论数学与美学的关系

摘要：数学美是对客观现实美的反映，是自然美与艺术美的结合。本文着重探讨数学与美学之间的联系，通过欣赏数学中的简单美、和谐美等美学特征，以及展示美学中存在的数学，从而得出数学与美学是相互渗透的这一结论。通过这一研究，培养人们的审美意识，体会数学世界的丰富多彩，提高对数学美本质的理解与认识。

关键词：数学；美学；数学美

“纯数学是一门科学，同时也是一门艺术”。如今的数学，已成为研究自然科学和社会科学的基础学科，它已渗透到经济、历史、建筑、音乐、美术、文学等各个领域中。本文从各个不同的角度展现数学美的内涵，提取数学中所蕴含的丰富的审美内容，以求在美的熏陶下，感受数学别样的美丽，并得到思维的启迪与情感的共鸣。

数学是什么？法国数学家迪卡尔称数学是“序和度量”的科学。英国哲学家培根称数学为一种使人“机敏精细”的学问。恩格斯也曾说：“数学乃是关于物质世界的空间形式及其数量关系的科学。”由此可见，古今中外的人把数学看成是一种知识体系，是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和，它充分体现了人类知识的精华，影响着人类活动的每一个领域，它的进展与所有科学的发现都紧密相关，其中也包括美学本身的发展。

古代哲学家、数学家普洛克拉斯说过：“哪里有数，哪里就有美。”数学作为一门不断推动社会进步与时代发展的学科，其中当然存在着美。数学是一种独特的逻辑，是自然科学的语言，在其内容和结构方法上，都具有自身的某种美，所有这些都是数学美的体现。正因为数学具有丰富而独特的审美内涵，因此，这门古老而又年轻的学科才符合事物生存和发展的原则，与人类本身的生存与发展相始终。

一、数学美的实质

数学是对自然和现实的冷静、理智、抽象的认识，并通过确定的数学符号、形式结构表述出来，客观、现实的美也就抽象成了数学的美。也就是说，数学美是现实美的反应，是在自然人化的历史过程中沉淀、积累的结果。

但是，数学美不仅仅是“数学中存在着美”，它不单纯是某些数学特性如简单性、对称性、和谐性等的相加。数学美应该是能唤起人们的喜悦之情的，从而激发人们去发现、揭露其内在之美，使人们在思考的过程中潜移默化地去感受数学、理解数学。因此，数学美的本质是：作为审美主体的人，在审美过程中（数学美感的运作），对审美客体——数学美的各种品性的能动作用。

数学被人看作是心智的艺术与灵魂的音乐，数学美感的发展不仅要有能够感受形式美的眼睛，更要有能够创造和理解数学的大脑。数学的思想、理论、公式、方法等，只有通过人类的审美活动才能表现出来。

人类一边欣赏着自然存在的数学美，一边又创造着数学美。也就是说，这种美诞生于现实、生活、实践之中（产生美），它通过人们的思想情感，一定的审美意识（感受美），又影响着人们的数学实践、科学实践、社会实践等活动，从而不断出现更丰富、更完美的数学，使数学之树枝繁叶茂、四季常青。

二、数学美的特征

（一）数学美在简单

我国著名数学家华罗庚说过：“宇宙之大、微粒之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之迷、日用之繁……无不可用数学表述。数学之所以用途如此之广，因为数学的首要特点在于它的简单，简单本身就是一种美。”

数学的简单性在生活中屡见不鲜：

食堂餐券只需印上3角、5角两种便可支付任何8角或8角以上的菜款而无须找钱。电子信息技术的日益发展，虽然现在很少还有食堂在采用餐券制，但较好地体现了数学的简单性。类似地，硬币和纸钞上面的面额更为人们所熟悉。

数学的简单美体现在一下几个方面：

1.符号美

数学是一种符号“游戏”。历史告诉我们，采用合理的符号，能使数学学科得到迅速发展。相反，若没有一套合理的符号，其进展就会十分缓慢。古代数学的漫长历程、今日数学的飞速发展，17、18世纪欧洲数学的兴起，我国几千年数学发展进程的缓慢，所有这些都充分证明了数学符号运用恰当的重要性。

莱布尼兹说：“数学符号节省了人们的思维。”数学符号是数学语言的记录与表现，可使人们摆脱数学自身的抽象与约束，集中精力在主要环节，增加人们的思维能力。数学是一个符号的世界，数学思维必须有一套严格的符号系统。数学符号的产生发明、使用流传，经历着一个十分漫长的过程，并且仍在继续。这个过程始终贯穿着人们对自然、和谐与美的追求。

比如：从各国古代不同的记数符号，至阿拉伯数字的创造、改进、流传与通用；从四则运算符号加（+）、减（-）、乘（×）、除（÷）和乘方（ ）、等号（=）、未知数（x，y，z）等符号的产生、演化；从各国各异的“方程”符号至现今方程的数学表达式的统一，无不表现着人们追求数学和谐、简洁、方便、明晰的审美过程。数学在发展的过程中，人们对于数的认识也在不断深化，当原有的符号对新的概念感到无能为力时，人们也随之创新。

