数学文化视角下教材空间设计的实践

作为教材的实践者，教材的编排与知识技能目标之间的联系是显而易见的，但怎样体现数学内容与其他方面目标之间的关系，永远是教师一个人在作决定。因此，在课程实施的层面上对教材空间设计作文化学的实践，以丰富数学教学的文化内涵，提升学生数学素养，无疑是必要的。

关于数学文化的内涵，目前普遍被认可的是源自于对文化的狭义理解（指向精神层面）。事实上，精神层面的数学文化不可能脱离物质层面的具体数学知识、理论而单独存在，它们总是以某种特殊的形式凝聚、投射到具体的数学知识、数学理论之中。我们认为，数学文化包括学习者在数学活动中所创造的物质产品（知识性成分）和精神产品（观念性成分）。以此为视角，教材内的知识一般以两种形态存在：一是显性的、静态的结果性知识；二是隐藏在知识背后的数学思想方法、数学思维方式、数学理性精神等。这些隐性的数学思想方法、思维方式、数学精神等和显性的数学知识共同构成了教材的文化内涵，成为数学教材空间的组成部分。

设计是一种规划、设想，通过视觉的形式传达出来的活动结果与活动过程。数学教材空间设计，既指向结果，即挖掘教学内容的文化内涵，对“教什么”作出深远谋划；又指向过程，即设计教学路线与方式，对“怎样教”作出精细规划。

一、 深刻把握数学学科的本质，对“教什么”做出深远的谋划

数学教学的首要问题，是对“教什么”作出深远的谋划，思考“为什么要教这个而不教那个”这样的价值取舍问题，远比单纯地琢磨怎样教更有意义。

以知识为中心的数学教育过度追逐数学的工具性价值，数学教材原本具有的丰富意蕴被简化为数字、符号、公式、规则、程序的组合。对数学的如此认知和理解，切断了数学文化中知识性成分和观念性成分的内在联系，窄化了数学教材的文化内涵，使得数学课堂以“去情境”和“去过程”为特征，把生动的数学知识变成单调刻板的条文让学生去进行记忆和背诵，数学本该拥有的文化气质被剥落。

以文化育人为价值取向的教材空间设计，最基本的是对学科本质的把握和领悟。就数学而言，首先是对基本数学概念的理解（包括为什么学习？核心概念是什么？怎么用？），其次是对抽象、模型、推理等数学基本思想的领悟，以及对分类、转化、类比、猜想等数学特有思维方式的把握，最后是对数学美的鉴赏和对理性精神的追求。显然，这与数学文化的内涵是一脉相承的。以此为视角观测数学教材，教材内容不再只是数字、符号、公式、规则、程序的简单组合，透过它们，我们还能感受隐藏其中的丰富的方法、深邃的思想、高贵的精神和品格。这些隐性的数学思考、数学精神、数学意识等观念性成分和显性的数学知识共同构成数学教材深刻的文化空间。

以苏教版小学数学五年级下册“确定位置”为例，这节课主要学习数对的含义，以及用数对确定平面上点的位置，教材内容蕴含丰富的文化内涵。

学生在此之前已经初步获得了用自然数表示位置的经验。由一年级时在某一行（或列）中借助“第几”来确定某个人或物体的位置，到二年级时用两个“第几”来确定相应的位置，看似简单的数量增加（“第几”的个数由原来的1增加到2），其内在的实质却是：给定的空间由最初的一维增到二维，确定相应空间中点的位置所需参数也自然应由最初的1个增加到2个。而把由具体情境中用较朴素的方式描述位置提升到用数学方法（抽象的数对）确定位置，形式化表达的背后蕴含数学精准、凝练的气质。显然，帮助学生建立二维空间的表象，进一步发展空间观念，提高抽象思维能力，是本节课价值诉求的重要组成部分。

