从几何直观与理性的角度谈数学欣赏

义务教育阶段的几何学可以分为直观几何学和演绎几何学两个水平。小学里学习的手段主要依靠直观，拼一拼、量。量、折一折，得到的结论就是对的，其中虽然也有逻辑演绎成分，但是很少；到了初中阶段，则主要学习演绎几何学，以培养理性思维为主要需求，但也要源于直观，努力从感性升华为理性。

那么，怎样认识几何直观和理性思考之间的关系呢?本文拟作一赏析。

一、归纳思维：人和动物的区别

让我们从一种自然现象说起。有人说动物也懂得几何学，例如，蜘蛛织出的网是八边形的，蜜蜂的蜂房是六边形的，所以昆虫懂得几何学。更进一步的例子是说狗也懂得几何学，例如，你把一根肉骨头丢出去，它一定沿着直线奔过去，所以它知道两点之间的连线以线段为最短。　于是，曾经有人评论说，中学里的几何学说“两点之间的连线以线段为最短”连狗都知道，还要我们一本正经学习它，有什么用呢?

这就涉及到人的理性思维问题。

动物的行为符合几何学原理，乃是本能所致，并没有、也不可能得出任何两点之间距离这样的概念，以及“以线段为最短”的结论。只有人，才能有这样的概括。这就是人的理性精神。

只有人，才能够进行抽象的归纳。一个有趣的问题是，生来就是盲人的学者可以学习几何学吗?答案是肯定的。盲人通过触觉，可以得出任何两点之间都以线段为最短的结论。正是基于人类具有归纳抽象的天然能力，即使不用眼睛直观观察，也可以得到正确的几何学结论。

有人说直观不可靠，因为有错觉。由此认为直观的结果不能相信，甚至有“不要相信自己的眼睛”的说法。例如图1中的5条直线平行吗?显然，度量的结果与眼睛所见相悖。类似于此的使人产生错觉的图形还有很多。俗话说“耳听为虚，眼见为实”，然而在学习几何时，眼见未必为实。几何要相信自己的眼睛，但千万不能过分依赖于自己的眼睛。

这一论述，尽管有一定的合理成分，却未免言过其实。眼睛的错觉只是感觉层面的问题，但是人有头脑进行分析，可以避免错觉。上述的例子中，眼睛虽然不能判断5条直线的平行，但是通过度量(仍然要依靠眼睛)就能够纠正这种错觉。因此，不能用眼睛的错觉来否定人的直观性，包括几何直观。

小学几何教学更多地关注的是实验几何、经验几何和直观几何，让学生感受几何直观的作用，培养学生的几何直观能力。通过学生的拼一拼、折一折、量一量等操作之后，更多的是要求学生相信自己的眼睛，经过不完全归纳之后，就可以得出一些正确的结论。

例如，“三角形内角和为180度”的论断，在小学里是通过剪拼活动得到的。虽然大家测量的结果，并非恰巧为180度，或者179度，或者181度等等。但是，人可以用归纳的方法，接受“内角和为180度”的结论。这和做一个物理实验，验证100度的水会沸腾的结论，在思维方法上完全相同。

有些结论不很显然。例如随便画一个三角形的三条高，好像交于一点，奇妙极了。然后再画几个三角形，其三条高仍然交于一点，太巧了。这个画法可以重复，相当于物理学做实验，几次验证的结论都大体上相同。我们也已经可以相信它是真理了。不过，这个结论并非一眼就能得出，细心的学生就会想：这个结论到底对不对呢?但是，最后还是将信将疑地接受了这一结论。

应该说，直观总的说来是可靠的。人类的知识大部分是依靠直观观察，通过分析比较，归纳总结得出来的。物理学用仪器观察，化学用实验检测，生物学和地理学靠野外考察，都是首先运用直观的方法获取资料，经过归纳整理，得到的系统知识。

那么，为什么我们还需要超乎“直观”的理性精神呢?直观几何为什么要提升为演绎几何学呢?其根本原因在于归纳思维的确存在着某种缺陷。

二、公理化的演绎数学：理性精神的典范

归纳推理得到的结论大部分是对的，但是仍然不能保证绝对正确。古希腊以欧几里得为代表的智者，完成了《几何原本》这一伟大著作，展现了公理化数学体系巨大威力，成为人类理性文明的一面旗帜。

