数学建模与信息技术

[摘要] 数学建模与信息技术的整合是当前大学数学课程教学创新的有力生长点。在课堂教学形式下，如何整合数学建模、信息技术与大学数学教学，构建新型教学模式具有重要的现实价值。

[关键词]数学建模，信息技术，数学教学，整合，教学模式。

[中图分类号]O13[文献标识码]A[文章编号]1005-4634(2006)04-0326-04

计算机的迅速普及和数学建模技术的广泛应用给数学本身及数学教育带来强劲的冲击和深远的影响，数学建模与信息技术成为现代数学教育改革的两个最关键因素。数学建模与信息技术的整合已成为21世纪数学课程教学创新的有力增长点。

1数学建模和信息技术为现代数学教育注入活力

数学建模将实际问题数学化，是一种创造性过程，它展现给学生的是一个“微型”的科研过程。通过数学建模将学过的数学知识和方法同周围的现实世界联系起来，不仅使学生知道数学有用、怎么用，体会到在真正的实际应用中还需要继续学习，而且可以使学生体验到数学的魅力和价值。数学建模表现出独特的作用：①有利于培养学生的洞察力、想象力和抽象能力。实际问题常常是非常规的，没有标准答案。只有发挥创造性，通过观察、联想、判断、解释，才能在看似无序的状态中找出结构；②有利于培养学生的数学思维和数学意识。建模过程需要调用各种数学知识与方法去分析，才能把表面上完全不同的实际问题用相同或相类似的数学模型去描述；③有利于培养学生综合运用各种知识的能力。事实上，在数学建模中，学习者面临的问题往往是复杂的、综合性的，学习过程中涉及的知识面是跨学科的，需要综合运用多方面的知识才能予以解决，这不仅是数学知识的综合运用，也是不同学科知识的综合运用；④有利于培养学生应用计算机求解数学问题的能力。建模过程中利用计算机的强大功能进行数据处理、过程模拟、分析求解，能实现数学与计算机的结合；⑤有利于培养学生的交流、合作、团结和创新精神。数学建模需要多个人方方面面的合作，既有分工负责，又有合作交流，可以陶冶情操，培养合作攻关的科研能力；⑥有利于培养学生求真务实的科学态度。数学建模由于没有既定的模式，所以失误在所难免。学生在不断修改错误、发现真理的过程中，可以锻炼意志品质，克服恐惧、依赖心理，增强应变能力。

信息技术集文字、声音、图形、影像、动画等各种信息表现形态于一身，为数学教学提供了一个理想的环境和操作平台：①信息技术的集成功能，可以提供多元化的学习情境，产生多样性的外部刺激，有利于学生对知识的获取和保持；②信息技术的再现功能，可以对一些抽象的过程、微观的现象进行模拟，对动态的过程、瞬间的现象进行定格分析，使教学内容变得具体生动；③信息技术的虚拟功能，使教学内容的呈现摆脱了文字平面化叙述方式，学生既可进入微观世界，也可进入宏观领域；④信息技术的超文本功能，能实现教学信息组织表达的最优化，使过去难以实现的教学设计变为现实；

⑤信息技术的扩充功能，使教学内容突破对教科书和教学辅导书的局限，实现教学资源的多样化；⑥信息技术的交互功能，能实现人－机、人－机－人之间的多向沟通，实现人－机之间的交互学习。

数学建模与信息技术的整合使数学变得更加现实了，使数学模型思想发展到了一个前所未有的水平，它可以把数学家头脑中的“数学实验”变成现实。如利用计算机可以左右实验的进程，可改变模型的初始条件、计算方法等，它为研究许多不同的假说创造了条件；利用计算机可以创造一种模拟实验环境，重现所要描述的客观现象，进而对呈现的某些规律作出判断、预测。如中子扩散、地震效应就是采用计算机模拟形式对其运动规律作出判断预测的；利用计算机可以对大型工程项目的多种设计方案进行比较，以选取最佳方案。如大庆油田某个区的开发方案，便是利用计算机比较了两千多个方案后才确定的。尤其对于那些危险性很大或投资多的实验，数学实验正在逐步取代实物实验。