“用数对确定位置”是学生学习平面直角坐标系的基础。数对的表达为什么先记“列”再记“行”？记“列”为什么从左往右数？记“行”为什么从下往上数？这主要是与平面直角坐标系的规定相一致。教材的呈现也给我们启发：由“教室里小军坐在哪里”的实际生活事例，抽象为“符号化的图”（用圆圈表示具体的人，相当于格块），再上升到“数学化的图”（例2，把具体建筑物记作点，接近于坐标描述），能看出编者的匠心——即将“座位”平面图抽象为比较形象的“直角坐标系”，架起数与形之间的桥梁，初步渗透数形结合及坐标思想。由此，在突显教学内容应有的生活价值的同时，又能在符号体系中恰当地生成和渗透数学思想，是本节课教学应有的文化意蕴。

事实上，教材内容还赋予本课更为丰富的文化内涵：

对于数对的引入，即使最终还是由教师把结果告诉学生，我们还是应该引导学生经历“用数对确定位置”的创造过程。因为，数学教学不仅要承载让学生继承数学事实的功能，还有引领学生感受知识产生必要性与自身规定的合理性，以及获得创造新文化的意识和能力。

在学生准确建构用数对确定位置后，让学生分别表示一维、二维以及三维空间中物体的位置，让学生意识到只有在平面上，才用两个数组成的数对表示物体的位置；在直线上，只需要一个数就可以了，而在三维空间，两个数又不行了，为后续知识的学习积蓄可持续发展的动力源泉。

用数对的思想不仅可以确定“有限平面”上某些点的位置，还可以确定无限平面上任意点的位置。

这些内涵的挖掘都是有价值、有意义的，并有利于学生对数学的真正理解与把握。当然，在某种意义上，课堂教学始终印刻着教师个性化的价值判断、趣味追求，对同一节课教材文化内涵的把握，在突显学科本质的前提下，“我的地盘我做主”。

二、着力构建与文化沉淀相匹配的教学方式，对“怎样教”做出精致的规划

数学教材空间设计，不仅反映出教师选择在哪些事情上努力，对“教什么”做出深远谋划，还反映出教师如何更好地完成教学任务，对“怎样教”做出精致的规划。

文化总带有历史性的成分。数学作为一种文化，同样也离不开历史的沉淀过程。当我们把数学知识看作文化传承结果的同时，也意味着这些知识经历了发生、发展、沉淀等阶段，数学文化正是在这一过程的循环往复中，不断充实，不断提升，其观念性成分逐渐成为人们采取行动、解决问题的指南。要使数学知识的学习过程同时成为数学观念性成分的文化积累过程，探索与数学文化沉淀过程相匹配的教学方式是前提。

还是以“用数对确定位置”为例。在学生感到用第几列第几行的方法表示一个同学的位置比较准确、简便时后，我们通过如下的活动设计，引导学生建构数对概念，把握用数对确定位置的方法，感悟基本数学思想。

