史密斯数学教育思想的现代启示

摘 要：作为数学史与数学教育研究的先驱之一，美国著名数学史家、数学教育家史密斯

对数学史对于教师的价值做过深的入探讨，有过深刻的认识。对史密斯的数学教育思想进行梳理，并且从数学教师专业发展中的“面向教学的数学知识”的角度探讨其现代启示。得到结论：数学史素养的广博程度直接影响数学教师对数学知识结构的认识、对数学教学艺术多样性的习得、对数学学习心理活动历程的预知、对数学课程资源多途径的获取。

关键词：史密斯思想 数学史 教师发展 MKT

关于数学史的教育价值，教师关注得更多的是数学史对于学生的价值，比如数学史激发学生的兴趣，促进学生的理解，帮助学生认识数学活动的过程和本质，等等。这也是教师对数学史融入数学教学的实践产生浓厚兴趣的重要原因之一。然而，实践表明，数学史对于教师的专业发展也有着重要的作用。

事实上，在数学史与数学教育（HPM）研究的早期，一些先驱已经对数学史对于教师的价值做过深的入探讨，有过深刻的认识。美国著名数学史家、数学教育家史密斯（D.E.Smith，1860～1944）就是其中之一。史密斯一生笔耕不辍，著作等身，除了《数学史》《数学原典》《算术珍本》等经典之作外，还撰写了大量有关数学史和数学教育的论文，与他人合作编写了约150种数学教科书，为我们留下了许多重要的数学教育思想。

站在巨人的肩膀上，才能看得更远。本文对这些思想进行梳理，并且从数学教师专业发展中的“面向教学的数学知识”（Mathematics Knowledge of Teaching，简称MKT；其结构如图1所示）的角度探讨其现代启示。

图1

一、数学史与教师的“内容与教学知识”

教师的内容与教学知识（Knowledge of Content and Teaching，简称KCT）是指综合针对教学内容的设计与实施的知识，用于确定教学内容的呈现顺序，识别教学的优缺点以及根据学生特点安排不同程度的活动，即回答“怎么教”的知识。关于这个问题，史密斯分别从思想和方法上给予我们启迪。

首先，在思想上。教学从根本上讲是一种辅助学生学习的行为。若教师未能有效地从思想上端正学生的学习信念，则再高明的教学行为都只能是“金玉其外，败絮其中”。教师的教学观念往往是学生学习信念的主要来源之一。若教师自身对数学教学没有一个健康的认识，则其教学效果也只能收到上行下效的反馈。那么，什么才是健康的数学教学观念呢？史密斯认为：“数学教育的目的不仅仅是为了数学的技术，为了这组或那组定律，为了一堆彼此无关的命题，为了学校规定的某场考试，而主要是为了数学的美，为了数学所给予的对于永恒真理的信仰，为了那种比较有限和无限世界里的律则之后所产生的谦卑感。”笔者认为，这样的数学教学才是健康的数学教学，因为它是有后劲的数学教学，能让学生的数学学习是一种自动自发的行为，是一种欲罢不能的情感。接下来的问题则是：如何才能获取健康的数学教学观念？教师要发现数学中那些公式、定理背后对于生活的意义以及数学中那些对于真理孜孜以求的精神，从而建立对于数学教学的热爱。对此，史密斯在“七支蜡烛”理论中已有很好的论述：（1）“实用之灯”，即数学与人类的活动息息相关，无论是脑力上还是体力上的活动，数学永远都应有其用武之地；（2）“装饰之灯”，即数学有着独特的美感；（3）“想象之灯”，即任何数学发现都离不开想象的作用；（4）“诗歌之灯”，即数学中有着丰富的诗意；（5）“神秘之灯”，即数学中有着丰富的谜题；（6）“无穷之灯”，即数学能使人认识到自身在浩瀚宇宙中渺小的力量……

其次，在方法上。史密斯指出：“数学史展现了不同方法的成败得失，因而今人可从中汲取思想养料，少走弯路，获取最佳教学方法。”历史是最好的老师，历史是最好的教材。站在历史的肩膀上，不但可以快捷、有效地汲取知识，而且可以从前人的经历中借鉴探索正确知识与规避错误路径的法子。很多教师在课堂上，喜欢讲述数学家的睿智与成就，而不提及他们的错误与失败。数学家辉煌的经历固然能使学生受到激励，但是他们错误的教训更容易让学生产生共鸣。这是因为学生经常会犯和数学家同样的错误。例如，面对掷骰子的概率问题，学生经常会犯“想当然”的错误，而数学家也犯过这样的低级错误。法国著名赌徒德·梅雷（De Méré，1607～1684）曾经向数学家帕斯卡（B.Pascal，1623～1662）提问：一堆骰子需要掷多少次，才能使出现6点的机会为50%？对于这个问题，意大利数学家卡丹（G.Cardano，1501～1576）的想法是：因为每掷36次都会有1次机会出现两个6点，所以，只要掷18次，出現两个6点的机会就是50%。但事实上，在n次掷骰子中至少有1次得到两个6点的概率为

pn=1-3536n，因此p24≈0.4914，p25≈0.5055，故知至少需要掷25次，才能符合要求。若教师在课堂上能多以这样贴近学生实际的“反面教材”告诫学生，则其教学效果不言而喻。