数学建模与信息技术的整合为现代数学教育注入生机和活力，还产生了两门新课程——《数学实验》和《数学建模》，这两门新课程的建设已成为高校数学教育改革的重头戏和推进剂。

2基于数学建模、信息技术的数学教学模式——数学建模实验

数学建模实验是一种科研方法。科学家使用数学软件研究数学问题（探索、猜想、求解、验证），解决实际问题（建立数学模型、求数值解、进行计算机模拟）；数学建模实验也是一种学习手段。学习者可以借助计算机（数学软件）绘函数图形，做动态画面，从观察中发现某些现象，从现象中猜测某些性质，对猜测的性质进行证明或反证，对证明的性质进行推广应用，在教师指导下进行数学的发现和学习，获得在传统学习环境中无法获得的知识信息。随着数学教育改革的深入，“数学建模实验”已逐步成为一种新的极具生命力的数学教学模式。数学建模实验课的教学可分三个层次进行：

1）基本能力层。教师通过在工科数学教学中融合数学建模实例或集中开设《数学实验》课程，引导学生进行简单的数学实验，让学生体验数学建模思想，体验数学应用，体验尝试成功的喜悦和反复调试的苦恼，提高学生用计算机求解数学模型的意识和能力；

2）具体能力层。通过开设全校性选修课《数学建模》，系统介绍数学建模的方法和步骤，使学生能模仿建立数学模型，掌握数学建模软件的使用，会设计算法，编制程序，并上机调试，会进行各种数学处理和计算，这是学生数学建模能力培养的重要阶段；

3）问题解决层。这是数学建模教学的高级阶段，主要通过每年的全国大学生数学建模竞赛活动，以数学建模竞赛集训形式展开。要求学生具有对生产、生活、工程等实际问题的洞察力、理解力和抽象能力，通过采集、整理、分析判断数据和信息，发现量与量之间的关系，建立数学模型，利用计算机对所建立的模型设计算法，编制程序，上机计算，对计算结果进行分析处理、检验与评价，从而有效地解决实际问题，最终还要写成科技论文。学生可根据自己的具体情况提出问题，可发挥自己的特长和个性，从不同角度、层次探索问题解决的方法，从而获得综合运用所学知识和方法解决实际问题的经验，发展学生的创新意识和创新能力。

数学建模实验关键在于“实验”，“实验”这两个字恰恰是现行数学教育最缺乏的东西，因而数学建模实验作为一门课程是对现行数学教育的一种重要补充和扬弃。其体现出如下基本特征：

1）应用性。应用性是数学建模实验的最基本特征。第一，数学建模实验重在数学知识技能的应用，不在于数学知识量的掌握；第二，数学建模实验提高了学生的应用意识；第三，数学建模实验使数学应用的普遍性得到充分体现，使学生感受到数学是无所不在的；

2）综合性。在数学建模实验中，学习者面临的问题往往是复杂的、综合性的，学习过程中涉及的知识面是跨学科的，需要综合运用多方面的知识才能予以解决，这不仅是数学知识的综合运用，也是不同学科知识的综合运用。数学建模实验是一种真正意义上的综合课程；

3）主体性。数学建模实验既然是实验就要求学生多动手、多上机。教师不再作为知识的权威而将预先组织的知识体系传递给学生，学生不再作为知识的接受者被动地听任教师的摆布，课程成为师生共同探索新知识的发展过程；

4）过程性。数学建模实验并不是一种知识教育，而重在实验的过程。“数学实验就是对数学进行折腾”，“就是让学生自己折腾，自己动手做，自己用眼睛观察，自己从观察到的现象中得出结论，猜测和验证规律。”在数学建模实验过程中，学习者是否掌握某项具体的知识或技能并不重要，关键是能否对所学的知识有所选择、判断、解释、应用，从而有所发现、有所创造。换句话说，数学建模实验的过程本身也就是它所追求的结果；

5）体验性。数学建模实验既重视学习过程中的理性认识，又十分重视感性认识，即学习的体验。因此，教学目标不是教完多少知识点、多少种算法，而是强调让学生尝试和体验，通过实验的过程尝试和体验数学的探索、发现和应用。体验了，尝试了，尝到味道甚至只是闻到气味了，就达到了教学效果；