比如：用希腊字母 表示圆周率这个无限不循环小数，用i表示虚数单位 ……等等。此外，数学中还有许多运算符号，这些符号均有其独特含义，使用它们不仅方便而且简洁。

比如：用“！”号表示阶乘： 。

数学符号具有高度的概括性和精确性，它是数学特有的美感。数学中同一个概念开始往往用不同的符号表示，人们在使用过程中不断对其进行鉴别以确定优劣（实用性、方便性、简洁性等），这里面也蕴涵着一个审美过程。“一种合适的符号要比一种不良的符号更能反映真理。更合适的符号带着自己的生命出现，并且它又创造出新的生命来。”

数学思维借助于符号系统来展现，也正是符号成为了数学世界通用的语言，把数学建立在稳固的基石上。

2.公式美

如果说数学符号是人类创造的，那么公式就是大自然乃至宇宙本身所蕴涵的真理，是人类的智慧发现了它们，然后用符号表述出来。自然界的现象与事物千姿百态，经过人类的观察、思维、分析与实践，抽象得到了很多表面现象后内在的东西，公式则就是内在实质（众多数学定理、命题）的外在表现。

世界上的圆无穷无尽，有大有小，但惟有数学几何上的圆最标准、最纯粹、最完美，因为它的周长与直径之比精确等于一个无理数π，即有C=π D。这是一个简洁的公式，其所反映的又是一种十分奇妙而和谐的关系，有学者称它为“宇宙间的第一等好诗。”

再比如三角形，尽管形状各异，其中有很多可研究的内容。人们用 囊括了所有三角形的面积，这是最简单、基本、原始的公式。后来人们又发现 （p为三角形半周长）； 都是三角形面积的表示方式。

正、余弦定理概括了三角形边、角的一般关系。直角三角形中三边关系 更是古代人们智慧的结晶。

数学公式不是天生的，当有人找到现实事物间的客观联系，并赋予它每个字母每个符号的涵义，它才变得富有生机，它是某些数学知识的精华。也只有具有一定数学素养的人才能从中读出丰富的内涵（数学的“至高无上”）。

（二）数学美在和谐

宇宙是和谐的，许多中外哲人都把宇宙的和谐比拟为音乐的和谐，，实际上，和谐的事物向来给人以美的外观与一致的内涵。在数学中，毕达哥拉斯首先提出“美是和谐与比例”，和谐是人们追求数学美的准则。

数学的和谐表现在它能用以解释自然和社会的性质，甚至能让它为人类所用。

最典型的一个例子是：数学家们依据人口增减过程，研究建立了人口增长的数学模型。并求得了人口增长的数学表达式： ，式中 表示当初人口数， 表示t时间后的人口数，c、k为待定常数（它们依据不同地区、不同国家、不同时期情况而变化）。公式表明人口增长是按几何级数增加的，人口的迅速增长若不加控制，人类生存所必需的一切条件将处于危险中。这一实例说明了数学与人类生存世界的和谐相联系。

上面各种事例可见，对数学和谐美的追求，可启迪人们的思维，指明人们研究的方向与方法。怪不得有人称“数学是一门万用的并具有绝对真理的艺术”。造就和谐美得因素是多方面的，比如对称美的存在就是一个很典型的例子。

亚里士多德在谈到这个问题时指出：“秩序和对称是美的重要因素，而这两者都能在数学里找到。”“对称”最初源于几何。我们平面几何中的对称有轴对称和中心对称。比如圆（毕达哥拉斯学派认为，圆是平面上最完美的图形）、正方形，它们既是轴对称图形，也是中心对称图形。立体几何中的对称除了上述两种外，还有平面对称。立方体、球等都是点、线、面对称的图形。

有许多函数图象也是对称的，如一般的三角函数， ， ；一般的幂函数 ， ， ， 等；还有椭圆 ；双曲线 ；以及指数函数 ，对数函数 等。

如牛顿万有引力公式： ，这个公式中 ， 是空间互相吸引的两个物质的质量，显然在式中处于同等地位，这也是一种对称。

从更广泛的意义上讲，“数论”中的奇数和偶数、质数与合数，“代数”中的正数与负数，“三角”中的正弦与余弦、正切与余切、正割与余割等等，也可看作是对称。

数学多种概念也是成对出现的：函数与反函数，象与原象，增函数与减函数，正比例函数与反比例函数，奇函数与偶函数，开区间与闭区间，收敛与发散，连续与离散，由一般到特殊的演绎法和由特殊到一般的归纳法，它们都体现着对称的思想。

可以这样说：数学中不少概念与运算，都是人们对于“对称”问题的探讨派生出来的，数学中的对称美除了作为数学自身的属性外，也可看成启迪人们思维及研究问题的方向。

人类用同一种语言建造了精神的巴比塔，那就是数学。它是生活，也是艺术。数学真正的核心不是一些让人生畏的公式，而是隐藏在其中的优秀的人类思想。数学科学作为几千年来人类智慧的结晶，其巧妙和谐的体系，严密而无懈可击的说服力，在解决实际问题时表现出来的神奇力量，使许许多多的人为之倾倒。这神奇的力量正是来自数学中的美。

数学美是人们对现实美的反映，经过人们思想情感影响着人们的数学实践、科学实践。对美的追求是数学创造最主要的动力，对美的追求推动着自然科学、人文科学的发展，对美的追求也推动着数学本身的发展。

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