二、数学史与教师的“内容与学生知识”

教师的内容与学生知识（Knowledge of Content and Student，简称KCS）是指能够预测学生学习中常见的疑惑和错误，解释学生学习中可能出现的困难，并预测学生会做的特定任务以及可能遇到的挑战，解释学生的认知、思维过程，即“备学生”的知识。

首先，如何了解学生的学习过程，尤其是学习困难呢？史密斯认为：“困扰世界的东西也会困扰孩子，世界克服其困难的方式提示我们，孩子在其发展过程中会以类似的方式来克服类似的困难。”这说明学生在探求新知的过程中，其思维方法极有可能与前人有着历史相似性。例如，有研究发现，对“平面”概念的认识，历史上经历了这样的过程：公元前5世纪，古希腊哲学家巴门尼德（Parmenides，公元前515年～公元前5世纪中叶以后）强调平面是二维的，是没有厚度的；公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330年～公元前275年）强调用直线来刻画平面；约1世纪，古希腊数学家海伦（Heron，约1世纪）强调平面的无限延展性。至此，才探索出平面的三个特性。而有教师在引导学生探究平面的特性时发现，学生的思维过程与前人的探究历程如出一辙。且该教师在后续的教学反馈中还发现，这样的教学方式受到了90%以上学生的喜爱，更使得90%以上的学生听懂了这一内容。

其次，如何帮助学生突破学习困难，理顺学习过程呢？史密斯认为：“数学史揭示了人类文明中最珍贵、最有意义的东西，先辈们的成就应该成为获取更大目标的手段。”也就是说，透过历史的薄纱，先辈们似曾相识的经历往往能赋予我们突破教学瓶颈的启迪。例如，学习“复数的引入”时，许多学生对于知识库中“贸然”出现一个“i”感到莫名其妙，不知其意义何在，只能机械地记住相关的计算方法。其原因是多数教师都是以教材中提供的方程x2+1=0引出“i”的，然而如此数学化的引入方式不能真切地让学生体会到“i”的意义。而在一个HPM案例中，教师以1545年意大利数学家卡丹提出的問题“将10分成两个部分，使它们的乘积等于40，如何求这两个数”引入。在学生发现该题无解后，教师抛出卡丹当时运用二次方程求根公式得出的结论“（5+-15）+（5--15）=10，（5+-15）·（5--15）=40”，使得学生对之前的认识产生疑惑；接着又抛出16世纪意大利数学家邦贝利（R.Bombelli，1526～1572）解一元三次方程

x3=15x+4时综合因式分解和三次方程求根公式得出的结果x=32+-121+32--121=4，使得学生对这一现象的好奇达到顶峰——这与卡丹以及邦贝利当时的感受是如出一辙的。这时，教师再通过适当的语言（比如“数不够用了”）引导学生类比之前学习分数、无理数等概念时的心路历程，自然地联想到创造一个新数来解释这种现象——这与1777年欧拉（L.Euler，1707～1783）提出“i”时的心路历程是相同的。经历这样一个与古人类似的认知冲突，学生对于新出现的“i”的接受度就得到了明显的提高。

三、数学史与教师的“内容与课程知识”

教师的内容与课程知识（Knowledge of Content and Curriculum，简称KCC）是指对课程发展的理解，不限于理解在特定时段被教授的内容，还包括理解那些还没有走进课程内容的学科知识，即回答“教什么”的知识。

首先，如何准确地理解与把握课程内容呢？史密斯指出：“若要考虑该学科的任何改革问题，就不可不知道几何如何演变为现今的形式；若要理解现今提倡的改进教学的多种方法，就必须知道早期解方程的几何方法；若要将微积分从现今的地位中挽救出来，知道微积分的早期历史同样很重要。”实际上，课程内容中的知识点往往都有其出现的历史必然性，而且往往都是在人类社会的历史进程中由于对数学的进一步需求而产生的。基于此，教师要想对课程内容有深刻、清晰的理解与把握，就应该关注课程内容中每一个知识点背后的历史渊源。事实上，历史发展轨迹是我们安排课程内容的一个重要依据。例如，在人类社会的早期，由于记事和分配生活用品的需要，最先产生了自然数；后来，人们发现仅仅用自然数是不够的，如5人分配4份物品等，于是出现了分数；随着社会的发展，出现了很多具有相反意义的数量，如上升和下降、增加和减少等，为了表示这些量，又出现了负数，紧接着也就出现了有理数；随着人们生产、生活的进一步需要，又渐渐出现了无理数、虚数等。反观当下与数有关的课程内容，不也正是按照从自然数、分数、负数到无理数再到虚数这样的顺序安排的吗？

