试论“数学建模”素养形成和发展的基本途径

活动，把“数学建模活动与数学探究活动”和函数、几何与代数、统计与概率等并列作为贯穿课程始终的四条内容主线之一，并在评价考试建议中，要求保证“一定数量的应用问题”“重点考查学生的思维过程、实践能力和创新意识”等，让促进学生实践创新能力和数学建模素养的发展实实在在落在数学课程中，落在数学教学、数学学习、评价考试中，那么，在课程实施中应如何有效地促进学生“数学建模”素养的形成和发展呢？本文拟就此作些探讨.

1 数学建模的含义

数学建模（ Mathematical Modeling）是指用数学符号、数学式子、程序、图表等对现实世界相关问题的本质属性进行抽象，并用数学语言进行准确而又简洁的刻划，提炼出能够恰好反映问题本质的数学模型（Mathematical Model），并通過对这个数学模型的解决，实现或解释某些客观现象、或预测未来发展规律、或为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略的目的，当然，这里的数学模型，一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识，建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程，数学建模一般包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题等环节，

数学建模素养是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养，是最重要的数学素养之一，是联系数学世界与现实世界的基本桥梁，将数学的知识、方法和思想应用于数学之外，解决实际问题的基本通道，体现了数学的创新意识与应用意识，具有数学建模素养的学生，能够在若干具体的现实世界中抽象出数学问题，并灵活运用已有的数学知识、方法和思想创造性地解决问题，数学建模素养有利于激发学生的应用意识与创新意识，促进学生实践、创新能力的提高，

根据《普通高中数学课程标准（2017版）》，高中学生“数学建模”素养的相关要求如下表：

2 促进“数学抽象”素养形成和发展的基本途径

通过上述讨论我们知道：数学建模实际上是对现实问题数学化处理，用数学语言表达问题，用数学知识和方法建构模型解决问题的过程，完整的数学建模一般包括模型建构、数学求解及模型解释三个阶段，模型建构阶段主要是利用数学的眼光发现蕴含在现实世界中的问题，借助数学思维对问题进行分析，并利用数学语言对问题进行表达，建构数学模型，实现从现实世界到数学世界的过渡，其核心在于合理地选择、应用数学模型;数学求解阶段主要是利用数学的知识、技能、方法和思想对数学模型进行求解，得到数学模型的解，其核心在于科学合理地应用数学手段准确地求解;而模型解释阶段主要是借助数学模型的解，验证数学结论与实际问题的吻合程度，并据此对模型进行反思、调整和改进，确保模型能较好地反映实际问题，并用于预测或决策，由此可见，数学建模是一种综合运用知识分析解决问题的过程，不但要有敏锐的数学眼光，而且要有扎实的数学知识，数学建模素养的形成和发展不可能是一蹴而就的，具有阶段性、连续性、整合性等特点，是一个漫长的过程，因此，《普通高中数学课程标准（2017版）》在谈到数学建模时特别强调，“教师应整体设计、分步实施数学建模活动与数学探究活动，引导学生从类比模仿到自主创新、从局部实施到整体构想，经历‘选题、开题、做题、结题’的活动过程，积累发现和提出问题、分析和解决问题的经验，养成独立思考与合作交流的习惯”.

2.1 借助习题教学，交给“数学建模”方法

发展学生数学建模素养的目的在于使学生学会用数学的眼光去认识自己生活的社会和环境，学会以数学的思维方式对现实世界的问题进行思考，并将所学的数学知识、方法及思想合理地应用于生活实践，解决现实生活中的问题，但是，任何的学习都是从模仿开始的，学生数学建模的素养也是在一节课一节课、一个单元一个单元、一个主题一个主题的学习中不断积累，逐步从模仿、吸收、内化的过程中形成和发展起来的，在日常教学中，应关注寻找数学知识在客观世界中的实际背景，引导学生提炼相应的数学模型，分析模型的实际意义及适用情景，如，在函数的教学中应有意识地引导学生把握直线上升、指数爆炸、对数增长等函数模型，分析各种模型的增长含义及其在人口增长、利息计算、投资回报等方面的实际应用，剖析各种增长模型在现实生活中的适用情形，建构学生数学建模的认知基础，并在这个基础上，合理利用具有实际应用意义的例习题，通过对问题的合理解剖、分析，引导学生初步学会通过数学建模解决实际问题，初步掌握数学建模的基本方法和过程，

案例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案1：每月回报40元;

方案2：第一个月回报10元，以后每月比前一月多回报10元;

方案3：第一个月回报0.4元，以后每月的回报比前一月翻一番，

请问，你会选择哪种投资方案？

要解决这个问题，可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，选择投资方案，为此，设第x月所得回报是y元，则方案1可以用函数y= 40.xeN*进行描述;方案2可以用函数y=lOx.x∈N*进行描述;方案3可以用函数y= 0.4×2x-1，x∈N+进行描述，

三个模型，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型，要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，为此，我们先用计算器或计算机计算三种方案所得回报的增长情况如下表：

由上表和图象可知，方案1的函数是常数函数，方案2、方案3的函数都是增函数，但方案3的函数与方案2的函数的增长情况很不相同，可以看到，尽管方案1、方案2在第1个月所得回报分别是方案3的100倍和25倍，但它们的增長量固定不变，而方案3是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7月开始，方案3比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案1、方案2无法企及的，从每月所得回报看，在第1-4月，方案1最多;在第5-8月，方案2最多;第9月开始，方案3比其他两个方案所得回报多得多，再通过比较投资期间的总收益，知道：如果投资时间不超过7个月，选择方案1;投资时间超过7个月但不超过10个月，选择方案2;投资时间超过10个月，选择方案3.