1.用数对的方法在圆点图上确定位置——理解概念的本质。

●体验。

谈话：第几列第几行，让我们确定，位置有了统一说法。下面我们用这种方法记录几个同学的位置。（教师口述并逐渐加快语速，学生无法记录下来）

质疑：没有记录下来，除了老师报得快以外还有没有别的原因？

交流：学生在交流中意识到既有方法的繁琐和不便。

谈话：数学不仅追求统一，还追求简洁。像第4列第2行，能否写得再简洁些呢？（教师收集并展示学生的写法：4：2 4·2 4-2 4|2 ）

比较：透过不同你能看到这些方法中相同的地方吗？

交流：学生在交流的过程中，初步感受数对的本质属性。

讲授：揭示数对概念，介绍数对的写法。

●运用。

用数对表示图上A点、B点的位置，并交流写法。

在图上找到数对（2，5）、（6，3）对应的点，并交流找点的过程。

●反思。

交流：（出示错误的描点作业）是不是一个数对有两个点与之对应呢？

感悟：一个数对只对应一个点，一个点只能对应一个数对。

2.用数对的方法在方格图上确定位置——渗透基本数学思想。

（1）根据方格图上的点说出数对。

●体验。

谈话：（课件演示：用线连接圆点，然后隐去圆点，变成方格图。）这是学校的平面图，你能用数对表示出方格图上景点的位置吗？

比较：（出示两个学生不同的表示结果）明明是同一个点，为什么出现不同的数对呢？

交流：学生在交流中意识到同一点的行数与列数不是唯一的，它取决于第一行、第一列从哪儿算起。为了方便交流，起点一般从0开始。

●练习。

用数对表示出其他景点的位置。依次是：升旗台（3，5）校史室（6，7）竹园（4，0）科学宫（0，0）

●反思。

交流：校史室的位置是由哪两条线决定的？这两条线又是由哪些线决定的？

感悟：在方格图上用数对的方法确定位置，首先要确定0起点。有了0起点和这两条相互垂直的直线，就能唯一地确定图中任何一点的位置。

（2）根据数对在方格图上找到对应点。

●体验。

谈话：在方格图上，你还能根据数对找到对应的点吗？这儿有三个数对，请找到对应的点并标上数对。

交流：比较这三个点的位置，你发现了什么？

●延伸。

类推：根据这一发现，想一想，同一列上的数对又有怎样的特点？

交流：以（6，5）为例，哪些数对与它在同一列上？

●反思。

交流：对于数对你们又有怎样的认识？

感悟：数对不仅能表示出点的位置，还能反映出点与点之间的位置关系。图形的特征可以反映在数对中，数对的特点也能通过图形来体现。

知识性成分和观念性成分在数学课程内容设置上共用同一个知识载体。知识性目标着眼于载体的事实性、陈述性，观念性成分浸润在对载体本身的理解与认知过程中，一般要在观察、实验、猜测、尝试中体验，在合作探索、多边互动中交流碰撞，在反思内省中感悟、完善等。

建构。在学生感受到用第几列第几行的方法表示一个同学的位置比较准确、简便时，要求学生用这种方法记录几个同学的位置，让学生亲身经历快速记录的过程，体验既有方法的繁琐与不便，意识到这种方法还可以写得更简洁一些，自然过渡到对原有描述进行改进和优化，并通过比较、交流，逐渐逼近数对简约、凝练的特质，催生出数对的雏形。

运用。引导学生经历从“在圆点图上确定位置”到“在方格图上确定位置”的过程，通过图例的抽象和演变，让学生感受在方格图上用数对确定位置的背景。不论是在圆点图上确定位置，还是在方格图上确定位置，教学安排了同样的层次，即先用数对表示图上圆点的位置，再在图上找数对对应的点，并引导学生通过思维的交流与碰撞，把握学科的本质。在圆点图上确定位置，着力使学生在交流中掌握用数对确定位置的方法，感悟数对的含义；在方格图上确定位置，着力使学生在交流中体会图形与数对的联系，感悟基本的数学思想。

提升。北京教育学院张丹副教授认为，数学经验一方面在于积累，另一方面也需要提升。在体验的基础上，引导学生“脱身”出来，作为一个旁观者来看待自己刚才做了些什么事，将自己所做的过程置于被思考的位置上加以审视，从而使数学活动中积累的经验沉淀为一种理性的认识。（三次活动后的“反思”）

同样的教学内容，因为建构方式的不同，既可以使数学彰显其文化属性，也可以让本该拥有的文化气质被剥落。学生的数学学习主要是一个文化继承的过程。但是，文化继承不能理解成只是一个被动的接受过程，恰恰相反，我们应当帮助学生较好地去理解相关的数学概念，而这事实上也就是一个自主建构的过程。

参考文献

[1] 张维忠.数学教育中的数学文化[M].上海：上海教育出版社，2011.

[2] 刘加霞.小学数学课堂的有效教学[M].北京：北京师范大学出版社，2010.

【责任编辑：陈国庆】

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