管窥“三视图”,尝试新课改

几何学是研究现实世界中物体的形状,大小与位置关系的数学学科.人们通常采用直观感知,操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探究几何图形及其性质.三维空间是人类生存的现实空间,认识空间图形、培养和发展学生的结合直观能力、运用图形语言进行交流的能力,空间想象能力与一定的推理论证能力是高中阶段数学必修课程的一个基本要求.首先,我对投影与三视图这节内容在空间几何体这一章的战略意义进行必要的说明,在前一节学生通过对简单几何体中柱、锥、台体模型的观察,图片及多媒体中几何画板中展示,对它们的结构特征得到了直观的感觉,是一个整体的概念,学生刚刚有了空间立体感的雏形,尤其对一些简单组合体的认识还不是很深刻,本节课就像是一个枢纽,把学生对几何体空间抽象的感觉具体化、平面化.通过对投影的了解和正投影的运用,学生就能用平面的三视图把立体的图形具体化、平面化,达到由未知到已知,由抽象到具体的转化,空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系,它们能够帮助我们从不同的侧面,不同的角度对几何体的结构特征进行认识.也可以这样说,三视图从细节上刻画了空间几合体的结构.根据三视图,我们就可以得到一个精确地空间几何体.在这节课的教学过程中,我不断引导学生要细心地观察,认识几何体的基本结构特征,也就是先动脑再动手作图.本节课的两大重要环节就是投影的形成与分类和正投影下的三视图.

一、投影的形成与分类

投影概念的引入要自然轻松,因为初中时学生已经学习了投影.用投影仪展示了中国湖北地区的文化瑰宝皮影戏和手影表演,从民族情结和自豪感上调动学生的情绪,通过手影表演的图片唤起学生童年的乐趣,并在投影仪的光束下现场表演手影让学生们领略数学的魅力.根据这些现象提出第一个问题:这些自然想象是如何形成的?让学生思考这个问题并给出投影所具备的条件.通过提问归纳总结出投影的形成.从“光线——物体(不透明)——墙壁——影子(自然语言的表达)”上升到理论用数学语言表达为“投影线——物体——投影面——投影”.由投影形成的流程自然引出投影的概念,这种光线叫投影线,留下物体影子的面叫投影面.接着让学生思考下一个问题:从物理学的角度上,不同光源发出的光线是有差异的,让学生观察灯泡发出的光线与手电筒发出的光线,指出它们的不同.通过提问,学生很快指出灯泡的光线从一点发出,向四周散射.而手电筒的光源也是从一点出发但是经过凹面镜的反射变成了平行的光束了.学生用物理学的知识解释了数学的知识,课堂效果非常好.

由此可对投影进行分类.第一类:中心投影——光由一点向外散射形成的投影.例如,建筑物的透视图,晚上酒店门前的射灯,给人的立体感比较强.第二类:平行投影法——一束平行光线照射下形成的投影.在平行投影中,投影线正对着投影面时叫做正投影,否则叫做斜投影.

二、正投影下的三视图

如何巧妙地引入三视图,先提出一个思考问题,在建筑、机械等工程中,需要用平面图形反映空间几何体的形状和大小,在作图技术上这也是一个几何问题.

用投影仪展示一张从不同角度拍摄飞机的照片,让学生回答是从什么位置拍摄得到的?这样分开拍摄达到什么效果?学生回答道是分别从正前方、正上方、正左方观察拍摄的,多张图片可以直观的反映飞机的全貌和结构特征.

引入三视图有关概念.把一个空间几何体投影到一个平面上,可以获得一个平面图形,但是只有一个平面图形难以把握几何体的全貌.因此,我们需要从多个角度进行投影,才能较好地把握几何体的形状和大小,通常选择三种正投影,即正面、侧面和上面,并给出下列概念:(1)光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图,叫做几何体的主视图;(2)光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图,叫做几何体的侧视图;(3)光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图,叫做几何体的俯视图;(4)几何体的主视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图.对于一些复杂的几何体,我们可能会用到六视图和切截图.

实际应用:拿出一个长方体模型,让学生从不同的角度观察并画出其三视图,思考以下问题:三视图中长方形的长与宽与空间几何体中长方体的哪些量相等?它的主视图、侧视图与俯视图之间有什么关系?由学生的回答,总结为一般地,一个几何体的主视图、侧视图和俯视图的长度、宽度和高度有如下的关系:正侧等高,正俯等长,侧俯等宽.画图时要注意:正视图在左边,侧视图在右边,俯视图在正视图的下边.最后让学生对所学内容进行总结,回忆初中已经学过的正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图.再画棱柱、棱台的三视图.

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