6）合作性。数学建模实验是问题解决的学习，学习者面临着复杂的综合性问题，因此需要依靠学习伙伴的集体智慧和分工协作。这有利于培养学生的合作意识与能力，体现了时代和社会的要求；

7）创新性。数学建模实验中，需要对事物系统、运动变化过程有深刻而全面细致的了解，需要对实际背景做去伪存真、去粗取精、简化变换等步骤，需要对于对象及对象体系中的复杂众多的数值进行排列、集中、表示、计算、分组、分层、分类、直观化、函数化等等工作，这些工作需要丰富的想象力和敏锐的洞察力，需要一定的直觉思维能力和发散思维能力，需要一定的灵感和顿悟，因而数学建模实验有助于培养学生的创新能力。

3数学建模与信息技术的整合引发数学教育的三大质变

3.1从重“做”数学到 “做”与“用”并重

传统教学中，学生的数学活动只是“做”数学。教师在黑板上讲数学，学生则每天在课堂上听数学和在纸上做数学题。而现代科学的发展要求各类专业科技人才应该具有将他所涉及的专业实际问题建立数学模型的能力。故现代数学教育不仅注重培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数学运算能力，而且注重培养学生的数学建模能力与数值计算能力（含数据处理能力），即注重培养学生“用”数学解决实际问题的能力，会用计算机进行科学计算的能力。

3.2从重“思维”到“思维”与“实验”并重

在传统观念中，学数学只需动脑，不必动手，轻视实验。认为数学学科是一种具有严谨系统的演绎科学，数学活动只是高度的抽象思维活动，始终逃脱不了定义、公式、定理、法则、例题、习题的模式。实际上，数学与其它自然科学一样，也要使用“观察”和“实验”来形成、发展、检验理论。G波利亚曾指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来像是一门实验性的归纳科学。”弗赖登塔尔也曾指出：在传统的课堂里，再创造方法不可能得到自由的发展。它要求有个实验室，学生可以在那儿个别活动或是小组活动。

不过，传统的数学观仍然认为即使数学需要实验也只是进行所谓的思想上的实验（欧拉、拉卡托斯称之为“准实验”）。而计算机促成了实验数学的诞生，使之与纯粹数学、应用数学鼎足而立。正如郝柏林院士等人所指出的：“近20年来一部分数学家已经在热烈讨论‘实验数学’的发展。人们把计算机作为数学实验室，不仅直接解决无法用解析方法处理的难题，寻求有助于抽象思维的特例或反例，而且还把它作为导致新发现和严格数学结果的工具。”著名的“四色定理”，便是借助于计算机获得证明的。混沌学的创立和发展，则可以说是计算物理与实验数学相结合的成果。

现代数学教育不仅重视思维，而且重视实验。数学不仅是思维的科学，也是实验的科学。

3.3从重“教”到“教”与“学”并重

传统教学片面强调教师与教师的教，其表现有二：一是以教为中心，学围绕教转；二是以课堂为中心，学在课堂里转。数学建模、信息技术整合于数学课程教学，带给教师教的过程与学生学的过程以极大的变革。数学建模实验以实验室为基础，以学生为中心，以问题为主线，是学生积极、主动、自觉地探求知识、解决问题的过程。教学不再显得机械、沉闷，显现出勃勃生气。

现代数学教育不仅重视教，也重视学。不仅要求学生具有主动探究的精神，而且要求学生对自己的探究过程主动做出监控和调节，对自己的探究结果做出总结和评价。教围绕学转，以激发学生的主动性、自主性和创造性。

总之，数学建模、信息技术蕰涵着先进的教育理念，同时为实现新教育提供了技术、方法和认知工具，支撑着新型教学模式的建构。要努力让学生接受到高质量的数学知识、思想、方法的教育，特别是数学建模、数学实验和数学软件的教育，如此才能体现出数学教育的活力和价值。

参考文献

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2叶其孝.把数学建模、数学实验的思想和方法融入高等数学 课的教学中去[J].工程数学学报,2003,(8).

3李尚志.培养学生创新素质的探索[J].大学数学,2003,(1).

4李昌兴.数学实验与现代数学教育[J].陕西师范大学继续教育学报, 2001,(4).

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