用特殊法巧解一类抽象函数问题

总结出一般性的结论，这一过程体现的是从“特殊到一般”的思维过程.抽象函数体现的即为一类函数的一般性特征，在解决有关抽象函数的问题时，若能将其转变为具体的函数，实现“一般到特殊”的思维逆转，进而对其解析式研究，则可使问题简化.下面举例说明.

例1 （2014年东北三省三校联合模拟）设函数f（x）的导函数为f ′（x），若对任意x∈R都有f ′（x）>f（x）成立，则正确的结果是（ ）.

A.f（ln2014）<2014f（0） B.f（ln2014）=2014f（0）

C.f（ln2014）>2014f（0） D.以上结论不确定

分析与解答 函数f（x）为满足对任意x∈R都有f ′（x）>f（x）的抽象函数，而题目结论是f（ln2014）与2014f（0）的大小关系，此时若是能求出f（ln2014）与2014f（0）的值，则可以得出结论，即若能知道函数f（x）的解析式，便可解决此题.由于要满足f ′（x）>f（x），而对于常值函数f（x）=a（a为常数），恒有f ′（x）=0.若a<0，则有f ′（x）=0>f（x）=a，此时便可得到结论.所以不妨令f（x）=-1，则对任意x∈R都有f ′（x）>f（x），则f （ln2014）=-1，2014f（0）=-2014.因为-1>-2014，所以f（ln2014）>2014f（0），故答案选C.

评注 此题存在f（ln2014），结合题目中的条件可令f（x）=-e-x，有f ′（x）=e-x，满足f ′（x）>f（x）.此时f（ln2014）=-12014，2014f（0）=-2014.因为-12014>-2014，所以f（ln2014）>2014f（0）.由此可得，特殊化的形式并不一定是唯一的，通常若抽象函数能具体为常值函数，就将其特殊成为常值函数，可使运算变简便.

例2 （2015年全国）设函数f ′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf ′（x）-f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是（ ）.

A.（-∞，-1）∪（0，1） B. （-1，0）∪（1，+∞）

C.（-∞，-1）∪（-1，0）D. （0，1）∪（1，+∞）

分析与解答 由于f（x）是奇函数，则不能考虑常值函数，若将函数具体成三角函数比较困难，所以可以考虑将函数具体成多项式.若考虑一次函数，则不满足条件：当x>0时，xf ′（x）-f（x）<0，结合已知条件，函数的每一项的次数应该为奇数，则可令f（x）=-x3+x.解f（x）=-x3+x>0易得x<-1或0

评注 当抽象函数无法具体成常值函数时，要结合题目中的已知条件，选择合适的函数模型.

例3 （2014年全国）已知偶函数f（x）在A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D. a>c>b

分析与解答 此题函数y=f（x）在R上满足f ′（x）-f（x）>0，但由于函数为奇函数，所以无法将其特殊为常值函数.但观察到题目中存在f（ln2）与f（ln3），结合函数的性质，则可令f（x）=ex-e-x，所以a=f（ln3）3=3-1/33=89，b=f（ln2）2=2-122=34，

c=-ef（1）=-e（e-1e）=1-e2.因为89>34>1-e2，则a>b>c，故答案选A.

例5 定义在R上的函数f（x）关于点（1，1）中心对称，又是偶函数，那么在区间内，方程f（x）=1至少有

实数根.

分析与解答 此题中的函数f（x）既是中心对称函数，又是偶函数，显然不能化为常值函数模型，但可联系到正、余弦函数模型.由于函数f（x）是关于点（1，1）中心对称的偶函数，不妨令f（x）=cosπx2+1，而f（x）=1即f（x）=cosπx2+1=1，有cosπx2=0，又x∈，则x=1，3，5，7，9，即有五个实数根.

当在选择题与填空题中遇到有关抽象函数的问题时，可以根据题目中的已知条件将其特殊为具体的函数，通常先观察函数能否化为常值函数.若能，则将其具体为一个常值函数，若不能，则可根据题目中的条件确定合适的函数模型，将其解析式确定下来，再对其进行研究.

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