数学与美学

摘 要：数学是自然科学，美学是研究人们与现实审美关系的科学。从美学的角度看数学，从数学美的分类、特征以及数学与美学的关系着手研究，进而阐明美学和数学有着密不可分的联系。

关键词：数学；数学美；分类；特征

数学是对客观事物的一种量的抽象，在这抽象的架构体系中，数学存在无穷的美。美学的定义在马克思的《新亚美利加百科全书》中有提及：“美学是研究自然和艺术中的美的科学。”数学与美学有其独特的关联性，古代哲学家、数学家普罗克拉斯曾说过：“哪里有数，哪里就有美。”

一、数学美的分类

（一）形式划分

数学美的形式分为外在形式与内在形式。数学美的外在形式指的是数学内容和思想等外化的表现形态所具有的形式美感。比如，周期函数在坐标图上所呈现出的关于图形的美感，就是数学美外在形式下的图像美（如图一）。数学美的内在形式指的是数学内部中抽象的各种概念在数学本质上有其相关性和一致性，由内在联系串联而成的结构美感。比如，各种抽象的字母x、y、z等它们之间存在的内在数学联系，数学将这些看上去没什么联系的字母串联用于解决一系列问题，这些在内容、结构、用途上所呈现的美感就是数学美的内在形式。

（二）内容划分

数学随着时间是不断更替的，由此数学美的内容也有所发展变化，但仍旧具有几个相对稳定的特性。数学的美主要表现在它的外在表现形式和理论架构体系以及方法。由这个角度着手，我们可以把它分为符号美、思想美、方法美、结构美。

1.符号美

符号美，是指数学中符号的表现形式和排列组合所呈现出的美感。10个简简单单的数字通过组合排列，构筑起一个数字王国，数学学习中还包括其他各式符号，如四则运算中的“+、-、×、÷”，比较大小的“<、>、=”，以及决定运算顺序的各种括号等。这些符号在书写上十分严谨，讲求对称，极具美感。同时这些数字符号巧妙组合，变成一道道公式、运算，支撑了数学的理论结构，这种结构所表现出的简洁、有序无论是从它的表象还是存在价值而言都有其美学风采。

2.思想美

思想美，是指在在数学研究中所呈现的研究者的思维激发跳跃的美感以及数学本身驱使人不断进步的精神动力所体现的美。克莱因《西方文化中的数学》所提到的：“数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。”数学这种理性的精神驱使人类思维得以不断完善，这种驱动性的思想美感同样也体现了数学美。

3.方法美

方法美，是指数学的运用、表述或建构中应用各种各样的奇妙数学方法所产生的一种数学美。数学中各式各样的符号有数学家组合来解决各种数学难题，难题解决中会运用不同的方法，这一过程中不同数学方法经过数学家的精心研究构成了一种超乎言语之外的美感。同时，对于一道难题方法的诞生，研究者内心也会收获满足和喜悦感，这种数学方法的特性以及研究者与数学方法的沟通交杂也会产生一种美感。

（4）结构美

结构美，是指数学的理论方法建构体系方面的美。数学中存在结构框架，这种结构表现的和谐统一就呈现出一种美感。正如法国著名数学家庞加莱曾说：“数学的结构美是指一种内在的美，它来自各部分的和谐秩序，并能为纯粹的理智所领会，可以说，正是这种内在的美，给了满足我们感官的五彩缤纷的美景的骨架，使我们面对一个秩序井然的整体，能够遇见数学定理。”

二、数学美的特征

（一）数学美的简洁性

数学美的简洁性应用于现实生活中独具魅力。就像希腊遗迹尺寸都严格按照黄金分割比，把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是（√5-1）：2，取其小数点后三位的近似值是0.618，按照这个标准设计出来的建筑都呈现简约柔和的美感。

（二）数学美的和谐性

黑格尔说：“和谐一方面见出本质上的差异面的整体，另一方面也消除了这些差异面的纯然对立。”和谐表现在数学理论之间的统一协调，使数学内部因素与外部因素相协调。笛卡尔的心形曲线极坐标方程错综复杂，呈现在坐标图上，却有一种和谐之感。

（三）数学美的奇异性

数学的奇异性是指数学具有超出人类认知的特殊性质，数学所呈现形式和内容的奇异。比如，斐波那契数列与大自然花朵的关系极其密切，几乎所有花朵的花瓣数都来自这个级数中的一项数字。数学美的奇异性还表现在一些反例上，就像微积分发展早期大家都认为连续函数都是可微的，至少在某些点可以微分。德国数学家魏尔斯特拉斯在1860年构造了一个处处连续而又处处不可微的函数。

三、数学美学的意义

（一）数学美学可以推动数学的发展

自然界是有其存在规律的，当我们用数学去观察大自然时，是符合美学标准的。同样在数学的研究过程中会无意用上美学规律，数学的发展是由于人们内心对于美的追求。比如二项式定理的杨辉三角形，在其构造中充分体现了数学家对于美的追求。

在数学的发展中，不管是数学理论体系发展还是应用于实际问题中的数学都符合对美的追求，数学美也同样是数学探索发展历程中不可或缺的动力所在。数学美是符合自然规律的，数学家在研究数学理论时发现了数学的美感，并为之所吸引。数学家的研究成果也是创造了一种数学美，这种美感对于数学家是一个外在表现形式的激励，数学家也因此所动容，被这种美所震撼，沿着这条充满理性之美的道路继续前进，在已有的数学知识中追求一种美感进而改变已有的数学研究和数学教学状态，构建出现在我们所称赞的理论体系。

（二）数学美是数学的外在呈现形式，是衡量数学的尺度。

严谨的数学抽象而不可捉摸，部分数学外化成实际的表现形式所呈现在世人眼前的，却具有无尚的美感，這种数学外在呈现形式就是数学美。举个例子，数学有多方面的应用，联系到我们的现实生活，建筑物中的数学美就让我们叹为观止。就像国家水立方的设计都是经过特殊的几何计算公式还完成的，而它们的结构也是含有复杂的几何规律，经过一系列不同学科之间思想的碰撞，呈现在我们眼前的水立方独具美感。

数学在发展过程中经历了优胜劣汰，数学美是数学理论成果留存的一个评判标准。在上面提到过数学具有简洁美，现代社会人们也趋向于用简洁的形式去表现数学思想，不断简化数学符号、简化数学公式，尝试用更简单的形式去外化数学。这种下意识的追求表现出数学美对于数学的选择和评判作用。

参考文献

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（作者单位：浙江师范大学教师教育学院）

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