对一道全国高考试题的再思考

学习效率.

关键词：直线与圆锥曲线；定点；延伸

高中数学教学内容中，解析几何是学生学习的一个重难点. 其运算量之大，运算过程之繁复着实让不少学生望而却步.其中直线与圆锥曲线相交所衍生出的问题以及相应的结论也是不可胜数. 教师在教学过程中有时也是不得其法，对于解题几乎是零散无序的就题解题.笔者通过对今年全国Ⅰ卷20题的求解，发现此题应该具有一般性，其结论也是可以推广的，故而做了如下研究，也希望能起到抛砖引玉的作用，给广大同仁提供一个交流心得的题材.

原题：（2015年全国Ⅰ卷）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a>0）交于M，N两点.

（1）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

简析：本小题第二小问的基本解题思路是利用直线PM与PN的斜率相等从而确定∠OPM=∠OPN，进而解得点P（0，-a）满足题意，详细解答略.接下来，笔者尝试从此题的解法入手研究探讨该问题，进一步发现其一般规律以及相应的结论.

笔者认为圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分，也是高考的热点、难点. 解析几何的学习和考查综合了学生的学习能力以及数学素养，其基本思想是用代数方法来研究几何问题，其过程难免涉及大量计算. 因此，在研究解析几何问题时，若能从通性通法的角度多方面审视研究对象，往往事半功倍而且一劳永逸.

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