形象美，让数学学习充满无限乐趣

教育科学规划课题《数学教学与美感教育相结合实践研究——以赣州市某小学为例》（课题编号：17096）阶段性成果.

黑格尔说：“美只能在形象中出现.”数学是研究数与形的科学，数形的有机结合，组成了万事万物的绚丽画面.数字美、符号美、线条美，等等，无不具有形象美.几何形体中那些优美的图案更是令人赏心悦目.如，三角形的稳定性，平行四边形的变态性，圆蕴含的广阔性……都给人以无限遐想.脱式运算的“收网式”变形以及统计图表，则是数与形的完美结合.可以说，在数学世界里，数字与图形，平面与立体、静止与旋转，使数学学习充满着无限的乐趣.

一、展示数学的简洁美，让学生从此爱上数学

简洁美是人们最欣赏的一种美，在艺术、建筑、徽标等的设计中最为常见.数学更是以简洁而著称.我们在教学中要善于为学生展示数字的美、数学符号的美以及线条的美，让学生充分感受到数学美的外在表现.例如，在小学低年级的数学教学中，我们可以告诉孩子们，数学王国是由数不清的数字组成的，所有的数都可以由1，2，3，4，5，6，7，8，9，0来表示，来自不同国度、拥有不同母语的人通过学习，都能够掌握数字与事物之间的对应关系，以及对客观世界的描述.让孩子们从一开始接触数学学习，就能够感受到她的简洁之美，从而爱上数学.我们还可以展示数学符号的简洁美，如，未知量x，y，z；已知量π，e，a，b，c；运算符号+，-，×，÷，sin，cos；函数关系f（x）；形状符号△，□，；大数和小数的表示10221，28 6243，10-900；等等，无不体现着数学的简洁美.

“数学中所谓美的回答，是关于困难而繁杂的题目的简单回复.”（法国哲学家狄德）事实上，数学的简单主要体现在简单的语言以及求解方法的简化.数学起源于哲学，哲学中的对立统一规律在数学中的体现就是统一性.统一是简单的基础，简单是数学的魅力.我们要引导学生用统一的眼光看数学，领悟动与静的统一，数与式的统一，运算与映射的统一，二维与三维的统一.当我们用统一的眼光去看待数学，才能将数学由厚读薄，由浅入深，才能领略到数学的简洁之美，从而爱上数学.

二、理解数学的对称美，让数学学习遇见惊喜

可以说，数学中的对称随处可见：简洁的数学运算公式本身就富含着对称的元素，比如，加法交换律a+b=b+a，乘法交换律a×b=b×a，加法结合律（a+b）+c=a+（b+c），乘法结合律a×b×c=a×（b×c），乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c，以及二项式的展开式：（a+b）n=C0nan+C1nan-1b+…+Cn-1nabn-1+Cnnbn中，C0n=Cnn，C1n=Cn-1n，C2n=Cn-2n，…，也显出一种对称美.

除此之外，图案的对称美更让人赏心悦目，几何中的点对称、线对称、面对称、球对称等，组成的图形变幻莫测，更不用说利用中心对称、轴对称、镜像对称等可以幻化出无数令人惊喜的美妙图案，带给我们舒适优美的感觉.

毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；圆也是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴.为什么说一切立体图形中，最美的是球形？一切平面图形中最美的是圆形呢？因为这两种形体在各个方向上都是对称的.此外，像一般的正多边形，正多面体，旋转体与圆锥曲线等，都体现出了完美的对称性.

对称是数学美的重要内容，其实质是对数学概念，对立统一的重要体现，在形式和结构、命题和图形中有着不可磨灭的必要性.在几何中，从最基础的圆、椭圆、双曲线到各类几何变换群，对称性都体现得相当明显.这些对称性是数学形式美的直观表现，它直接给人以美的享受，为人们提供了良好的平衡感和充分的审美体验.

另外，数学中更多的是基本概念、定理、法则的对称性，这也是数学内容对称美的具体表现.在小学数学中，奇数与偶数、合数与质数、约数与倍数、整数与分数、和与差等，都有一种很强烈的对称美感.而在具体的几何图形内部，如，平行四边形的两对边相等，三角形中的角与对边的关系等，都散发着对称美的光辉.