结合问题的解决，在解决问题的过程中阐述数学建模的基本过程，并给出解决问题的流程图：

在这个阶段，侧重点是让学生熟悉相关的数学模型，把握数学模型的含义及适用情形，学习数学建模的基本流程，是方法的习得阶段，实现“了解熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，了解数学模型中的参数、结论的实际含义”，“知道数学建模的过程”，达到数学建模水平1的要求，是数学建模素养的初步养成阶段.

2.2 经历问题解决，积累“数学建模”经验

数学建模是综合应用数学知识解决现实问题的过程，需要灵活地将所学的数学模型合理地应用于实际问题之中，单凭模仿是无法完成的，模仿的目的是为了能够自主地应用，当然，这个目标的实现，不但要掌握数学建模的基本流程，还需要具备较丰富的数学模型、把握相关模型的含义及适用情形，这需要一个漫长的逐步内化的过程，因此，在数学知识的教学中应根据具体数学模型，通过适时的合理变式，营造解决实际问题的氛围，让学生初步经历应用知识解决问题的过程，通过相对独立地解决实际问题，实现“能够选择合适的数学模型表达所要解决的数学问题;理解模型中参数的意义，知道如何确定参数，建立模型，求解模型;能够根据问题的实际意义检验结果，完善模型，解决问题;能够在关联的情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义;能够运用数学语言，表述数学建模过程中的问题以及解决问题的过程和结果，形成研究报告，展示研究成果”，达到数学建模素养水平二的要求，并在这个过程中积累数学建模的基本经验，为数学建模素养的进一步发展提供保证，

案例2 在解三角形的教学中，在讲解相关例题的基础上，通过变式让学生借助皮尺、测角器测量河对岸的某建筑物的高度，引导学生依据数学建模的基本流程进行分析讨论：

这个阶段是知识的初步应用阶段，应合理把握问题的难度及其与所学知识的关联度，不宜选择过难或过于综合的问题，并坚持以“教师为主导，学生为主体”的原则，在教师的指导下，学生自主尝试应用所学知识进行数学建模、解决问题，重在个体体验，让学生体验中初步学会应用所学的数学模型解决实际问题，为进一步提高数学建模素养积累经验.

2.1 通过实践活动，提升“数学建模”素养

当代教育理论研究表明，学生精确地掌握好基本概念、基本原理，并使之高度概括化、结构化，是促进知识迁移和能力发展的最重要的条件;但知识和方法的学习仅仅是能力和素养形成的一种条件，而人的能力和素养只能在一定的实践活动中形成和发展，因此，教学中不但要引导学生把握数学建模的基本方法，掌握数学模型的确切含义及实际意义，更要在这个基础上，根据学生的学习积累适时地选择适量的具有一定挑战性的实际问题，引导学生综合应用相关知识解决实际问题的数学建模实践，实现“能够选择合适的数学模型表达所要解决的数学问题;理解模型中参数的意义，知道如何确定参数，建立模型，求解模型;能够根据问题的实际意义检验结果，完善模型，解决问题;能够在综合的情境中，运用数学思维进行分析，发现情境中的数学关系，提出数学问题;能够运用数学建模的一般方法和相关知识，创造性地建立数学模型，解决问题”等，不断提高数学建模素养，

案例3 一杯88°的热水，放在室温为24°的房间，那么水温自然冷却到35°，需要多少分钟？

这是一个实际问题，应如何解决它呢？要解决这个问题，必须知道热水在自然冷却过程中水温变化的曲线，如何得到这条曲线呢？这样自然就有以下解决问题的过程：

（1）提出问题：将水加热到一定温度后放在室温中自然冷却，采集冷却过程中水的温度y随着时间x的变化数据，作出水温随时间变化的曲线图，选用一个函数模型表示该曲线并求出该函数的解析式.

（2）数据采集与整理：记下室温，将一杯水加热到一定温度，借助计算机与TI温度传感器采集水温变化数据.

（3）数据统计与分析：利用TI图形计算器将收集到的数据发送到“数据与统计”，得到一条温度随时间变化的散点图.

（4）模型选取与建立：观察曲线形状，选择一种恰当的回归模型，得到一条回归曲线及其方程，如二次回归模型、三次回归模型、指数回归模型等.

（5）模型求解与检验：根据不同的模型分别计算某些时刻的水温，发现：用二次回归模型刻画，经过一定的时间，水温将回升;用三次回归模型刻画，随着时间的推移，水温将不断下降，低于室温，这都与事实不符，不合常理，事实上，随着时间的推移，水温应该无限趋向于室温，结合指数函数的性质，可对指数函数模型进行适当的调整，选用f（x）= abx+c（其中c为室温）模型进行拟合，

问题的解决经历数学建模的完整过程，体现了较高的数学建模素养，解决问题的基本流程见文末，

必须指出的是，流程图中三条途径虽然是从不同的侧面提出的，但在教学的过程中它们常常是互相交融，相互促进的有机整体，呈交替进行螺旋上升的态势，数学模型的把握和理解、数学建模方法的掌握是开展数学建模实践、积累数学建模经验的前提和基础，而丰富的数学建模实践经验又进一步促进对数学建模方法的掌握及更深刻理解地数学模型的含义与价值，

数学建模素养是一项综合性素养，涉及了数学抽象、数学运算、数据分析、逻辑推理等素养，数学建模素养的形成和发展不是一朝一夕能够完成的，它需要日积月累的循序渐进的过程，本文仅仅从它的形成和发展的途径方面作些探讨，至于如何高效地促进学生数学建模素养的发展尚待日后作进一步深入研究，

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S] （2017版）[S].北京：人民教育出版社，2018

[2]朱立明，胡洪强，马云鹏.数学核心素养的理解与生成路径——以高中数学课程为例[J].数学教育学报，2018 （1）： 42-46

推荐访问:建模 素养 试论 途径 数学