浅谈中学生的数学能力及培养

一 数学能力的概念

究竟什么是数学能力，许多数学家和数学教育学家对此给出过不同的答案。恩格斯在《反杜林论》中指出：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和量的关系，所以是非常现实的材料。”恩格斯的说法是，数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学。数学能力是思维作用于数量关系、空间形式、数与形相结合的特定数学材料的具体表现，也就是思维对数学知识的实际操作。前苏联学者克鲁切茨基说过：“数学能力是运用数学材料去形成它们的概括的灵活的可逆的联想的和系统的能力。”教学新课标也要求“具有正确迅速的运算能力、一定的逻辑思维能力和一定的空间想象能力，从而逐步地培养学生分析问题和解决问题的能力”。

二 培养数学能力的前提是训练数学思想

数学能力不是人们天生就有的，而是在人们的生活、学习和工作中不断形成的。而学习阶段尤其是中学阶段是人们形成数学能力的基础和关键时期。在学习阶段，数学能力的形成则是与数学思想的严格训练密切相关的。搞好数学思想的严格训练，是提高数学能力的重要保证。

1．训练数学思想，提高数学能力

核心是培养和发展学生的逻辑思维能力，这是由于数学的高度抽象性决定的。逻辑思维能力的培养，首先可以通过学习数学知识本身达到，这是最重要的途径；其次可以通过逻辑知识的学习得到。从传统的观点看，逻辑思维能力包括判断能力、逻辑推理能力、建立数学模型能力和分析数学解题能力。详述如下：

（1）培养数学判断能力。判断是对客观事物情况有所断定的思想。数学判断主要是对事物的空间形状和数量关系有所肯定和否定的思维。这种判断要兼用分析和综合的方法。先应用分析，把命题分为部分，找出已知和未知，化整为零，找出已知与未知的联系纽带。然后用综合的方法把证题的全过程写出来。以上过程都涉及数学概念、辩证思维和联想思维。联想越多，记忆越牢，思路就越开阔，判断能力也就越强。所以，数学判断能力的培养要靠经常、严格的训练。

判断贯穿整个数学中，判断力是解决数学问题的一种关键能力，而判断与推理又紧密联系在一起。

（2）培养逻辑推理能力。推理，就本质而言，是由条件得出结论这一过程，就是要根据题目中的条件，运用有关数学概念、定义、公理和定理等进行逻辑推理，逐步推出结论。其目的培养是多方面的，主要包括归纳推理和类比推理能力的培养。

归纳推理能力的培养是一种综合逻辑思维能力的培养。归纳推理是由个别的事物或现象推出该类事物或现象的普遍性规律的推理。许多数学概念、公理、定理等就是经过归纳推理得出。通过具体数学问题来培养学生的归纳推理相同，推出它们在其他属性上相同的一种逻辑推理方法。一些数学公式、运算法则、定理等就是经过类比推理得出。通过具体数学问题来培养学生的类比推理能力，无疑会使学生学习变被动为主动，而且会学得更好记得更牢。

推理能力的培养，要注意三个方面的问题。首先，要看清题意，分清已知和未知（有些问题还要将其“转译”为数学语言）；其次，掌握推理格式和一些基本的证明方法，如分析法、反证法、归纳法等；最后，积累证题思路。所谓证题思路，就是沟通已知与未知的桥梁，即方法。如平面几何中在证明线段相等问题时，可利用比例、两条线段都等于第三条线段、全等三角形对应边相等、等腰三角形两腰相等及弦、弧等有关定理。这些方法的积累，无疑开拓了我们的思路，起到了“举一反三”的作用。

（3）培养建立数学模型能力。现实生活中大量问题都与数学有关。如工业、建筑设计、证券股票、计划生育、人口普查等。要研究它们，必须从大量资料中提取数据，定性、定量、详细地加以研讨。将实际问题转化为数学问题，在某种意义上说就是建立数学模型。通过具体实例培养学生根据对问题的分析建立数学模型的能力，不仅使学生更好地掌握所学数学知识，也了解了一些解决实际问题的方法，有利于培养学生分析问题和解决问题的能力。

（4）培养分析数学解题能力。培养学生分析数学解题能力也是非常重要的。如在一块三角形的废料上如何切割出一个最大面积的正方形；对一项工程如何合理分配人力和物力才能省工、省时、省力、省料等职中生很实用的知识。培养学生分析数学解题的能力对其今后进一步学习和工作大有裨益。

