等,这些公式在形式上的对称、和谐给人以美观的感觉。

2.简洁之美。如圆是什么?——圆是到定点的距离等于定长的点的集合。短短的一句话,包含着极其丰富的内含,充分体现了数学概念的简洁美。

3.图形之美。如图,圆与其他图形放在一起,给人一种多样统一的和谐感。

4.公式之美。“每一个数学公式,就是一首诗”,公式C=2πr就是其中的一例。一个传奇的数π把圆周长C和半径r紧紧相连,反映了两者之间有着异常和谐的关系,这是数学家的智慧与大自然灵气撞击而产生的哲学美。

5.规律之美。例如圆中的垂径定理及其推论,涉及的量有五个之多,学生往往记住定理,记不住定理的推论,但认真分析,其中是有规律的:五个量(垂直于弦、过圆心、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧),知二推三。学生掌握这一规律记起来就容易多了。

6.应用之美。数学中的有些数字,在现实生活的运用中也是美妙无比的。例如黄金分割中的黄金比λ≈0.618,本是个枯燥的数字,但在日常生活中,最和谐悦目的矩形,如书籍、门窗等,其短边与长边之比为0.618;当气温为23℃时,人们身心感到最舒服,此时气温与人体体温37℃的比为23/37≈0.618;著名的埃菲尔铁塔,第二层的高度与第二层之上的高度的比是0.618;最优美的身段,是身体下肢的长与整个身长之比为0.618,爱神维纳斯就具有这种身段,等等,这些例子都说明黄金分割比真是美妙无比。

7.严谨之美。例如乔纳森·戈兰说过:“1+1=2是神圣的语言,代表着世界上放之四海而皆准的真理。”不能多,也不能少。

三、数学教学中培养“数学美”策略

心理学研究表明:没有丝毫兴趣的强制性学习,将会扼杀学生探求真理的欲望。兴趣是思维的动因之一,兴趣是强烈而又持久的学习动机。只有学生热爱数学,才能产生积极而又持久的求学劲头。因此,教师应充分运用数学美诱发学生浓厚的学习兴趣、强烈的求知欲望。

1.用奇异美激发学生的好奇心。由于现实生活中的客观实体为数学创造了良好的模型,因此数学的结构在一定的领域内具有相对的稳定性。奇异性是指对这种稳定性的破坏,当然这种“破坏”是美学中的新思想、新理论、新方法对原有习惯的一种美的突破。

例:求(999999999×999999999)÷(1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1)。此算式整齐、匀称、和谐、平衡、给人以美的享受,使人感兴趣,不难知道分母得9×9,于是分子分母约分得:111111111×111111111=12345678987654321。此答案具有整齐、匀称、和谐、平衡等特点,使人感到奇异。

2.用相似美掌握知识规律。数学图形与式子的相似,数学命题的相似,数学关系与结构的相似,数学规律与方法的相似,都是数学中的相似因素,利用两个事物间的相似性,在数学中可培养学生如何正确地运用猜想、类比、归纳等数学方法。

3.一题多解,追求简单美。简单本是人们做事所追求的目标,干任何事都是越简单越美,因此对于复杂的问题,我们可以通过多种渠道来探索最简单的方式,以追求其美。

4.利用对称美,求解题捷径。数学形式和结构的对称性,数学命题关系中的对偶性,都是对称美的自然体现。引导学生充分注意数学形式与图形的对称性,可使解题方法简洁明快,这也是一种美的体现。

例如计算:1+2+3+…+100。由于学生不知道这里有多少个50,所以对高斯的算法很不理解。我便引导学生利用数学对称美来解。

设x=1+2+3+…+100①

反过来x=100+99+…+1②

①+②得2x=101×100

∴x=5050

即得:1+2+3+…+100=5050

5.运用课堂教学美,潜移默化地影响学生。数学里的人文教育需要理性的思考作为支撑,其中包括理性的教学设计。学生是最富于想象和幻想的,他们的世界最是千奇百态、色彩斑斓。我们应善于从学生的生活经验和心理特点出发,去捕捉一幅幅令他们心动的画面,挑选一个个为他们乐于接受和思考的学习素材,从而挖掘出生活中的“数学美”。如学习了黄金分割后,让学生去搜集与黄金分割相关的应用知识,学生搜集到了许多生活中应用黄金分割知识的资料。

四、实践后的结果与反思

1.我在实践中取得了良好的效果:(1)极大地调动了学生的学习兴趣,为学生获取新知识构建了有效的平台,学生乐于学习,对以后的学习也有着激励作用。(2)创设了一个平等、和谐的学习环境,促进了课堂资源的再生成,让课堂师生之间的互动关系真实有效。(3)帮助学生培养大胆探索、勇于进取的精神。我欣喜地发现当学生的学习方式趋向于自主、合作、探究时,其学习数学的兴趣普遍浓厚,思维方式越发灵活,有批判性、广阔性。

2.实践后的反思:(1)要丰富学生的知识和生活经验。(2)要充分发挥形象教育的优势。(3)对不同年龄、不同年级的学生应有所侧重。如低年级重点陶冶爱美的心灵,中年级重点培养审美情操,高年级重点培养创造美的能力。

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