17世纪伟大的数学家和哲学家莱布尼兹是一位“唯理论”学者。他在名著《人类理智新论》[1]中说：

能够印证一个一般真理的例子，不管数目怎样多，也不足以建立这个真理的普遍必然性。特别是在算术和几何学中所见到的那些必然的真理，应该有一些原则可以不依靠实例来证明，因此也不依靠感觉的见证，尽管没有感觉我们永远不会想到它们。

这段话表明，没有直观的感觉，永远想不到一些命题，但是由直观对象概括的知识是否一定正确呢?要证明这个命题的普遍正确性，只靠不断地举例是不够的。物理学等其他科学尊重的可以重复地实验举证，在数学家看来还不具备普遍的真理性。

莱布尼兹在上述论文中继续指出：

感觉永远只能给我们提供一些例子，也就是特殊的或个别的真理。这一点必须辨别清楚，欧几里德就很懂得这一点，他对那些凭经验和感性影象就足以看出的东西，也常常用理性来加以证明，只有理性才能建立可靠的规律，并指出它的例外，以补不可靠的规律之不足，最后便从必然后果的力量中找出确定的联系。这样做常常使我们无需乎实际经验到影象之间的感性联系，就能对事件的发生有所预见，而禽兽则只归结到这种影象的感性联系。

记得小学时老师在推导圆锥体积公式时用倒沙的办法，做一个与圆锥同底等高的圆柱，将圆锥里盛满细沙，然后倒入圆柱容器内，当时觉得很奇怪，三次正好倒满圆柱容器，也不会去细究误差多少。通过几次重复的实验就得到了圆锥公式，然后更多的是通过练习强化公式的记忆；再有一个深刻的例子是推导圆柱的体积，每个学生回家切一小段萝卜，然后在课堂上垂直等分，大致切到8份已经不错了，再分就快成萝卜干了，然后老师让我们拼成一个长方形，当时总是想不通，怎么会拼成长方形呢?还有萝卜的水分跑掉了，体积不会改变吗?总之是懵懵懂懂地就学会了这个公式。这种经验性、描述性的学习方法在初始阶段是必要的。但是如果停留在这一认识阶段，就离开了初中阶段几何教学的目标。

数学地看，“三角形内角和为180度”的命题，“量一量，’是不算数的。光有几何直观，数学教学就回到尼罗河时代了。有证明的必要，才会有学习的冲动，才能认清定理的本质。古希腊学者的深邃思考，把它归于更原始的公理，并且必须由平行公理出发用逻辑演绎方法加以证明。要欣赏数学的“真”，就必须挑明这两者的区别。这样的认识，不会自动产生。只有教师把问题挑明了，学生感到数学推理的价值了，数学“欣赏”也就在其中了。

记得著名作家谈祥伯先生说过这样的故事：他是1947年上海大同中学的毕业生，60年之后，老同学聚会见面，几位研究物理学的老同学说，一个物理学定理成立，只要重复做几次实验，结果都稳定地体现某一个规律，研究就算成功了。可是数学则不行。比如，哥德巴赫猜想是说“一

个充分大的偶数必定可以表示为两个素数之和”，虽然我们已经用超级计算机验证过，凡小于10的偶数都是两个素数之和，但是仍然不能说这个猜想已经成立。

比如，上面提到的三角形的三条高交于一点的结论，只有用逻辑证明之后，才会确信无疑。此时的证明，会像醍醐灌顶，豁然开朗，受益无穷。

再举一个教学设计的例子：“对顶角相等”，这是平面几何开头的第一个定理。定理本身非常直观，无庸质疑。如果就事论事地解说一番，或者时髦地让学生“量一量”、“拼一拼”那样地活动一下，都不能使学生获得数学之“真”的欣赏。

事实上，我们的主题不是“对顶角相等”的知识本身及其如何证明，关键是要问：这样明显的命题要不要证明?一般而论，这么简单的问题何须证明?一本正经地证明一番，岂不是自找麻烦?但是古希腊数学家认为需要证明。认知冲突发生了，数学教学进入了核心部分。