其次，如何获取数学史方面的课程资源呢？考虑到数学史知识本身的丰富性和教师数学史知识的匮乏性，史密斯认为，阅读数学史书籍和接受数学史培训是解决该问题的有效途径。而在当下，很多教师的数学史知识仍显不足，因此这些建议仍然具有指导价值。在阅读方面，史密斯编著了《初等数学的教学》《几何的教学》和《算术的教学》等图书，采用发生法与分析法相结合的写法，让数学史占有重要位置，甚至专门推荐了数学史图书。而在当下国内，汪晓勤教授与其研究团队近十年的科研成果《HPM：数学史与数学教育》是数学史与数学教育方面较为权威的著作。在培训方面，史密斯在密歇根州立师范院校任教时，就开设了美国最早的教师在职培训课程。在他的影响下，到1936年，美国先后有近160所大学开设数学史课程。而在当下国内，汪晓勤教授提出了另一种具有较高可行性的培训模式：“在进行HPM教学设计和教学实践时，先由大学教师完成相关主题的历史研究，获得历史材料；然后由大学教师与中学教师合作，根据需要对材料进行加工，使之适合于教学；最后由中学教师将加工后的材料用于教学设计，并付诸实践。”

四、数学史与教师的“专门内容知识”

教师的专门内容知识（Specialized Content Knowledge，简称SCK）是指在特定的教学任务中使用的，比如怎样准确表述数学概念、为通常的规则和进程提供解释以及理解问题的非同寻常的解法，即回答“为什么教”的数学知识。

“为什么三角形不叫三边形，四边形不叫四角形？”“为什么称未知数为‘元’？”“为什么称某些函数为奇函数、偶函数？”“虚数是虚无缥缈的数吗？”诸如此类的“历史遗留”问题让很多教师猝不及防，不知如何回答。因此，这些教师在数学教学中也就只能让学生“知其然，不知其所以然”。史密斯用发生法和分析法编写数学教师的培训教材，目的就在于让教师了解教材中相关知识点的历史背景。例如，他曾在《初等数学的教学》中事无巨细地介绍教授算术的历史原因、当下意义，算术在过去是怎么教的、在今天又是怎么教的，为何要教代数以及应该教什么等等追根溯源式的问题。由此可见，史密斯十分重视在数学教学中对有关数学知识进行历史阐释。在他看来，数学史对数学教师来说，是不可或缺的解释“为什么教”的知识。

实际上，教师若能根据历史发生原理处理教学内容，即根据相关数学知识的历史演变推进教学，或解释相关数学知识的历史起源，则能帮助学生更好地体会所学知识的价值和意义，解决“不知其所以然”的问题，从而激发学习的动机，提高理解的水平。例如，相关历史材料表明，椭圆的历史大致可以分为椭圆的发现、截线定义的形成、基本性质的推导、焦半径性质的获得、机械作图的产生、轨迹定义的确立以及椭圆方程的推导七个重要环节。而高中数学教材中通常只出现最后三个环节。如此处理虽然简洁，但是既未交代清楚学生为什么要研究椭圆，也没将椭圆概念建立在学生已有认知的基础上，从而使得椭圆概念的出现非常突兀。因此，在一个在HPM案例中，教师首先利用球的影子、建筑、水杯等生活事物引导学生发现生活中存在的椭圆，然后利用旦德林双球实验模型引导学生推导出椭圆焦半径的性质，从而实现了从古希腊截线定义到如今教材中轨迹定义的自然过渡，激发了学生的学习动机，提高了学生的理解水平。

总之，史密斯数学教育思想给我们的启示是：数学史素养应该成为数学教师专业素养的重要组成部分，数学史素养的广博程度直接影响数学教师对数学知识结构的认识、对数学教学艺术多样性的习得、对数学学习心理活动历程的预知、对数学课程资源多途径的获取。

参考文献：

[1] 汪晓勤.史密斯：杰出的数学史家、数学教育家和人文主义者[J].自然辩证法通讯，2010（1）.

[2] 汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017.

[3] 沈中宇，汪晓勤.平面概念：基于相似性，重构数学史[J].教育研究与评论（中学教育教学），2016（10）.

[4] 汪晓勤.HPM的若干研究与展望[J].中学数学月刊，2012（2）.

[5] 汪晓勤.数学史与数学教育[J].教育研究与评论（中学教育教学），2014（1）.

[6] 汪晓勤，王苗，邹佳晨.HPM视角下的数学教学设计：以椭圆为例[J].数学教育学报，2011（5）.

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