信息环境下高中数学研究性学习实践

[摘 要]信息技术与数学教学的整合以及高中数学研究性学习的实践都遇到了瓶颈，缺少切实有效能够深入实际的具体做法。通过相关校本课程实践，研究高中数学研究性学习的课程目标、学习组织、学习手段、学习内容和学习评价，并研究与之对应的学习模式，对提升数学教学质量和学生的数学思维能力、数学综合素养具有积极的意义。

[关键词]信息技术；高中数学；研究性学习

一、研究背景

早在2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》，就已经提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，注意把算法融入到数学课程的各个相关部分[1] 。在国际上，信息技术在数学教育中的应用一直是国际数学教育委员会（ICMI）关注的主题[2]。信息技术已对高中数学课程的内容、教学方式、教学与学习理念等产生了深刻的影响。

近年来，信息技术应用于高中数学研究性学习的研究蓬勃开展，但具有数学特色的探究性学习研究深度不够[3]。以数学问题为核心、应用信息技术探究的学习案例较少。

信息技术与数学教学整合的研究现状呈现出“三多三少”：一是研究信息技术用于数学探究的多，形成研究性学习课程的少；二是信息技术与小学初中数学结合的多，与高中数学内容结合的少；三是信息技术展现数学内容可视化的研究多，而利用信息技术探究数学问题的少。概括起来就是，对信息环境下的高中数学研究性学习课程的研究不足，也缺少有效的学习模式。

二、信息环境下研究性学习的课程与模式

为解决上述问题，有必要开展利用信息技术的高中数学研究性学习行动研究，建立适合高中教学现状的研究性学习课程，开展教学实践。在相关校本课程开设过程中，产生一批利用信息技术、师生合作探究、解决数学学习问题的研究案例，形成校本教材，更重要的是形成有效的学习模式。

1.研究性学习的课程

一是课程目标。以提升学生数学思维的批判性、灵活性、深刻性，完善数学学习策略，提高教师问题探究能力和教学水平，提升学生的综合素养为目标。

二是学习组织。学生根据学校研究性学习选课的统一安排，自愿选择参加课程学习，与教师一起组成学习共同体。每周1课时集中上课，课后分小组自主合作探究。

三是学习手段。借助计算机软件开展数学问题探究。根据高中数学国家课程的内容设置和学生实际，选定系统计算器、几何画板、Excel软件、VB语言等作为探究工具，既满足探究数学问题之需要，又简单易学。

四是学习内容。包括高中数学学习中遇到的不易理解、不易看清结论但又适合使用信息技术探究真相的数学问题；利用软件可以方便解决的实际应用问题，如数学建模、数学运算、数据分析等。

五是学习评价。通过小组案例展示评价学习的效果。对照研究性学习课程实施前后的数学成绩，评价研究性学习的影响。利用调查问卷，评价学生数学学习策略和思维能力的变化。

2.研究性学习的模式

图1是信息环境下的研究性学习的共同体模式结构示意图。信息技术工具在师生学习共同体运转的各個环节发挥如下作用：利用信息工具的展示与表征功能发现问题与转化问题，在共同体中明确界定问题，确定研究方向；利用信息工具的计算与作图等功能，探究问题的实质和结论；利用信息工具展示探究成果。其中，信息技术工具承担着交流、评价、评估的作用。

师生学习共同体中既包括人——学生和教师，也包括物——信息技术工具，还包括信息——数学问题[4]。在此基础上，形成了共同体的数学学习能力，其中包括以逻辑推理为核心的学生思维能力，以发现问题、引导探究为特点的教师教学能力，进而上升为共同的数学文化和创新意识。这样的共同体不断面对新知识的学习和新问题的探究，使数学学习能力不断提高。

三、信息技术在研究性数学教学中的应用与作用

早期信息技术与数学教学的整合实践，大多是利用动态几何软件的作图功能，通过直观展示以便于学生理解。而事实上，Excel除了用于日常办公，还具有强大的运算能力和数据处理功能；VB语言可让学生利用其编程实现课本中算法案例的思想，或解决某些数学问题；几何画板，也可以更多地应用于探究数学问题。学习共同体中的师生应熟练使用这些工具。下面以几何画板的使用为例说明信息技术的具体应用。

1.辨明真伪，确定方向

有些数学问题过于抽象，难以预判结果，使学生感到无从下手，这种情况下，就可利用几何画板作出函数图像，通过观察，猜想结论，确定解决问题的方向。如下面的例子。

【例1】 设函数f（x）=aexlnx+■，曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y=e（x-1）+2。

（1）求a，b； （2）证明：f（x）>1

【探究】其中问题（1）很容易可求得a=1，b=2。但在（2）中，证明不等式的常用方法是作差，构造函数g（x）=f（x）-1，证明该函数的最小值大于0。但由于该函数解析式中既含指数式，又含对数式，使常用思路难以通行。因此可将不等式exlnx+■>1变形为xlnx>xe-x-■，使指数式和对数式分处于不等式两边，用几何画板分别画出h1（x）=xlnx和h2（x）=xe-x-■的图像（见图2），就会发现：左边函数的最小值有可能大于右边函数的最大值，这样就可以选定突破口，利用导数分别求得h1（x）在x=■处取得的最小值为“-■”，h2（x）在x=1处取得最大值“-■”，虽然不等式左边的函数最小值与不等式右边的函数最大值相同，但取得相同最值的x值不同，即两个函数曲线没有重合点，因此不等式成立，使问题得到解决。