如图2所示，∠AOC+∠COB=∠BOD+∠COB=180度，两边减去∠COB，即得∠AOC=∠BOD，命题得证。

问题归结为“等量减等量其差相等”的更加明白易懂的这一公理加以证明，恰是人追求伟大理性精神的关键一步。只有把教学重点放在‘要不要证’，而不是让学生被动地接受这一命题的知识，才会让学生知道自己的浅薄，体验古希腊理性精神的伟大。

从“显然正确因而不必证明”，到“崇尚理性需要证明”，是一次思想上的飞跃和升华，可以说震撼了莘莘学子的“灵魂”。不过，现行的教材大多没有这样写，课堂上教师也很少这样教。许多学生犹如猪八戒吃人参果，吃到肚里却不知道什么滋味，未免可惜。当数学理性的“欣赏”出现缺失的时候，当知我们努力之所在了。

三、中国科学传统中缺乏理性思维的成分，几何教学应当加以补足

中国古代数学具有辉煌的成就，尤其以算法体系的特征，为人类的文明进步做出过重大的贡献。中国的几何学，以勾股定理为核心，运用一些逻辑推理方法，得到了许多重要的结论，并服务于天文、建筑、治水等许多科学工程问题的解决。但是，无庸讳言的是，中国的几何学缺乏严密的公理化体系。中国古代数学中，没有“角”的概念，更没有“对顶角相等”、“三角形内角和为180度”这样的命题。

正是对数学理性精神的欣赏与震撼，使得徐光启发出《几何原本》“以当百家之用”的呐喊。徐光启在《刻几何原本序》中所说，对于几何学提供的知识，我们有四不必：“不必疑，不必揣，不必试，不必改”；有四不可得：“欲脱之不得，欲驳之不得，欲减之不得，欲前后倒之不得”，颇为震撼。徐光启作为首先接触这一严密逻辑体系的中国人，他敏感地觉察到这种定理体系的叙述和中国古代数学著作的本质区别。他认为，几何是理性的思维，几何问题由“四望无路”到“蹊径历然”、“自首迄尾，悉皆显明文字”。

联想到我们的几何教学，是否也能让学生具有徐光启那样的感受，接受古希腊理性思维的洗礼呢?数学课上如果老是‘做题目”，不能触及数学思想，不能在情感上得到某种震撼，几何学的教学目标就丢失了大半。

中学生的几何学习从“拼”开始最终还得落实到“证”。至于这时机如何拿捏倒是学问。教材和教师都要精心设计使学生从直观几何到论证几何、从归纳推理到演绎推理的过渡阶梯。

四、理性思考，导致更深刻的应用

人之所以区别与其它生物而主宰了世界，一个重要的理由是，动物的某些符合数学原理的行为人也能做，然而，人更为出众的是，善于从一些纷杂的现象中归纳出规律，并跳出经验的层面，用理性去分析和研究它，并最终在改造自然的实践中得以运用。

例如，本文一开始举的‘两点之间的连线以线段为最短”的例子，戏谑为连狗都知道的道理。但是人要做的，若重复着狗的做法，比如在草坪里踩出一条所谓符合数学公理的捷径，那便是一种悲哀了。人们从众多狗儿们的表现中，明白了一个公理，并能理性地进行归纳、总结，应用于各种不同的情形，包括生活实践，那才是人应该做的事。

比如说，小狗在一条水渠的一边A地，肉骨头在水渠的另一边B地，显然，出于动物的本能，他会跳过水渠而直奔肉骨头而去。但是，问题如果改为，小狗从水渠的一侧A地要跑到同侧的B地，且小狗很渴，中间必须在水渠里饮水一次，问最短路线是怎样的(如图3所示)。

那么，小狗是断然不会想到作点A关于水渠的对称点A"后再连结A"B，找到A"B与水渠的交点的，这就是人的理性精神有别于其它动物的真实写照。可以相信，口渴的小狗一定会直奔水渠而去，然后再直奔B地的。虽然它仍然符合另一个数学原理“点到直线间的距离以垂线段为最短”，但小狗却只能是小狗，因为它只是出于动物的本能，不会理性地分析，在各种不同的方案中进行取舍。而人却可以做到。

所以说，从几何直观到几何的理性分析，我们既要解决这个问题是怎么来的，还要解决要不要证和如何证的问题，更重要的是解决怎么用的问题。因为，数学规律上升到应用的层面，理性的认识才能更深刻地感觉。

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