接下来，让我们欣赏一下杨辉三角组成的美丽的对称图案：

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

……

在杨辉三角的图案中，每一行除了首尾的数字是1以外，其他的任何一个数字均为左上角和右上角的数字之和.这样就构成了极有规律的，并且是呈对称形状的三角图案了.它的构形优美、结构奇特，体现了整齐、对称、协调，给人以美的感受.

此外，类似的例子还有“1的金字塔”，等式的右边都是“回文数”：

1×1=1

11×11=121

111×111=12321

1111×1111=1234321

11111×11111=123454321

111111×111111=12345654321

1111111×1111111=1234567654321

11111111×11111111=123456787654321

111111111×111111111=12345678987654321

解题过程中体现出来的对称美：

0×9+1=1

1×9+2=11

12×9+3=111

123×9+4=1111

1234×9+5=11111

……

数学之美，美在数学对客观世界和谐协调、井然有序的真实反映.领悟到了数学的美，可以使人们拥有对客观世界居高临下、囊括一切的认识，体会到揭开奥秘之后恍然大悟的惊喜，从而增强人们洞察世界的深度和广度.

三、欣赏数学的奇异美，让数学学习充满无限乐趣

在生活中，人们提起数学的时候通常会说“奇妙的数学”，的确，数学的学习和解题中确实有一些非常规的奇妙的解法，让我们的思路不再墨守成规，这就是我们通常说的数学的奇异性.

徐利治教授说“奇异是一种美，奇异到极度更是一种美.”奇异性是数学美的一个重要特征，它反映了显示世界中非常规现象的一个侧面，也是数学发现中的重要美学因素.数学领域中的一些新的观念的产生，就是来自对奇异美的追求.

先看看“幸运的倒序数”.在多位数的减法计算教学过程中，教师可以这样引入：“倒序数连续相减会出现什么情况呢？比如，451从右往左念就是154，相减得多少？板书451-154=297，297的倒序数是792，相减得多少？板书792-297=495，495的倒序数是594，相减又得多少？这样，会不会一直减不完呢？大家猜猜看.”

学生的兴趣立刻高涨，有的猜，有的思考，有的干脆动笔计算.教师及时引导：“答案到底是多少呢？快算一算吧！”短暂的安静之后，有学生兴奋地喊：“0！0！最后结果是0！”594-495=99，99-99=0.

“那么，是不是只有451有这样的情况？其他的三位数与倒序数连续相减也会得到这样的结果吗？”一石激起千层浪，学生们跃跃欲试，投入到计算当中……“我找到了一个！623！”……“我也找到了一个！542！”“还有，311也是.”“654”……

在教师的精心设计下，简洁、对称、奇异的变化，吸引着学生一步步地感受着数学的魅力，给枯燥的计算课披上了一层神秘的面纱，好玩又有趣.

讓我们再看看缺8数拥有着怎样有趣而奇特的性质：

12345679×9=111 111 111

12345679×18=222 222 222

12345679×27=333 333 333

12345679×36=444 444 444

12345679×81=999 999 999

12345679×12=148 148 148

12345679×15=185 185 185

12345679×57=703 703 703

我们在教学“奇妙的9”时，还可以列举以下式子，这也是数学奇妙性的反映：

2×9=18 1+8=9

13×9=117 1+1+7=9

26×9=234 2+3+4=9

56×9=504 5+0+4=9

78×9=702 7+0+2=9

通过观察，可以引导学生发现任意一个大于1的自然数乘9，乘得的积的各个数位上的和仍然是9.这是多么美妙的发现啊！学生在体验成功喜悦的同时，也体会到了数学的神奇，感受到了数学自身的魅力.

在我们的生活中，数学无处不在.正如华罗庚所说：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学.只是，你发现了吗？发现数学、发现数学之美.用心去体会吧，数学自有她非同一般的美，犹如行云流水的诗句、婉转美妙的乐章、令人爱不释手的画卷、使人流连忘返的美景，同样会使数学学习者们激情荡漾，兴趣盎然！让我们用心去教学，用智慧深层次地去挖掘，让更多的人体会到她的美学价值，她丰富而深遂的思想内涵对人类思维的深刻影响，从中获得成功的喜悦和美的享受，不断深入其中，欣赏和创造美.

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