此方法并非不等式证明的通法，解题者一般不会奢望有这么好的事实，而用软件画出函数图像后，使学生预先看到了“结果”，启发了思路，这种证明法就顺理成章了。

2.由此及彼，由表及里

有时候，对一个数学问题的条件适当变化，对结论进行推广，会得到一系列相关问题。对这些问题形成的“题组”集中探究，有利于透彻理解问题的实质，抓住条件与结论的关系，站在高处俯视问题。

【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱上有几个点到异面直线AD、CC1的距离相等？

【探究】这个问题的答案比较简单：满足条件的点有四个。但如果进一步思考，在正方体的表面有多少点符合条件？正方体内部又如何？这些点构成的轨迹是什么？这些问题就没那么容易了。

解决进一步的问题，可设正方体的棱长为2，以CD的中点O为原点，建立空间直角坐标系如图3，设点P（x，y，z）是轨迹上任一点，可求得方程：x2-4y-z2=0 ①

分别令x=0、z=0，①式变为z2=-4y及x2=4y，表明在CDD1C1面及ABCD面内的轨迹是抛物线，分别令x=2、z=2，可判断在ABB1A1面及A1B1C1D1面内的轨迹也是抛物线的一部分。令y=±1，可以判断在左、右侧面内符合条件的点只有B和D1，若将范围扩大到所在平面，则根据方程可以判断轨迹是双曲线。

更进一步，把x看成一个可变的常数，转化为二元二次方程，并解出y来，得到函数：

y=-■（z2-m2）

取动点O"（m，0，0），以动点O"为新原点，在平行于平面yOz的平面内建立新坐标系yO"z。在新坐标系中画出方程②的曲线，形成了曲线族（如图4）。此即所求点P在正方体内部的轨迹，它是著名的“马鞍面”（也叫双曲抛物面）的一部分，具有众多优美的性质。事实上，如果求动点在对角面BDD1B1内的轨迹，会是线段BD1，因为马鞍面是直纹面。

以上一连串问题形成的题组，表面看都是立体几何问题，通过几何画板作出函数图像后，可以发现其实质都是平面解析几何的圆锥曲线问题。这样的探究活动可以使教师“居高临下”地设计出不同难度和深度的问题，使学生的思维实现由此及彼、由表及里的飞跃。

3.形成思维，提升素养

经常使用几何画板探究数学问题，会逐渐形成一种“几何画板思维”。模拟软件画图结合逻辑推理解决问题，有助于训练学生的数学思维，提升学生的数学核心素养。如下面的例题。

【例3】 已知双曲线C：■-■=1（b>a>0）的右焦点F，O为坐标原点，若存在直线l过点F交双曲线C的右支于A、B两点，使■·■=0，则双曲线离心率的取值范围是什么？

這个问题，如用通常方法，运算量极大，想要快速解决几乎不可能。如果运用“几何画板思维”模拟画图（见图5），借助三角板做一个简单的数学实验就能够发现解题思路（探究步骤略）。

四、结果与建议

1.研究结果

一是学生数学成绩明显提高。经过一年校本研究性学习实验，实验组学生期末考试成绩的标准分提高了约31分，成绩提高显著。

二是学生学习策略进步较大。利用“数学学习策略心理特征调查问卷”[5] 对实验组和对照组进行前测，两组在学习策略问卷各维度上的得分没有显著差异（P>0.05）（见表1）。经过一年实验后再测验的结果表明实验组和对照组在学习策略问卷各维度上的平均分数均呈现显著差异，且实验组显著高于对照组（P<0.01）（见表2）。

2.建议

鉴于以上实验结果，研究者提出如下建议。一是学校可开设种类丰富、内容不同的研究性学习课程，由学生根据兴趣选择参加，形成学习共同体。二是将“信息技术与数学教学整合”从理念转变为更加具体、更有实效的做法，形成课堂内外相结合、师生共同参与、合作探究为主的学习模式。三是结合高中数学核心素养，在信息环境下的研究性学习中重点开展高中数学实验，探究数学问题，解决实际应用问题，进而提升学生的数学思维能力与数学核心素养。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003.

[2]鲍建生，徐斌艳.数学教育研究导引（二）[M].南京：江苏教育出版社，2013：436.

[3]李伟军.近十年来数学探究性学习述评——以《数学教育学报》为线索[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2012（8）：92-95.

[4]龚卫东.利用信息技术开展高中数学研究性学习的教学模式行动研究[J].数学通报，2016（9）：53-57.

[5]王光明等.高中生数学学习策略调查问卷的编制[J].数学教育学报，2015（5）：25-36.

（责任编辑 郭向和）

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