捕捉条件信息,巧妙构造解题

有些数学问题，从常规的方法入手，往往比较烦琐，但若注意捕捉题目中的各种信息，构造一个数列、一个方程、一个函数或一个复数等，便可打破常规、另辟蹊径、弃繁就简，获得简捷、明快、精巧的解答。

一、构造特例，简化解题过程

因为一般性存在于所有特殊性之中，所以一般性问题可采用特例来处理，变抽象为具体，而且方法简单。

例1 已知a是公差不为零的等差数列，如果Sn是数列a的前n项的和，求。

分析：构造一个特殊数列进行计算，设等差数列为1，2，3，…，n，…，则

an=n,sn=。

所以====2。

例2 设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图像关于（ ）

A.直线y=0对称B.直线x=0对称

C.直线y=1对称D.直线x=1对称

分析：构造一个特殊函数y=x2，显然y=f(x-1)=(x-1)2与y=f(1-x)=(1-x)2的图像关于直线x=1对称，故选（D）。

二、构造反例，轻松解题

我们知道，要肯定一个命题的正确性，仅靠举例是不行的，但要否定一个命题的正确性，只要举一个反例即可，可见反例作用之大。

例3 ∠A>∠B是sinA>sinB成立的什么条件？

分析：原命题，如果∠A>∠B，那么sinA>sinB这个命题显然不正确。以反例为证，如150°>60°，而sin150°sinB，那么∠A>∠B。这个命题也不正确。如sin120°>sin150°，而120°<150°。

所以∠A>∠B即非sinA>sinB的充分条件又非必要条件。

三、观察题目结构特征，构造“定积”（“定和”）、对偶式、复数及三角形

例4 已知a,b∈(0,1)，求证：

+++≥2。

分析：由题目中的根式联系复数的模，构造复数z1=a+bi，z2=a+(1-b)i，z3=(1-a)+bi，z4=(1-a)+(1-b)i，由模的性质得

左边=|z1|+|z2|+|z3|+|z4|≥|z1+z2+z3+z4|=|2+2i|=2

例5 求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值。

分析：联想到余弦定理的右边结构与所求式子结构相仿，构造三角形ABC求解。设∠A=120°，∠B=20°,∠C=40°,由正弦定理a=2Rsin120°，b=2Rsin20°，c=2Rsin40°,R是△ABC的外接圆半径，代入余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，化简得sin2120°=sin220°+sin240°+sin20°ain40°，所以sin220°+cos250°+sin20°cos50°=。

四、把握条件特征，构造方程解题

例6 已知+-1=0，b4+b2-1=0且ab2≠1(a,b∈R)，求的值。

分析：通常解法是从两等式中求出a和b的值，再代入所求式求值，这样做运算烦琐，容易出错。细心观察条件等式的结构，则可构造方程x2+x-1=0。知,b2是方程的两个实根，由韦达定理得：+b=-1·b=-1易知<0,所以-b2<0。

例7 实数x，y满足x≥1,y≥1以及(logax)2+(logay)2=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0,a≠1)，当a在(0,+∞)范围内变化时，求loga(xy)的取值范围。

分析：由条件得(logax)2+(logay)2=2logax+2logay+2，构造方程u2+v2=2u+2v+2，即(u-1)2+(v-1)2=4。

设u=logax≥0，v=logay≥0，又设u=1+2cosθv=1+2sinθ 得cosθ≥-1/2sinθ≥-1/2

所以k=loga(xy)=logax+logay=u+v=2+2sin(θ+)。当sin(θ+)=1时，kmax=2+2；当sinθ=-时，kmin=1+ ,故loga(xy)的取值范围是[1+，2+2]。

至此，我们看到用构造法处理数学问题时，“构造物”的表现形式可以多种多样，除上面所列各条目外，还常用到构造向量、几何图形、不等式、解几模型、辅助命题等。应用构造法解题，对于解题的进展、突破确实起着举足轻重的作用。但我们必须明白，“构造物”的选取需要开阔、敏捷的思维，来挖掘题设条件和所求的内涵特征，大胆地猜想解题思路。这一切都源于对数学“三基”的深刻理解和熟练驾驭，源于勤奋、刻苦，源于平时积累的丰富的数学经验，这样解题时才能做到不蹈常规，独具匠心。

（盐城纺织职业技术学院）

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