用发散思维解决指数函数的相关问题
作者:jnscsh 时间:2021-07-10 08:49:56 浏览次数:次
【关键词】发散思维指数函数问题
发散思维也叫求异思维,是一种多向思维方式。这里有一题多解发散,有保持原命题的实质变换其形式的转化发散,有把一个复杂问题分解成单纯问题逐个加以分析解决的分解发散,有综合发散等思维解题法。通过学生对指数函数性质的回顾,进一步加深对指数函数性质的认识,从而增进对数学本质的理解。主要做法如下:
一、观察结构特征,探索解题途径
重在突出对研究指数函数性质的思想方法——以有限逼近无限的思想和概念一般推广的一般思想方法的回顾,以增进对数学本质的理。
解。在知识的梳理方面,注重结构化。
若f(x)=,求f()+f()+f()…
+f( )的值,和式中共有1000项,逐项相加是不可
取的,需找出f(x)的结构特征,发现如下规律:
+ = + = + …=1而f(x)+f(1-x)
这启发得将和式配对结合后再相加
原式=[f()+f()+f[()+()]+…
[f()+f()]+1+1…+1=500。
观察比较发现规律f(x)+f(1-x)=1是解决本题的突破口。
设f(x)= (0<a<1)求和式f()+()+…
+f()的值。
解:f(x)=,f(1-x)= ,
而f(x)+f(1-x)= +
由此推广到一般情况:
2.f(x)= (0<a<1)求f()+f()
+f()+…+f( )的值。
解f(),f( )=f(1-)
所以原式=[f()+[f( )+f()+f( )]…+
[f()+f()]
=1+1+…=
3.已知函数f(x)=,求f(1)+f()+f(2)+f
()+f(3)+()+…+f(2010)+f()的值。
则f(x)+()
∴原式=f(1)+f()+f(2)+f()+…+
[f(2010)+f()]=1+1…=2010×1=2010.
本题从结论的数量特征入手,得出一般性结论,
二、解法发散,进行变通训练
f(x)=(+),a,b∈R,定义域x∈R但x≠
0,且f(2)=
(1) 求函数的解析式;(2)判断函数f(x)的奇偶性
(1)解:函数的定义域为(-∞,0)U(0,+∞)f(x)
=(+)。
(2)证法一:∵函数f(x)定义域为(-∞,0)U(0,+∞)
∵f(-x)=+ = +
函数f(x)为偶函数。
证法二:∵函数f(x)定义域为f(x)定义域为(-∞,0)U
(0,+∞)
由f(-x)-f(x)=
∴函数f(x)为偶函数。
三、转化发散,实质变换形式
已知 求下列各式的值
(1).a+a-1 (2).a2+a-2 (3).
将
(2)再将a+a-1=7,两边平方
四、综合发散,提高数学能力
对于函数f(x)=a- (a∈R)
(1)探索函数f(x)的单调性;(2)是否存在实数,a使f(x)
为奇函数。
证:设(1)x1<x2,f(x1)-f(x2)
∵<,>0, >0,
∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2)
对于a任意实数,f(x)在(-∞,+∞)h上为增函数。
(2)由f(-x)=-f(x)得a-=-a+ ,
∴2a= +=2
∴a=1,即当a=1时f(-x)=-f(x)恒成立,
∴f(x)为奇函数.
通过以上情况的讨论,有利于培养学生的“发散思维”,为我们改进数学教学提供了新的更大的平台,打破常规教学的“收敛性”思维,拓宽了学生的学习空间,充分发挥了学生的主动性,通过观察数量结构特征,发现规律,找到了问题的突破口,得到了一般性结论,解决了问题,加深了对数学本质的理解,达到了培养学生的创新能力的目的。
参考文献:
1.希扬主编《发散思维大课堂》高一数学(上)
2.《课堂教学与案例》人教A版数学(必修1)
3.《普通高中课程实验教科书》人教A版数学(必修1)
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
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