2．训练数学思维，提高数学能力，还要注意培养和发展学生的运算能力和空间想象能力

运算能力是数学的基本能力。数学运算贯穿整个数学学科，不仅是自然科学和社会科学强有力的工具，在日常生活中也广泛应用。数学运算的实质是根据运算定义及性质，利用数据推导出结果。因此，学好有关运算的基础知识是形成正确迅速的运算力的根本。

空间想象能力可充分体现出数学的思维作用。思维从问题开始，想象力是思维活动的翅膀。空间想象可看做是全部数学中的形象思维，和逻辑思维相辅相成，通过逻辑思维，由具体到抽象，又通过空间想象，由抽象回到具体。于是，空间想象能力便可通过数形结合和空间图形的学习来培养。培养学生具有空间想象能力可更好地促进其思维发展，充分发挥其创造才能。

总之，数学能力是多方面的。提高数学能力，非一日之功，是一项长久而艰巨的工作，要靠严格的数学思维训练才能打好基础达到目的，才能全面、更好地提高一个人的能力和素质。

三 数学教学中需重视培养的学生能力

教学实践中，要始终抓住课本这个“纲”，在课本教学上狠下工夫。通过几年教学实践，笔者总结主要应抓好学生以下几方面的能力培养。

1．重视课本概念的阅读，培养学生的自学能力

中学生往往缺乏阅读数学课本的习惯，这除了数学难以读懂外，另外一个原因是许多数学教师在讲课时，也很少阅读课本，喜欢滔滔不绝地讲，满黑板地写，使学生产生依赖性。数学课本是数学基础知识的载体，课堂上指导学生阅读数学课本，不仅可以正确理解书中的基础知识，同时，可以从书中字里行间挖掘更丰富的内容，此外，还可以发挥课本使用文字、符号的规范作用，潜移默化培养和提高学生准确说练的文字表达能力和自学能力。

重视阅读数学课本，首先要教师引导，应让学生翻开课本，教师按课本原文逐字、逐句、逐节阅读。在阅读中，让学生反复认真思考，对书中叙述的概念、定理、定义中有本质特征的关键词句要仔细品味，深刻理解其语意，要读出书中的要点、难点和疑点，读出字里行间所蕴含的内容，读出从课文中提炼的数学思想、观点和方法。教师在课堂上阅读数学课本，不仅可以节省不必要的板书时间，而且可以防止因口误、笔误所产生的概念错误，从而使学生能准确地掌握课本知识，提高课堂效率。

2．挖掘课本隐含知识，培养学生的研究能力

高中数学新教材中知识点的抽象性和隐含性比其他学科显得更为突出，数学中的知识点要通过思维和逻辑推理才能揭示，由于学生受思维和推理能力的限制，以及没有阅读数学课本的习惯，许多学生对数学教材看不懂、不理解。为了完成中学数学的教学目的和任务，教师要认真钻研和熟悉教材，把蕴藏在教材中那些隐含的知识点挖掘出来，帮助学生理解教材和掌握教材以培养学生的研究能力。

例如，判断函数的奇偶性的等式f（－x）=f（x），f（－x）=－f（x）就隐含着定义域关于原点对称这个前提，而学生往往忽视这个重要前提而导致失误。经过教师对教材隐含知识的挖掘，激发了学生学习数学的积极性，增加了学生探索问题、研究问题的能力。

3．剖析课本例题，培养学生解决问题的能力

教材中所选的例题都是很典型的，是经过精选，具有一定的代表性的。例题教学占有相当重要的地位，搞好例题教学，特别是搞好课本例题的剖析教学，不仅能加深对概念、公式、定理的理解，而且对培养学生发现问题、解决问题的能力以及抽象思维能力等方面，能发挥其独特的功效。

4．归纳课本知识，培养学生的概括能力

教师在授完一节或一章内容后，要根据教材的特点，有重点地对课本知识进行深入浅出的归纳，这种归纳不是概念的重复和罗列，也不同于单元复习，而是源于课本又高于课本的一种知识概括。“概括”需要有一定的思维能力，这种能力不同于其他的思维能力，它是通过对众多事物的观察以及对许多知识的提炼而得出的条理化、规律化的东西，经过概括的知识易记、易懂。对实用知识的归纳、概括不仅是学习的需要，而且在未来的工作实践中，这种概括能力也是不可缺少的，教师要在教学中逐步培养学生这种能力，以适应未来社会工作的需要，这也是素质教育一个方面。

〔责任编辑：王以富〕

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